WEBVTT

00:00:00.780 --> 00:00:04.880
אפשר לומר שעיגול היא אחת הצורות הבסיסיות ביותר

00:00:04.880 --> 00:00:08.490
ביקום, בין אם מסתכלים על צורת מסלול ,

00:00:08.490 --> 00:00:11.140
הפלנטות, בין אם על גלגלים ובין אם מסתכלים על

00:00:11.140 --> 00:00:12.840
דברים ברמה המולקולרית.

00:00:12.840 --> 00:00:15.860
המעגל מופיע שוב ושוב

00:00:15.860 --> 00:00:17.350
ושוב.

00:00:17.350 --> 00:00:21.110
אז כנראה שכדאי לנו להבין חלק

00:00:21.110 --> 00:00:23.330
מהמאפיינים של העיגול.

00:00:23.330 --> 00:00:26.200
אז הדבר הראשון שאנשים גילו על העיגול,

00:00:26.200 --> 00:00:28.960
ואם רק תביטו בירח תראו עיגול,

00:00:28.960 --> 00:00:31.570
אבל הדבר הראשון שהם שאלו הוא, מה הם המאפיינים

00:00:31.570 --> 00:00:32.910
של כל עיגול?

00:00:32.910 --> 00:00:36.150
אז המאפיין הראשון, ניתן ללומר הוא שעיגול

00:00:36.150 --> 00:00:38.690
הוא כל הנקודות שנמצאות במרחק שווה

00:00:38.690 --> 00:00:40.440
ממרכז העיגול.

00:00:40.440 --> 00:00:43.710
כל הנקודות האלה לאורך הגבול, נמצאות מרחק שווה

00:00:43.710 --> 00:00:45.210
מהמרכז שנמצא כאן.

00:00:45.210 --> 00:00:47.620
אז הדבר הראשון שמישהו ירצה לשאול הוא

00:00:47.620 --> 00:00:50.280
מהו המרחק ששווה מכל הקצוות

00:00:50.280 --> 00:00:51.770
למרכז?

00:00:51.770 --> 00:00:52.950
בדיוק כאן.

00:00:52.950 --> 00:00:58.110
קוראים לזה רדיוס העיגול.

00:00:58.110 --> 00:01:00.350
זהו המרחק מהמרכז לקצה.

00:01:00.350 --> 00:01:02.820
אם הרדיו הזה שווה ל3 סינטימטרים, אז הרדיוס הזה

00:01:02.820 --> 00:01:04.490
גם שווה ל3 סנטימטרים.

00:01:04.490 --> 00:01:07.170
וגם הרדיוס הזה שווה ל3 סנטימטרים.

00:01:07.170 --> 00:01:08.270
זה לעולם לא ישתנה.

00:01:08.270 --> 00:01:11.690
עפ"י ההגדרה, מעגל הוא כל הנקודות מרחקן

00:01:11.690 --> 00:01:13.400
מהמרכז שווה.

00:01:13.400 --> 00:01:17.050
ומרחק זה נקרא רדיוס.

00:01:17.050 --> 00:01:19.880
אז הדבר המעניין הבא, שאפשר לשאול הוא:

00:01:19.880 --> 00:01:22.040
כמה שמן עיגול?

00:01:22.040 --> 00:01:26.360
כמה רחב הוא בנקודות הכי רחבות שלו?

00:01:26.360 --> 00:01:28.710
או, אם תרצו פשוט לחתוך אותו בחלק הכי רחב,

00:01:28.710 --> 00:01:30.390
מה זה המרחב הזה?

00:01:30.390 --> 00:01:32.340
וזה לא חייב להיות רק שם, הייתי יכול

00:01:32.340 --> 00:01:35.490
באותה מידה לחתוך את החלק הכי רחב כאן.

00:01:35.490 --> 00:01:38.520
אני לא יכולתי לחתוך את זה בסתם מקום כמו זה

00:01:38.520 --> 00:01:40.120
מכיוון שזה לא היה בחלק הכי רחב.

