WEBVTT

00:00:00.690 --> 00:00:02.959
여기 노란색으로 그린 것은 직선입니다

00:00:02.959 --> 00:00:04.199
이 직선에 대해

00:00:04.199 --> 00:00:05.320
두 가지를 알고 있다고 가정해봅시다

00:00:05.320 --> 00:00:08.170
이 직선의 기울기가 m이라는 것과

00:00:08.170 --> 00:00:10.170
점 a, b가

00:00:10.170 --> 00:00:11.645
이 직선 위에 있다는 것을 알고 있습니다

00:00:11.645 --> 00:00:13.900
여기서 풀어볼 문제는

00:00:13.900 --> 00:00:16.530
주어진 두 정보를 이용하여

00:00:16.530 --> 00:00:20.220
이 직선의 방정식을 구하는 것 입니다

00:00:20.220 --> 00:00:21.270
한번 해볼까요?

00:00:21.270 --> 00:00:26.050
(x,y) 같은 어떤 점이든, 이 선에 있는 점들은

00:00:26.050 --> 00:00:28.110
조건을 만족시켜야 합니다

00:00:28.110 --> 00:00:30.170
점 사이에 있는 기울기

00:00:30.170 --> 00:00:32.020
이 곳을 (x,y)라고 해봅시다

00:00:32.020 --> 00:00:34.120
이 좌표는 이 선 위의 임의의 점이에요

00:00:34.120 --> 00:00:36.190
그리고 점이 이 직선 위에 있다고 한다면

00:00:36.190 --> 00:00:39.540
(a, b) 그리고 (x, y) 사이의 기울기는

00:00:39.540 --> 00:00:42.540
반드시 m이 되어야 합니다

00:00:42.540 --> 00:00:45.950
위의 내용을 바탕으로 방정식을 세워볼까요?

00:00:45.950 --> 00:00:49.890
(a, b)와 (x, y) 사이의 기울기는 무엇일까요?

00:00:49.890 --> 00:00:51.740
기울기가 x의 변화량으로

00:00:51.740 --> 00:00:53.400
y의 변화량을 나눈 값이라는 것을
떠올려 보세요

00:00:53.400 --> 00:00:54.150
써볼게요

00:00:54.150 --> 00:00:58.900
기울기는 Δy/Δx 입니다

00:00:58.900 --> 00:01:01.690
이 삼각형은 델타라는 그리스 문자에요

00:01:01.690 --> 00:01:03.900
변화량을 나타내는 기호죠

00:01:03.900 --> 00:01:05.510
y의 변화량을 살펴 볼까요?

00:01:05.510 --> 00:01:11.480
만약 y = b가 시작점이고

00:01:11.510 --> 00:01:14.910
여기 임의의 y값을 끝점이라고 한다면

00:01:14.910 --> 00:01:20.907
y의 변화량은 (y-b)가 되죠

00:01:20.907 --> 00:01:23.130
그래프와 같은 색으로 써볼게요

00:01:23.130 --> 00:01:28.170
y - b 는

00:01:28.170 --> 00:01:30.860
분자인 x의 변화량 위에 쓰여지죠

00:01:30.860 --> 00:01:33.360
같은 방식으로
a를 x의 시작점으로 잡을게요

00:01:33.360 --> 00:01:35.150
x의 값을 여기 무작위로 정한

00:01:35.150 --> 00:01:36.300
x값까지로 합니다

00:01:36.300 --> 00:01:37.460
x값은 어디든 상관없어요

00:01:37.460 --> 00:01:41.230
그래서 x의 변화량은 이 끝점인 x와

00:01:41.230 --> 00:01:44.000
시작점인 a를 뺀 x - a 가 됩니다

00:01:44.000 --> 00:01:45.700
이 기울기가 여기 두 점들 사이의

00:01:45.700 --> 00:01:47.320
기울기라는 것을 알고있죠?

