0:00:00.070,0:00:05.790
V tomto videu chci udělat důkaz jednoho[br]z nejvíce užitečných tvrzení v geometrii,

0:00:05.790,0:00:07.910
a to je to, že obvodový úhel…

0:00:07.910,0:00:17.100
To je úhel, jehož vrchol[br]leží na obvodu kružnice.

0:00:17.100,0:00:19.800
Toto je náš obvodový úhel.

0:00:19.800,0:00:27.170
Označím jej Ψ (psí). Budu[br]používat Ψ pro obvodové úhly.

0:00:27.170,0:00:37.880
Obvodový úhel Ψ je přesně 1/2 středového[br]úhlu, který vymezuje stejný oblouk.

0:00:37.880,0:00:40.310
Použil jsem hodně odborných[br]výrazů, ale myslím si,

0:00:40.310,0:00:44.480
že pochopíte, co jsem se snažil říct.[br]Tohle je Ψ. Je to obvodový úhel.

0:00:44.480,0:00:48.710
Jeho vrchol leží na kružnici.

0:00:48.710,0:00:52.570
Pokud nakreslíte ven dvě polopřímky,[br]které vychází přímo z tohoto úhlu,

0:00:52.570,0:00:57.340
a definují tento úhel, tak to[br]protne kružnici na druhém konci.

0:00:57.340,0:01:00.390
A pokud se podíváte na tu část kružnice,

0:01:00.390,0:01:05.970
která je uvnitř, tak to je ten[br]oblouk, který je náleží Ψ.

0:01:05.970,0:01:09.880
Jsou to všechno odborné výrazy, ale myslím[br]si, že myšlenka je celkem přímočará.

0:01:09.880,0:01:27.725
Toto napravo je oblouk[br]ohraničený Ψ,

0:01:27.725,0:01:32.410
kde Ψ je tento obvodový úhel zde,[br]vrchol leží na kružnici.

0:01:32.410,0:01:39.470
Středový úhel je úhel, jehož[br]vrchol leží ve středu kružnice.

0:01:39.470,0:01:45.180
Řekněme, že toto zde… Zkusím to zvětšit.[br]Toto zde je střed kružnice.

0:01:45.180,0:01:51.360
Nakreslím středový úhel,[br]který vymezuje stejný oblouk.

0:01:51.360,0:01:58.470
Vypadá to jako středový úhel,[br]který vymezuje stejný oblouk.

0:01:58.470,0:02:05.850
Přesně takto. Nazveme to Θ (théta).[br]Tento úhel je Ψ, tento úhel zde je Θ.

0:02:05.850,0:02:14.060
V tomto videu dokážu,[br]že Ψ je vždycky rovno 1/2 krát Θ.

0:02:14.060,0:02:18.220
Takže kdybych Vám řekl,[br]že Ψ je rovno, například,

0:02:18.220,0:02:23.060
25 stupňům, tak byste hned věděli,[br]že Θ musí být rovno 50 stupňům.

0:02:23.060,0:02:29.230
Nebo bych řekl, že Θ má 80 stupňů,[br]tak byste hned věděli, že Ψ má 40 stupňů.

0:02:29.230,0:02:34.520
Tak to pojďme dokázat. Tohle smažu.

0:02:34.520,0:02:40.460
Dobrý způsob, jak začít, nebo jak[br]já začnu, je probrat speciální případy.

0:02:40.460,0:02:47.940
Nakreslím obvodový úhel,[br]kde ale jedna z tětiv je průměr kružnice.

0:02:47.940,0:02:51.346
To tedy není obecný případ,[br]tohle je speciální případ.

0:02:51.346,0:03:04.235
Toto je střed kružnice. Zkusím to zvětšit.[br]Střed vypadá takto. Nakreslím průměr.

0:03:04.235,0:03:09.290
Průměr vypadá nějak takto.[br]Pak nakreslím obvodový úhel.

0:03:09.290,0:03:15.930
Poloměr je jeho jedna část.[br]A pak druhá část třeba nějak takto.

0:03:15.930,0:03:29.130
Toto nazvu Ψ. Tato vzdálenost[br]je poloměr, to je poloměr kružnice.

0:03:29.130,0:03:35.760
Pak tato délka bude také poloměr této[br]kružnice, který jde od středu k obvodu.

0:03:35.760,0:03:40.340
Kružnice je definovaná všemi body, které[br]jsou přesně poloměr vzdálené od středu.