00:01:40.120 --> 00:01:41.810
יש הרבה מקומות בהם אני יכול לחתוך

00:01:41.810 --> 00:01:43.480
את החלק הכי רחב.

00:01:43.480 --> 00:01:46.730
עכשיו ראינו את הרדיוס וראינו את החלק הכי רחב

00:01:46.730 --> 00:01:49.580
חותך דרך המרכז וממשיך הלאה.

00:01:49.580 --> 00:01:52.920
אז הוא למעשה שני רדיוסים.

00:01:52.920 --> 00:01:55.640
יש רדיוס אחד כאן ורדיוס נוסף

00:01:55.640 --> 00:01:57.240
כאן.

00:01:57.240 --> 00:02:01.380
לחלק באזור הרחב ביותר של העיגול

00:02:01.380 --> 00:02:03.030
קוראים קוטר.

00:02:03.030 --> 00:02:06.390
אז זהו הקוטר של העיגול.

00:02:06.390 --> 00:02:09.260
יש לו יחסים מאוד פשוטים עם הרדיוס.

00:02:09.260 --> 00:02:16.155
הקוטר שווה לשתיים כפול הרדיוס.

00:02:19.060 --> 00:02:21.790
עכשיו, הדבר המעניין הבא שבוודא יעניין

00:02:21.790 --> 00:02:24.560
אתכם לגביי העיגול הוא: כמה ארוך האזור מסביב לעיגול?

00:02:24.560 --> 00:02:27.340
אז אילו הייתם לוקחים סרט מדידה והייתם

00:02:27.340 --> 00:02:35.910
מודדים את האזור מאזור מסביב לעיגול ככה, מה היה המרחק?

00:02:35.910 --> 00:02:44.710
לזה אנחנו קוראים היקף העיגול.

00:02:44.710 --> 00:02:47.440
עכשיו, אנחנו יודעים מה היחס בין הקוטר והרדיוס, אבל מה

00:02:47.440 --> 00:02:49.790
היחס בין ההיקף לבין, נניח, הקוטר?

00:02:49.790 --> 00:02:51.550
ואם אתם לא באמת רגילים לקוטר, זה מאוד

00:02:51.550 --> 00:02:54.290
קל להבין מה היחס שלו לרדיוס.

00:02:54.290 --> 00:02:57.130
ובכן, לפניי אלפי שנים, אנשים לקחו סרטי מדידה

00:02:57.130 --> 00:02:58.890
ומדדו את ההיקפים

00:02:58.890 --> 00:03:00.430
ואת הרדיוסים.

00:03:00.430 --> 00:03:03.280
בואו נניח שסרטי המדידה שלהם לא היו מאוד טובים,

00:03:03.280 --> 00:03:05.010
בואו נגיד שהם מדדו את היקף העיגול

00:03:05.010 --> 00:03:07.960
והיה יוצא להם, בערך 3.

00:03:07.960 --> 00:03:11.600
ואז הם מדדו את רדיוס העיגול הזה

00:03:11.600 --> 00:03:14.280
או הקוטר של העיגול הזה, ואז הם היו אומרים " הקוטר

00:03:14.280 --> 00:03:16.290
נראה בערך כמו 1".

00:03:16.290 --> 00:03:17.740
אז הם היו אומרים - אני ארשום את זה.

00:03:17.740 --> 00:03:21.750
אז מה שמעניין אותנו הוא היחס -אני

00:03:21.750 --> 00:03:22.660
ארשום את זה כאן.

00:03:22.660 --> 00:03:33.955
היחס בין ההיקף לקוטר.

00:03:37.560 --> 00:03:40.900
אז בואו נאמר שלמישהו יש עיגול כאן.

00:03:40.900 --> 00:03:43.170
בואו נאמר שיש להם את העיגול הזה, ובפעם הראשונה

00:03:43.170 --> 00:03:45.880
סרט המדידה לא היה כל כך טוב. הם מדדו סביב העיגול

00:03:45.880 --> 00:03:49.340
והם אמרו "זה יוצא בערך 3 מטר"

00:03:49.340 --> 00:03:50.490
כשמקיפים את העיגול.

