Deux hommes en pain d'épices, parfaitement rationnels, Croquant et Tendre,
sont surpris par un renard alors qu'ils se promènent.
Les voyant heureux ensemble, le renard décide
qu'il ne va pas simplement les manger.
Il va mettre leur amitié à l'épreuve dans un dilemme cruel.
Il va demander à chaque homme s'il choisit de sauver ou de sacrifier son ami.
Ils peuvent discuter ensemble
mais aucun ne sait quel sera le choix de l'autre avant qu'il ne le détermine.
Si les deux amis choisissent de sauver l'autre,
le renard mangera une jambe de chaque ami.
Si un choisit de sauver l'autre
mais que l'autre choisit de sacrifier son ami,
celui qui a sauvé son ami sera dévoré par le renard
alors que le traitre pourra s'enfuir sain et sauf.
Enfin, si les deux choisissent de sacrifier l'autre,
le renard mangera trois membres de chaque ami.
Dans la théorie des jeux, ce scénario est appelé le dilemme du prisonnier.
Pour déterminer comment chaque homme en pain d'épices agira rationnellement,
nous allons cartographier le résultat de chaque décision.
Sur les lignes, on a les choix de Croquant et dans les colonnes, ceux de Tendre.
Le chiffre dans chaque cellule
représente le résultat de leurs décisions,
mesuré selon le nombre de membres qu'ils vont garder intacts.
Leur amitié survivra-t-elle à ce dilemme ?
Observons d'abord les choix de Tendre.
Si Croquant le sauve, Tendre peut s'enfuir sain et sauf en sacrifiant son ami.
Mais si Croquant le sacrifie,
Tendre peut conserver un membre si lui aussi sacrifie Croquant.
Quel que soit le choix de Croquant,
Tendre obtient toujours un meilleur résultat en sacrifiant son ami.
Tout cela est vrai aussi pour Croquant.
C'est la conclusion typique du dilemme du prisonnier :
les deux personnages se trahiront mutuellement.
Leur stratégie de sacrifier inconditionnellement leur ami
est ce que les experts en théorie des jeux appelle l'équilibre de Nash,
un équilibre où aucun ne peut faire mieux en s'en écartant.
Croquant et Tendre agissent en conséquence
et l'arrogant renard repart le ventre repu de pain d'épices,
laissant aux deux anciens amis une seule jambe chacun.
L'histoire aurait dû se terminer ici
mais un mage observait par hasard le drame se dérouler.
Il dit alors à Croquant et Tendre qu'en punition pour leur trahison,
ils seront condamnés à répéter ce dilemme le reste de leur vie,
et que chaque matin, ils se réveilleront avec quatre membres intacts.
Que va-t-il se passer alors ?
On appelle cela un jeu infini du dilemme du prisonnier, et ça change tout.
Car en effet, les hommes en pain d'épices peuvent négocier leurs décisions futures
contre les choix présents.
Imaginez la stratégie où les deux optent de se sauver mutuellement tous les jours.
Si un des deux choisit néanmoins de sacrifier son ami,
l'autre se vengera en choisissant de sacrifier son ami à chaque fois.
Est-ce suffisant pour que ces bonnes pâtes d'hommes
acceptent de coopérer ?
Pour savoir cela, nous devons prendre en considération un autre facteur :
les hommes en pain d'épices s'inquiètent moins de l'avenir
que du présent.
Autrement dit, ils pourraient accorder moins de valeur
à l'avenir de leurs membres,
et cette différence crée un « delta ».
C'est semblable à l'inflation qui érode la valeur de l'argent.
Si le delta est d'un demi,
le jour 1, ils accordent aux membres du jour 2 la moitié de valeur
que celle du jour 1.
Au jour 3, un quart de valeur par rapport au jour 1, et ainsi de suite.
Un delta de zéro signifie qu'ils n'accordent aucune importance
à l'avenir de leurs membres.
Dans ce cas, ils répéteront sans fin leur choix initial de sacrifice mutuel.
Mais si le delta est proche de 1, ils feront ce qui est possible
pour éviter la douleur de se faire manger trois membres à l'infini
et par conséquent, ils choisiront de se sauver mutuellement.
À un moment donné, ils pourraient changer d'avis.
Nous pouvons déterminer ce moment
en écrivant une série infinie qui représente chaque stratégie,
les deux amis étant égaux et en résolvant delta.
Ici, on a 1/3, ce qui signifie que
tant que Croquant et Tendre accordent de la valeur à demain
à hauteur de 1/3 de la valeur d'aujourd'hui,
leur solution optimale est de se sauver et de coopérer à l'infini.
Cette analyse n'est pas unique aux pain d'épices et aux mages.
Cette situation survient dans la vraie vie,
comme lors de négociations commerciales ou de politiques internationales.
Les dirigeants rationnels doivent supposer que leurs décisions aujourd'hui
influenceront celles de leurs adversaires demain.
L'égoïsme peut s'avérer être préférable à court-terme,
mais avec des incitants appropriés
une coopération pacifique est non seulement possible,
mais démontrée comme étant mathématiquement idéale.
L'avenir des hommes en pain d'épices pourrait se retrouver en miette
mais tant qu'il ne leur manque qu'une seule jambe,
leur amitié ne retombera jamais comme un soufflé.