0:03:40.340,0:03:47.930
Toto je také poloměr. Tento[br]trojúhelník je rovnoramenný.

0:03:47.930,0:03:51.600
Má dvě stejně dlouhé strany.[br]Tyto dvě strany jsou rozhodně stejné.

0:03:51.600,0:03:57.290
Víme, že když jsou dvě strany stejné, tak[br]jejich úhly u základny jsou také stejné.

0:03:57.290,0:04:00.640
Pak tedy i toto bude rovno Ψ.

0:04:00.640,0:04:03.220
Možná to nepoznáváte,[br]protože to je natočené.

0:04:03.220,0:04:08.240
Ale myslím si, že většina z nás,[br]když vidí takový trojúhelník

0:04:08.240,0:04:11.940
a řekl bych, že toto je r, toto je[br]také r, tyto dvě strany jsou stejné

0:04:11.940,0:04:20.840
a toto je Ψ, tak byste také věděli,[br]že tento úhel je také Ψ.

0:04:20.840,0:04:23.930
Úhly u základny jsou u[br]rovnoramenného trojúhelníku stejné.

0:04:23.930,0:04:29.730
Toto je tedy Ψ, toto je také Ψ.[br]Teď se kouknu na ten středový úhel.

0:04:29.730,0:04:32.710
Toto je středový úhel[br]vymezující stejný oblouk.

0:04:32.710,0:04:44.170
Vyznačím ten oblouk, který oba vymezují.[br]Toto je středový úhel, nazvu ho Θ.

0:04:44.170,0:04:49.000
Pokud je tento úhel Θ,[br]kolik je potom tento úhel?

0:04:49.000,0:04:52.960
Tento úhel zde. Tento[br]úhel je doplňkovým k Θ.

0:04:52.960,0:04:56.440
Takže to je 180 minus Θ.

0:04:56.440,0:05:00.430
Když dáte tyto dva dohromady,[br]tak dostanete 180 stupňů.

0:05:00.430,0:05:03.790
Tak nějak tvoří přímku.[br]Jsou navzájem doplňkové.

0:05:03.790,0:05:08.260
Také víme, že tyto tři úhly[br]jsou ve stejném trojúhelníku.

0:05:08.260,0:05:12.030
Takže dohromady musí mít 180 stupňů.

0:05:12.030,0:05:20.060
Máme tedy Ψ… Tohle Ψ[br]plus Ψ plus tento úhel,

0:05:20.060,0:05:25.420
který je 180 minus Θ,[br]neboli plus 180 minus Θ.

0:05:25.420,0:05:29.130
Tyto tři úhly musí dát[br]dohromady 180 stupňů.

0:05:29.130,0:05:37.140
Jsou to úhly v trojúhelníku. Můžeme[br]odečíst 180 od obou stran rovnice.

0:05:37.140,0:05:44.880
Ψ plus Ψ jsou 2Ψ minus Θ je rovno 0.[br]Přičteme Θ k oběma stranám.

0:05:44.880,0:05:48.770
Máme 2Ψ je rovno Θ.

0:05:48.770,0:05:52.850
Vynásobíme obě strany 1/2,[br]nebo vydělíme obě strany 2.

0:05:52.850,0:05:56.680
A máme Ψ je rovno 1/2 krát Θ.

0:05:56.680,0:06:02.320
Takže jsme právě dokázali,[br]co jsme chtěli, ve speciálním případě,

0:06:02.320,0:06:08.030
kde obvodový úhel je[br]definovaný tak, že jedna polopřímka…

0:06:08.030,0:06:10.690
Pokud se na tyto přímky chcete[br]dívat jako na polopřímky,

0:06:10.690,0:06:17.190
kde jedna z polopřímek, které[br]definuíe obvodový úhel, je průměr.

0:06:17.190,0:06:19.200
Průměr tvoří část té přímky.

0:06:19.200,0:06:22.390
Tohle je tedy speciální případ,[br]kde jedna část je průměr.

0:06:22.390,0:06:27.660
Můžeme to trochu zobecnit.

0:06:27.660,0:06:32.830
Teď tedy víme, že pokud je toto[br]50, pak tohle je 100 stupňů a podobně.

0:06:32.830,0:06:37.880
Cokoli je Ψ, nebo cokoli je Θ,[br]tak Ψ bude 1/2 krát Θ,

0:06:37.880,0:06:41.840
nebo cokoli Ψ je,[br]tak Θ bude dvakrát tolik.

0:06:41.840,0:06:44.110
A teď to chceme kdykoli.