00:03:50.490 --> 00:03:52.800
וכשאני מודד את קוטר העיגול,

00:03:52.800 --> 00:03:55.050
יוצא בערך מטר אחד.

00:03:55.050 --> 00:03:56.000
אוקיי, זה מעניין.

00:03:56.000 --> 00:03:57.520
אולי היחס של ההיקף

00:03:57.520 --> 00:03:58.500
לקוטר שווה ל-3.

00:03:58.500 --> 00:04:00.820
אז אולי ההיקף הוא תמיד 3

00:04:00.820 --> 00:04:02.020
כפול הקוטר.

00:04:02.020 --> 00:04:03.610
אז זה היה רק לעיגול, אך בואו נניח שהם

00:04:03.610 --> 00:04:05.720
מדדו עיגול אחר כאן.

00:04:05.720 --> 00:04:07.870
הוא ככה - ציירתי אותו קטן יותר.

00:04:07.870 --> 00:04:11.200
בואו נאמר שעל העיגול הזה, מדדו את סביבו

00:04:11.200 --> 00:04:14.960
והם גילו שההיקף הוא 6 סנטימטרים,

00:04:14.960 --> 00:04:18.210
בערך - יש לנו סרט מדידה גרוע אז.

00:04:18.210 --> 00:04:21.710
אז הם גילו שהקוטר הוא

00:04:21.710 --> 00:04:23.520
בערך 2 סנטימטרים.

00:04:23.520 --> 00:04:25.490
ושוב, היחס בין ההיקף לבין ה

00:04:25.490 --> 00:04:30.230
קוטר היה בערך 3.

00:04:30.230 --> 00:04:32.140
אוקיי, זו תכונה מעניינת של עיגולים.

00:04:32.140 --> 00:04:35.430
אולי היחס בין ההיקף לבין הקוטר

00:04:35.430 --> 00:04:38.080
הוא קבוע לכל עיגול.

00:04:38.080 --> 00:04:40.260
אז הם אמרו, בואו נחקו את זה יותר לעומק.

00:04:40.260 --> 00:04:42.510
אז הם לקחו סרטי מדידה מדוייקים יותר.

00:04:42.510 --> 00:04:45.090
כשהם לקחו סרטי מדידה טובים יותר, הם מדדו ואמרו "היי

00:04:45.090 --> 00:04:47.630
הקטור שלי בהחלט 1."

00:04:47.630 --> 00:04:49.430
הם אמרו "הקוטר שלי בהחלט 1", אבל כשהם

00:04:49.430 --> 00:04:51.810
מדדו את ההיקף קצת,הם אמרו: "אני מבין

00:04:51.810 --> 00:04:53.040
שהוא קרוב יותר ל3.1"

00:04:56.000 --> 00:04:57.290
ואותו הדבר עם זה שכאן.

00:04:57.290 --> 00:04:59.370
הם הבחינו שהיחס קרוב יותר ל3.1 .

00:04:59.370 --> 00:05:01.830
אז הם המשיכו למדוד את זה טוב יותר ויותר,

00:05:01.830 --> 00:05:05.200
עד שהם הבינו שהם מגיעים למספר הזה,

00:05:05.200 --> 00:05:07.300
הם המשיכו למדוד טוב יותר ויותר והם

00:05:07.300 --> 00:05:10.850
הגיעו למספר הזה: 3.13159 .

00:05:10.850 --> 00:05:12.550
והם פשוט הוסיפו ספרות והן

00:05:12.550 --> 00:05:13.620
לעולם לא חזרו על עצמן.

00:05:13.620 --> 00:05:16.640
זה היה מספר מוזר, מרתק

00:05:16.640 --> 00:05:18.300
שכל הזמן הופיע.