00:01:47.320 --> 00:01:48.320
선 위의 어느 두 점을 잡든

00:01:48.320 --> 00:01:50.310
두 점 사이의 기울기는 항상 같죠

00:01:50.310 --> 00:01:52.150
그래서 이 기울기의 값은 m과 같습니다

00:01:52.150 --> 00:01:54.950
그래서 이것은 m과 같습니다

00:01:54.950 --> 00:01:57.960
여기서 이미

00:01:57.960 --> 00:02:00.959
이 직선을 나타낸는 방정식을 세웠습니다

00:02:00.959 --> 00:02:03.250
익숙한 형태는 아니지만

00:02:03.250 --> 00:02:05.160
이 방정식이 직선의 기울기를 나타냅니다

00:02:05.160 --> 00:02:08.130
이 방정식을 만족하는 모든 x, y는

00:02:08.130 --> 00:02:09.130
선 위에 있을 겁니다

00:02:09.130 --> 00:02:11.670
왜냐하면 이 식을 만족하는 임의의 점인

00:02:11.670 --> 00:02:16.460
(x, y)와 좌표 (a,b) 사이의 기울기는

00:02:16.460 --> 00:02:21.306
m이 되기 때문이죠

00:02:21.306 --> 00:02:24.450
그렇다면, 이것을 다른 형식으로 바꿔볼까요?

00:02:24.450 --> 00:02:27.050
알기 쉽게 말이죠

00:02:27.050 --> 00:02:29.620
식을 복사해서 붙일게요

00:02:29.620 --> 00:02:33.070
이 표현을 쉽게 바꿔봅시다

00:02:33.070 --> 00:02:35.660
분모인 x - a 를 없애도록 말이죠

00:02:35.660 --> 00:02:39.790
우변과 좌변에 x - a 를 곱해봅시다

00:02:39.790 --> 00:02:44.025
양변에 모두 x - a 를 곱하는 거에요

00:02:44.025 --> 00:02:47.872
이렇게 좌변에 x - a 를 곱하고

00:02:47.872 --> 00:02:53.330
오른쪽에도 x - a 를 곱해봅시다

00:02:53.330 --> 00:02:56.460
소괄호를 쳐볼게요

00:02:56.460 --> 00:02:58.330
(x - a)를 양변에 곱했습니다

00:02:58.330 --> 00:03:02.728
좌변을 보면 (x - a)가 (x - a)로 나뉘었죠?

00:03:02.728 --> 00:03:05.026
같은 값끼리 나뉘었으니까
좌변은 1이 됩니다

00:03:05.026 --> 00:03:06.270
그리고 우변은

00:03:06.270 --> 00:03:07.750
m(x - a) 입니다

00:03:07.750 --> 00:03:10.200
이렇게 간단하게 바뀐거죠

00:03:10.200 --> 00:03:21.250
y - b = m(x - a) 로 말이죠

00:03:21.250 --> 00:03:23.450
이 식은 수학자들이

00:03:23.450 --> 00:03:27.850
점-기울기 꼴의 식이라고
분류하였습니다

00:03:27.850 --> 00:03:32.150
그래서 이 식은 이 직선에 대한

00:03:32.150 --> 00:03:34.970
점-기울기 꼴의 방정식이죠

00:03:34.970 --> 00:03:36.230
왜 이 식을 점-기울기 꼴이라고 할까요?