0:06:44.110,0:06:59.470
Můžeme to dokázat pouze s tím,[br]co právě máme, můžeme to trochu zobecnit.

0:06:59.470,0:07:02.890
I když to nebude platit[br]pro všechny obvodové úhly.

0:07:02.890,0:07:10.680
Mějme obvodový úhel,[br]která vypadá nějak takto.

0:07:10.680,0:07:15.450
V tomto případě střed, můžete se[br]na to dívat tak, že to je uvnitř kruhu.

0:07:15.450,0:07:17.150
To je obvodový úhel.

0:07:17.150,0:07:21.430
A já chci vztah mezi tímto obvodovým[br]úhlem a středovým úhlem,

0:07:21.430,0:07:24.370
který vymezuje stejný oblouk.

0:07:24.370,0:07:29.880
Toto je středový úhel[br]vymezující stejný oblouk.

0:07:29.880,0:07:33.550
Možná si řeknete, že žádná[br]z těchto přímek nebo tětiv,

0:07:33.550,0:07:37.310
které definují tento úhel,[br]není průměr.

0:07:37.310,0:07:40.400
Ale my ho můžeme dokreslit.

0:07:40.400,0:07:45.930
Pokud je střed v těchto dvou[br]tětivách, tak můžeme nakreslit průměr.

0:07:45.930,0:07:48.920
Můžeme takto nakreslit průměr.

0:07:48.920,0:07:55.160
Pokud nakreslíme průměr takto, pak[br]definujeme tento úhel Ψ1 a tento Ψ2.

0:07:55.160,0:07:58.320
Zjevně je Ψ součet těchto dvou úhlů.

0:07:58.320,0:08:04.350
A tento úhel můžeme nazvat Θ1 a tento Θ2.

0:08:04.350,0:08:07.860
Hned víme, jen díky tomu,[br]co jsme už dokázali,

0:08:07.860,0:08:13.550
že jelikož máme jednu tětivu našeho[br]úhlu v obou případech průměrem,

0:08:13.550,0:08:24.880
tak víme, že Ψ1 bude rovno 1/2 krát Θ1.[br]A víme, že Ψ2 je rovno 1/2 krát Θ2.

0:08:24.880,0:08:29.920
Ψ2 je rovno 1/2 krát Θ2.

0:08:29.920,0:08:41.130
Tedy Ψ, které je rovno Ψ1 plus Ψ2, neboli[br]Ψ1 plus Ψ2 je rovno těmto dvěma věcem.

0:08:41.130,0:08:47.580
1/2 krát Θ plus 1/2 krát Θ.

0:08:47.580,0:08:53.860
Ψ1 plus Ψ2, to je rovno prvnímu obvodovému[br]úhlu, který nás zajímá, jenom obyčejné Ψ.

0:08:53.860,0:09:00.830
To je Ψ. A toto zde je[br]rovno 1/2 krát Θ1 plus Θ2.

0:09:00.830,0:09:08.450
Co je Θ1 plus Θ2? To je[br]naše původní Θ, které nás zajímá.

0:09:08.450,0:09:12.080
Teď tedy vidíme,[br]že Ψ je rovno 1/2 krát Θ.

0:09:12.080,0:09:14.710
Teď jsme to dokázali[br]pro trochu obecnější případ,

0:09:14.710,0:09:21.640
že pokud je střed mezi dvěma[br]tětivami, které definují úhel.

0:09:21.640,0:09:27.100
Ještě jsme pořád nedokázali trochu[br]těžší situaci, nebo více obecnou situaci,

0:09:27.100,0:09:41.000
kde máme obvodový úhel[br]a střed není mezi tětivami.

0:09:41.000,0:09:48.810
Nakreslím to. Toto je můj[br]vrchol, a změním barvy.

0:09:48.810,0:09:52.990
Tady máme jednu tětivu,[br]která definuje úhel, přesně zde.

0:09:52.990,0:09:59.190
A máme druhou tětivu,[br]která definuje úhel.

0:09:59.190,0:10:07.930
Jak tedy najdeme vztah mezi…[br]Tento úhel nazveme Ψ1.

0:10:07.930,0:10:16.170
Jak najdeme vztah mezi Ψ1 a středovým[br]úhlem, který vymezuje stejný oblouk?

0:10:16.170,0:10:19.530
Když mluvím o stejném[br]oblouku, tak to je tento zde.

0:10:19.530,0:10:28.150
Tedy středový úhel, který vymezuje[br]stejný oblouk vypadá nějak takto.