00:05:18.300 --> 00:05:20.940
אז מכיוון שהסמפר הוא כל כך בסיסי ביקום,

00:05:20.940 --> 00:05:23.500
מכיוון שהעיגול הוא כל כך בסיסי בייקום,

00:05:23.500 --> 00:05:26.680
והוא פשוט הופיע בכל עיגול,

00:05:26.680 --> 00:05:28.865
היחס בין ההיקף לבין הקוטר היה

00:05:28.865 --> 00:05:32.390
מן מספר קסום, נתנו לו שם.

00:05:32.390 --> 00:05:37.580
קראו לו "פי", או שקוראים לו ככה, או

00:05:37.580 --> 00:05:41.880
שמשתמשים באות היוונית pi.

00:05:41.880 --> 00:05:45.090
זה מייצג את המספר, שרבים טוענים שהוא

00:05:45.090 --> 00:05:46.790
המספר הכי מרתק בייקום.

00:05:46.790 --> 00:05:50.430
הוא הופיע תחילה כהיחס בין ההיקף לבין

00:05:50.430 --> 00:05:54.070
הקוטר, אבל תלמדו ככל שתתקדמו

00:05:54.070 --> 00:05:57.160
במסע המתימטי שלכם, שהוא מופיע בכל מקום.

00:05:57.160 --> 00:05:59.500
זהו אחד הדברים הבסיסים ביקום

00:05:59.500 --> 00:06:03.060
שפשוט גורמים לכם לחשוב שיש שם סדר.

00:06:03.060 --> 00:06:07.750
בכל מקרה, איך נוכל להשתמש בזה

00:06:07.750 --> 00:06:09.330
במתימטיקה בסיסית?

00:06:09.330 --> 00:06:12.490
אז אנחנו יודעים, או אני אומר לכם, שהיחס

00:06:12.490 --> 00:06:19.420
בין ההיקף לבין הקוטר - כשאני אומר יחס,

00:06:19.420 --> 00:06:21.390
מילולית, אני מתכוון לומר שאם תחלק את ההיקף

00:06:21.390 --> 00:06:28.400
בקוטר, תקבלו פי.

00:06:28.400 --> 00:06:29.500
פי הוא סתם מספר.

00:06:29.500 --> 00:06:33.570
אני יכול לרשום 3/14159 ופשוט להמשיך הלאה והלאה,

00:06:33.570 --> 00:06:35.950
אך זה יהיה בזבוז של זמן ויהיה קשה

00:06:35.950 --> 00:06:38.570
להתמודד איתו. אז אנשים פשוט כתבו

00:06:38.570 --> 00:06:40.330
את האות היוונית פי.

00:06:40.330 --> 00:06:41.850
אז - איך נוכל להתייחס לזה?

00:06:41.850 --> 00:06:44.920
נוכל לכפול את שתי האגפים בקוטר

00:06:44.920 --> 00:06:48.640
ונוכל לומר שההיקף שווה לפי

00:06:48.640 --> 00:06:50.820
כפול הקוטר.

00:06:50.820 --> 00:06:55.570
או, מכיוון שהקוטר שווה ל2- כפול הרדיוס, נוכל לאמר

00:06:55.570 --> 00:06:59.420
שההיקף שווה לפי כפול פעמיים

00:06:59.420 --> 00:07:00.360
הרדיוס.

00:07:00.360 --> 00:07:03.450
או בצורה שהכי סביר שתתקלו בה,

00:07:03.450 --> 00:07:07.360
היא שווה ל2πr .

00:07:07.360 --> 00:07:11.220
אז בואו נגיד שנוכל להשתמש בזה לכמה בעיות.

00:07:11.220 --> 00:07:17.240
בואו נגיד שיש לי עיגול ככה, ואני אומר לכם

00:07:17.240 --> 00:07:22.600
שיש לו רדיוס - הרדיוס הזה הוא 3.

00:07:22.600 --> 00:07:28.820
אז, 3 - תנו לי לרשום את זה - אז הרדיוס שווה ל-3.