00:03:36.230 --> 00:03:38.950
쉽게 확인할 수 있습니다

00:03:38.950 --> 00:03:41.950
녹색으로 쓴 m은 직선의 기울기에요

00:03:41.950 --> 00:03:44.000
이게 직선의 기울기죠

00:03:44.000 --> 00:03:47.310
그리고 여기에 두 점을 써볼게요

00:03:47.310 --> 00:03:50.830
만약 점 (a, b)가 이 선 위에 있다면

00:03:50.830 --> 00:03:53.070
y-b = m(x - a) 라는 식이 나옵니다

00:03:53.070 --> 00:03:55.210
y-b = m(x - a) 라는 식이 나옵니다

00:03:55.210 --> 00:03:57.140
왜 이 식이 유용한지

00:03:57.140 --> 00:03:58.740
왜 사람들이 이 식을 선호하는지 알아봅시다

00:03:58.740 --> 00:04:00.780
이번에는 (a, b) 그리고 기울기 m을

00:04:00.780 --> 00:04:01.720
사용하지 않을게요

00:04:01.720 --> 00:04:04.260
대신 좀 더 정확하게 써보겠습니다

00:04:04.260 --> 00:04:08.904
임의의 직선이 있습니다

00:04:08.904 --> 00:04:10.930
기울기가 2이고

00:04:10.930 --> 00:04:21.270
점 (-7, 5)를 지난다고 가정합니다

00:04:21.275 --> 00:04:26.020
이 정보와 점-기울기 꼴에 대한

00:04:26.020 --> 00:04:28.450
정보를 이용해 볼까요?

00:04:28.450 --> 00:04:29.930
이와 같은 식으로
나타내기 위해서 말이죠

00:04:29.930 --> 00:04:31.060
이렇게 생각할 수 있습니다

00:04:31.060 --> 00:04:36.400
점 (-7, 5)를 포함하고
기울기가 2인 방정식이라면

00:04:36.400 --> 00:04:39.400
좌변은 y - b = y - 5 가 되겠죠

00:04:39.400 --> 00:04:44.500
5가 이 직선 위의 좌표니까요

00:04:44.500 --> 00:04:47.730
그래서 y - 5 는

00:04:47.730 --> 00:04:55.930
기울기인 2와 (x - a)의 곱이 됩니다

00:04:55.930 --> 00:04:58.430
a자리에는 직선 위의 점인
-7이 들어가면 되죠

00:04:58.430 --> 00:05:00.240
즉, x - (-7) 이 됩니다

00:05:00.250 --> 00:05:03.270
이렇게 기울기가 2이고

00:05:03.270 --> 00:05:05.650
이 점을 포함하는

00:05:05.650 --> 00:05:07.070
방정식을 완성했습니다

00:05:07.080 --> 00:05:09.780
그리고x - (-7) 로 쓰는게 싫다면

00:05:09.780 --> 00:05:12.034
x + 7 로 바꿔써도 됩니다

00:05:12.034 --> 00:05:13.374
하지만 이것이
점-기울기 꼴의 식의 원리를

00:05:13.374 --> 00:05:14.690
가장 잘 알려주는 형태입니다

00:05:14.690 --> 00:05:15.730
좀 더 쉽게 바꾸고 싶다면

00:05:15.730 --> 00:05:21.730
y - 5 = 2(x + 7) 로 쓸 수 있습니다

00:05:21.730 --> 00:05:24.040
또한, 이 식의 형태 뿐만 아니라

00:05:24.040 --> 00:05:26.228
이 선에 대한 다른 형태의
방정식들도 있습니다

00:05:26.228 --> 00:05:28.770
그 중에서 가장 익숙한 식은

00:05:28.770 --> 00:05:30.250
y = ax + b 꼴입니다

00:05:30.250 --> 00:05:32.760
이 식도 쉽게
y = ax + b 꼴로 바꿀 수 있어요

00:05:32.760 --> 00:05:34.020
2를 분배해줍시다

00:05:34.020 --> 00:05:40.240
y - 5 = 2 × 2 + 2 × 7 이 되죠

00:05:40.240 --> 00:05:41.510
2 × 7 = 14 입니다

00:05:41.510 --> 00:05:44.910
그리고 양변에 5를 더해서

00:05:44.910 --> 00:05:47.680
좌변의 -5를 없애봅시다

00:05:47.680 --> 00:05:50.740
그러면 좌변에는 y

00:05:50.740 --> 00:05:54.250
우변에는 2x + 19 가 남게 되죠?

00:05:54.250 --> 00:05:57.360
따라서 이 식은
기울기-절편 꼴의 식이 됩니다

00:05:57.360 --> 00:05:58.100
여기 기울기와 y절편이 있죠?

00:05:58.100 --> 00:05:59.946
여기 기울기와 y절편이 있죠?

00:05:59.946 --> 00:06:02.916
그래서 이것이
기울기-절편 꼴의 식이고

00:06:02.916 --> 00:06:05.830
여기 위 식은
점-기울기 꼴의 식이 됩니다