0:10:28.150,0:10:32.910
Nazveme to Θ1.

0:10:32.910,0:10:35.620
Můžeme udělat to, že použijeme,[br]co jsme se právě naučili,

0:10:35.620,0:10:41.140
když jedna strana úhlu je průměr.[br]Tak to nakresleme.

0:10:41.140,0:10:44.260
Nakreslím sem průměr.

0:10:44.260,0:10:48.140
Chceme výsledek, že toto by[br]mělo být 1/2 krát toto, ale dokažme to.

0:10:48.140,0:10:57.430
Nakreslím zde průměr.

0:10:57.430,0:11:14.390
Tento úhel nazveme Ψ2.[br]A toto je vymezený oblouk.

0:11:14.390,0:11:19.570
Udělám to tmavší barvou.[br]Obsahuje to oblouk zde.

0:11:19.570,0:11:25.340
Středový úhel, který obsahuje[br]stejný oblouk, nazveme Θ2.

0:11:25.340,0:11:37.610
Teď víme z předchozího příkladu,[br]že Ψ2 je rovno 1/2 krát Θ2.

0:11:37.610,0:11:44.310
Mají stejný průměr, je přímo tady.[br]Průměr je jedna z tětiv, které tvoří úhel.

0:11:44.310,0:11:49.840
Tedy Ψ2 bude rovno 1/2 krát Θ2.

0:11:49.840,0:11:52.730
Tohle je to, co jsme se[br]snažili dělat v minulém videu, že?

0:11:52.730,0:11:59.550
Tohle je obvodový úhel.[br]Jedna z tětiv je poloměr.

0:11:59.550,0:12:05.980
Tohle bude 1/2 krát tento úhel, středový[br]úhel, který vymezuje stejný oblouk.

0:12:05.980,0:12:11.680
Koukněme se teď na tento větší úhel.[br]Tento větší úhel zde.

0:12:11.680,0:12:22.650
Ψ1 plus Ψ2. Dobře, tento[br]větší úhel je Ψ1 plus Ψ2.

0:12:22.650,0:12:31.080
Toto obsahuje celý tento oblouk[br]a průměr jako jednu tětivu,

0:12:31.080,0:12:34.320
která definuje tento velký úhel.

0:12:34.320,0:12:38.590
Tohle bude tedy rovno 1/2 středového úhlu,[br]který vymezuje stejný oblouk.

0:12:38.590,0:12:42.270
Používáme to, už jsme[br]to v tomto videu dokázali.

0:12:42.270,0:12:54.190
Tohle bude rovno polovině tohoto[br]velkého středového úhlu Θ1 plus Θ2.

0:12:54.190,0:12:58.180
Zatím jsme použili vše, co jsme[br]se naučili před chvílí v tomto videu.

0:12:58.180,0:13:03.160
Teď víme, že Ψ2 je rovno 1/2 krát Θ2.

0:13:03.160,0:13:07.030
Uděláme to tedy substitucí.[br]Tohle je rovno tomuto.

0:13:07.030,0:13:14.140
Můžeme říct, že to je Ψ1 plus,

0:13:14.140,0:13:30.340
místo Ψ2 napíšu 1/2 krát Θ2 je[br]rovno 1/2 krát Θ1 plus 1/2 krát Θ2.

0:13:30.340,0:13:35.740
Můžeme odečíst 1/2 krát Θ2 od[br]obou stran, a máme náš výsledek.

0:13:35.740,0:13:41.980
Ψ1 je rovno 1/2 krát Θ1.[br]A máme hotovo.

0:13:41.980,0:13:48.480
Dokázali jsme, že obvodový úhel[br]je vždycky 1/2 středového úhlu,

0:13:48.480,0:13:50.680
který obsahuje stejný oblouk.

0:13:50.680,0:13:55.860
Nezávisí na tom, jestli střed[br]kružnice je uvnitř úhlu,

0:13:55.860,0:14:00.580
nebo vně úhlu, jestli máme[br]průměr jako tětivu.

0:14:00.580,0:14:07.160
Jakýkoli jiný úhel může být vytvořen[br]jako součet některých z těchto úhlů,

0:14:07.160,0:14:08.350
které jsme již dokázali.

0:14:08.350,0:14:12.550
Doufám, že Vám to pomohlo[br]a teď můžeme stavět na tomto tvrzení

0:14:12.550,0:14:15.850
a vytvořit zajímavější geometrické důkazy.