00:07:28.820 --> 00:07:32.310
אולי זה 3 מטרים - נשים כאן יחידות.

00:07:32.310 --> 00:07:34.660
מהו היקף העיגול?

00:07:34.660 --> 00:07:38.180
ההיקף שווה ל2 כפול פי כפול הרדיוס.

00:07:38.180 --> 00:07:42.090
אז זה יהיה שווה ל-2 כפול פי כפול הרדיוס,

00:07:42.090 --> 00:07:47.280
כפול 3 מטרים, שזה שווה ל6 מטרים כפול

00:07:47.280 --> 00:07:49.520
פי או 6פי מטרים.

00:07:49.520 --> 00:07:52.430
6 פי מטרים.

00:07:52.430 --> 00:07:53.740
אני יכל להכפיל את זה.

00:07:53.740 --> 00:07:55.900
זכרו שפי הוא סך הכל מספר.

00:07:55.900 --> 00:07:59.680
פי הוא 3.14159 שממשיך הלאה והלאה.

00:07:59.680 --> 00:08:03.460
אז אם אכפיל 6 כפול המספר, אולי אקבל 18

00:08:03.460 --> 00:08:05.600
משהו משהו משהו.

00:08:05.600 --> 00:08:07.850
אם יש לכם מחשבון, אולי תרצו לעשות זאת, אבל

00:08:07.850 --> 00:08:10.490
בשביל להשאיר את זה פשוט, אנשים נוטים לרשום

00:08:10.490 --> 00:08:12.120
את זה פי.

00:08:12.120 --> 00:08:14.020
אני לא יודע מה יוצא אם מכפילים 6

00:08:14.020 --> 00:08:18.510
ב3.14159. אני ל איודע אם יוצא משהו קרוב ל19 או

00:08:18.510 --> 00:08:20.910
18, אולי זה בערך 18 נקודה משהו.

00:08:20.910 --> 00:08:21.720
משהו משהו.

00:08:21.720 --> 00:08:23.450
אין לי את המחשבון שלי לפניי.

00:08:23.450 --> 00:08:25.300
אבל במקום לרשום את המספר הזה, פשוט

00:08:25.300 --> 00:08:27.060
רושמים 6 פי.

00:08:27.060 --> 00:08:29.770
האמת, אני לא חושב שזה יחצה את

00:08:29.770 --> 00:08:31.430
המספר 19.

00:08:31.430 --> 00:08:33.770
עכשיו בואו נשאר שאלה אחרת.

00:08:33.770 --> 00:08:35.270
מהו הקוטר של המעגל?

00:08:38.580 --> 00:08:42.690
ובכן, אם הרדיוס הוא 3, הקוטר הוא פעמיים אותו רדיוס.

00:08:42.690 --> 00:08:45.730
אז זה שווה ל3 כפול 2 או 2 פלוס 3,

00:08:45.730 --> 00:08:47.170
ששווה ל6 מטרים.

00:08:47.170 --> 00:08:50.750
אז אם ההיקף הוא 6 פי מטרים, הקוטר הוא 6

00:08:50.750 --> 00:08:53.620
מטרים, הרדיוס הוא 3 מטרים.

00:08:53.620 --> 00:08:55.110
עכשיו בואו ננסה בדרך השניה.

00:08:55.110 --> 00:08:57.310
בואו נאמר שיש לי עיגול.

00:08:57.310 --> 00:09:01.220
ובואו נאמר שיש לי עוד עיגול כאן.

00:09:01.220 --> 00:09:04.620
ואני אומר לכם שההיקפים שלהם שווים

00:09:04.620 --> 00:09:08.560
ל10 מטרים - זה ההיקף של המעגל.

00:09:08.560 --> 00:09:10.990
אם תשימו סרט מדידה סביבו

00:09:10.990 --> 00:09:18.370
והיו שואלים אתכם "מהו היקף העיגול?"

