Cirkeln är nog den mest fundamentala formen i vårt universum
Ovasett om du tittar på planeternas omloppsbanor,
hjul, eller saker på molekylnivå
Cirkeln dyker upp om och om igen
Så det är nog bra att känna till några av cirkelns egenskaper
Det första när folk upptäcker cirkeln
(det räcker att titta på månen för att hitta en cirkel)
Vad är egenskaperna?
Den första är att en cirkel
är alla punkter som är ekvidistanta från mitten
Alla de här punkterna på kanten
har samma avstånd från mitten
Så det första man kan fråga är
Vad är det avståndet?
Vi kallar det för radien
Radien av cirkeln
Det är bara avståndet från mitten till kanten
Om den radien är 3 cm så är den här radien 3 cm
Och den här radien kommer vara 3 cm
Den kommer aldrig försändras
Per definition är en cirkel alla punkter som är ekvidistanta från mittpunkten
Och det avståndet är radien
Nästa intressanta sak är
Hur tjock är cirkel?
Hur bred är den som bredast?
Om du vill skära den längs dess bredaste bredd
Hur längt är det avståndet?
Det måste inte vara just där
Jag kan lika gärna skära den så här
Men jag skulle inte skära den så här
För det skulle inte vara bredaste bredden
Det finns flera sätt jag kan skära den längs bredaste bredden
Vi såg just radien
Och vi ser att det bredaste strecket går genom mitten
och fortsätter
Så det är två radier
En radie här, och en radie här
Vi kallar det här avståndet för diametern
Det är cirkelns diameter
Och den har ett enkelt förhållande med radien
Diametern är lika med 2 gånger radien
Nästa intressanta sak som du kanske vill veta
är hur långt det är runt cirkeln
Så om du skulle mäta med måttband runt cirkeln så här
Vad är det avståndet?
Vi kallar det för omkretsen
Omkretsen av cirkeln
Vi vet hur diametern och radien hänger ihop
Men hur förhåller sig omkretsen till diametern?
Om vi har om vi har diametern är det lätt att få radien
För många tusen år sedan mätte folk omkretsar och radier
Och när de inte hade så bra måttband så fick de ungefär 3
Och de mätte radien och diametern av cirkeln
och diametern var ungefär 1
Vi vi veta förhållandet
(jag skriver såhär)
Förhållandet mellan omkretsen och diametern
Vi säger att någon hade den här cirkeln
och de mäter runt cirkeln med ett dåligt måttband
och fick ungefär 3 meter omkrets
och diametern ungefär 1
Så kanske förhållandet mellan omkrets och radie är 3
i så fall är omkretsen alltid 3 gånger diametern
Det var den här cirkeln
Men de mätte en annan cirkel
Så här, jag ritar den mindre
De mätte runt den
och fick omkretsen 6 cm, ungefär
Vi har ett dåligt måttband
Och de mätte diametern till ungefär 2 cm
Förhållandet mellan omkrets och diameter är ungefär 3 igen
Det var ju en trevlig egenskap hos cirklar
Kanske förhållandet mellan omkrets och radie alltid är samma!
För varje cirkel
Så de skaffade bättre måttband
och de mätte att diametern definitivt är 1
men omkretsen är närmare 3.1
Och samma här, det här förhållandet är närmare 3.1
Och de fortsatte mäta bättre och bättre
och insåg att de fick ett nummer, 3.14159...
och de fortsatte lägga till siffror
men det upprepade sig aldrig
Det var ett konstigt, fascinerande metafysiskt nummer
som fortsatte dyka upp
Och eftersom nummret var så fundamentalt för universum
eftersom cirkeln är så fundamental för universum
och det dök upp för varje cirkel
Förhållandet mellan omkretsen och diametern av cirkeln
var det här magiska numret
Så de gav det ett namn: pi
Man kan skriva det med en grekisk bokstav, så här
Det representerar det här numret
som nog är det mest fascinerande numret i världen
Det dyker först upp som förhållandet mellan omkretsen och diametern
Men du kommer att upptäcka på ditt matematiska äventyr
att det dyker upp överallt!
Det är en av de fundamentala grejerna i universum
som får en att tro att det finns en ordning med allt
Hur kan vi använda det här i vår vanliga matematik?
Vi vet, eller jag säger, att
förhållandet mellan omkretsen och diametern
När jag säger "förhållandet" menar jag
omkretsen delat med diametern
Då får du pi
Jag skulle kunna skriva 3.1415 och bara fortsätta
Men det vore slöseri av plats och svårt att använda
Så man skriver bara den här grekiska bokstaven istället
Så hur kan vi använda det här?
Vi kan multiplicera båda sidorna med diametern
Då får vi att omkretsen är lika med pi gånger diametern
Eller, eftersom diametern är 2 gånger radien
så kan vi säga att
omkretsen är lika med pi gånger 2 gånger radien
Eller, det vanligaste:
att den är lika med 2 pi r
Vi ser om vi kan använda det för att lösa problem
Vi har en cirkel, så här
och den har en radie som är 3
(låt mig skriva ner det)
Radien är 3 meter
Vad är omkretsen av cirkeln?
omkretsen är lika med 2 gånger pi gånger radien
2 gånger pi gånger 3 meter
vilket är lika med 6 pi meter
Jag kan multiplicera det här
Pi är bara ett nummer
Pi är 3.14159... och så vidare
Om jag multiplicerar 6 med det kanske jag får 18 komma något
Om du har en miniräknare kan du testa
Men för enkelhets skull skriver man bara med pi
Jag vet inte vad det är men om man multiplicerar det
får man ungefär 19 eller 18
Jag har inte min räknare
Men istället för att skriva det skriver vi 6 pi
(Det är nog mindre än 19)
Vad är diametern av cirkeln?
Om radien är 3 så är diametern 3 gånger 2
eller 3 plus 3, vilket är 6
Omkretsen är 6 pi meter
Diametern är 6 meter
Radien är 3 meter
Låt oss säga att vi har en annan cirkel
Och jag säger att omkretsen är lika med 10 meter
Om du skulle mäta runt med måttband
Och någon frågar: Vad är diametern?
Vi vet att diametern gånger pi
att pi gånger diametern
är lika med omkretsen
den är lika med 10 meter
För att lösa det här delar vi båda sidor med pi
Diametern är 10 meter delat med pi
och det är bara ett nummer
Om du har en räknare kan du dela 10 med 3.14159
då får du 3 komma någonting
Jag kan inte räkna ut det i huvudet
Men det här är bara ett nummer
För enkelhetens skull lämnar vi det ofta bara så här
Vi vill ha radien
Radien är hälften av diametern
Det här är 10 genom pi
Vi vill bara ha hälften, bara radien
så vi multiplicerar det med 1/2
1/2 gånger 10/pi är lika med
hälften av 10 genom pi
Vi får 5 delat med pi
Radien är 5/pi
Inget superkrångligt
Det jag tror förvirrar folk är att inse att pi är ett nummer
Pi är bara 3.14159... och bara fortsätter
Det finns tusentals böcker om pi
Jag kanske överdriver
Man kan skriva böcker om det här talet
Men det är bara ett tal!
Det är ett väldigt speciellt tal
och om du vill skriva det som du är van vid
kan du bara multiplicera ihop det
För det mesta skriver man med pi-symboeln
Jag slutar där
Och i nästa video pratar vi om arean av en cirkel