00:09:18.370 --> 00:09:22.810
ובכן, אנחנו יודעים שהקוטר כפולפי - אנחנו יודעים שפי כפול

00:09:22.810 --> 00:09:26.830
הקוטר שווה לקוטר,

00:09:26.830 --> 00:09:28.700
שהוא שווה ל-10 מטרים.

00:09:28.700 --> 00:09:31.020
אז על מנת לפתור את זה כל מה שצריך לעשות זה לחלק את שני הצדדים

00:09:31.020 --> 00:09:32.520
של המשוואה בפי.

00:09:32.520 --> 00:09:35.860
הקוטר שווה ל10 מטרים חלקי פי או

00:09:35.860 --> 00:09:38.710
10 חלקי פי מטרים.

00:09:38.710 --> 00:09:40.020
וזה הוא רק מספר.

00:09:40.020 --> 00:09:42.540
אם יש לכם מחשבון, תוכלו לחלק 10

00:09:42.540 --> 00:09:46.030
ב3.14159, ותקבלו 3 נקודה משהו

00:09:46.030 --> 00:09:47.500
משהו משהו מטרים.

00:09:47.500 --> 00:09:48.960
אני לא מסוגל לחשב את זה בראש.

00:09:48.960 --> 00:09:50.070
אבל זהו רק מספר.

00:09:50.070 --> 00:09:53.320
אבל בשביל הפשטוט, לרוב נשאיר את זה כך.

00:09:53.320 --> 00:09:55.270
עכשיו, מהו הרדיוס?

00:09:55.270 --> 00:09:58.590
ובכן, הרדיוס שווה לחצי הקוטר.

00:09:58.590 --> 00:10:02.870
אז כל המרחק הזה הוא 10 חלקי פי מטרים.

00:10:02.870 --> 00:10:06.230
אם ניקח חצי מזה, אם נרצה לגלות את הרדיוס,

00:10:06.230 --> 00:10:07.580
אנחנו פשוט נכפול ב-½.

00:10:07.580 --> 00:10:13.160
אז יש לנו ½ כפול 10 חלקי פי, ששווה ל-½ כפול

00:10:13.160 --> 00:10:16.770
10, או אם תחלקו את המונה

00:10:16.770 --> 00:10:18.140
במכנה של 2.

00:10:18.140 --> 00:10:21.130
תקבלו שם 5, אז תקבלו 5 חלקי פי.

00:10:21.130 --> 00:10:23.890
אז הרדיוס הזה שווה ל5 חלקי פי.

00:10:23.890 --> 00:10:25.690
אין בזה שום דבר יצירתי במיוחד.

00:10:25.690 --> 00:10:29.760
אני חושב שהדבר שמבלבל אנשים לרוב הוא

00:10:29.760 --> 00:10:31.820
להבין שפי הוא סה"כ מספר.

00:10:31.820 --> 00:10:38.640
פי הוא 3.14159 והוא ממשיך הלאה והלאה.

00:10:38.640 --> 00:10:41.950
יש למעשה אלפי ספרטים שנכתוב על פי, ככה

00:10:41.950 --> 00:10:45.100
שזה לא -- אני לא בטוח שזה אלפים, אני

00:10:45.100 --> 00:10:48.340
מגזים, אבל אפשר לכתוב ספרים על המספר הזה.

00:10:48.340 --> 00:10:49.340
אבל זה רק מספר.

00:10:49.340 --> 00:10:52.480
זה מספר מאוד מיוחד, ואם תרצו לרשום אותו

00:10:52.480 --> 00:10:54.390
בדרך שאנחנו רגילים לכתוב מספרים, תוכלו

00:10:54.390 --> 00:10:55.680
פשוט להכפיל את זה.

00:10:55.680 --> 00:10:58.530
אבל לרוב אנשים מעדיפים פשוט להשאיר

00:10:58.530 --> 00:11:00.640
את זה במושגים של פי.

00:11:00.640 --> 00:11:01.680
בכל מקרה, אני אשאיר אתכם כאן.

00:11:01.680 --> 00:11:05.090
בסרטון הבא, נבין את שטח העיגול.