เขาบอกเราว่าสามเหลี่ยม ABC มีความยาวรอบรูป P และ รัศมีแนบในยาว r
และเขาอยากให้เราหาพื้นที่สามเหลี่ยม ABC
ในพจน์ของ P และ r
เรารู้ว่าความยาวรอบรูป
คือผลบวกความยาวด้านของสามเหลี่ยม
หรือความยาวรั้วล้อมรอบ
ที่คุณใช้รอบสามเหลี่ยม
มาทบทวนกันหน่อยว่ารัศมีแนบในคืออะไร
ถ้าเราลากเส้นแบ่งครึ่งมุมของแต่ละมุมเหล่านี้
ก็แบ่งครึ่งมุมนั้น แล้วก็แบ่งครึ่ง
มุมตรงนั้น
มุมนี้จะเท่ากับมุมนั้น
และมุมนี้ก็จะเท่ากับมุมนั้น
และจุดที่เส้นแบ่งครึ่งมุมทั้งสามตัดกัน
จุดตรงนี้ คือจุดศูนย์กลางแนบในของเรา
มันห่างจากด้านทั้งสามเท่ากัน
และระยะห่างจากด้านเหล่านั้นก็คือรัศมีแนบใน
ผมวาดรัศมีแนบในนะ
เวลาคุณหาระยะห่างระหว่างจุดกับเส้นตรง
คุณจะลากเส้นตั้งฉาก
ความยาวตรงนี้ก็คือรัศมีแนบใน
ความยาวตรงนี้คือรัศมีแนบใน
และความยาวตรงนี้คือรัศมีแนบในเช่นกัน
ถ้าคุณต้องการ จะวาดวงกลมแนบในตรงนี้ก็ได้
โดยจุดศูนย์กลางคือจุดศูนย์กลางแนบใน และรัศมียาวเท่ากับ r
และวงกลมก็จะดูหน้าตาแบบนี้
เราไม่จำเป็นต้องวาดมันในโจทย์ข้อนี้
คุณจะวาดวงกลมทำนองนี้ก็ได้
และเราเรียกมันว่าวงกลมแนบใน
ทีนี้ มาดูกันว่าเราจะหาพื้นที่นี้ได้อย่างไร
โดยใช้รัศมีแนบใน
เอาล่ะ สิ่งที่ดีของรัศมีแนบใน
ก็คือมันดูเหมือนเส้นส่วนสูง
มันดูเหมือนเส้นส่วนสูงสำหรับสามเหลี่ยมรูปนี้
สามเหลี่ยม A... ตั้งชื่อจุดศูนย์กลางก่อนนะ
เราเรียกมันว่า I มาจาก incenter
เจ้า r ตรงนี้ก็คือส่วนสูงของสามเหลี่ยม AIC
r นี้คือส่วนสูงของสามเหลี่ยม BIC
และ r ตรงนี้ ที่เราไม่ได้เขียนไว้ เจ้า r ตรงนั้น
คือส่วนสูงของสามเหลี่ยม AIB
และเรารู้ดี แบบนี้เราก็หา
พื้นที่สามเหลี่ยมเหล่านั้นได้
ในพจน์ของ r และความยาวฐาน
และถ้าเรารวมพื้นที่สามเหลี่ยมเหล่านี้เข้าด้วยกัน
เราจะได้บางสิ่งในพจน์ของ ความยาวรอบรูปและรัศมี
มาลองทำกันนะ
พื้นที่ของสามเหลี่ยมทั้งหมด พื้นที่ของ ABC
จะเท่ากับ --- และผมจะ
ระบายสีกำกับ -- จะเท่ากับพื้นที่ของ AIC
นี่คือที่ผมแรเงาตรงนี้ด้วยสีบานเย็น
จะเท่ากับพื้นที่ของ AIC บวกพื้นที่
ของ BIC ซึ่งคือสามเหลี่ยมตรงนี้
ที่จริงผมเปลี่ยนสีก่อนดีกว่า
ผมใช้สีฟ้าไปแล้ว
ใช้สีส้มตรงนั้นแล้วกัน
บวกพื้นที่ของ BIC
นั่นก็คือพื้นที่ตรงนี้
และสุดท้าย บวกพื้นที่ --- แป๊บนะ
ผมจะใช้สีชมพู --- บวกพื้นที่ของ AIB
นี่คือพื้นที่ของ AIB
พอรวมพื้นที่สามเหลี่ยมทั้งสามเข้าด้วยกัน
คุณจะได้พื้นที่ของสามเหลี่ยมใหญ่
ทีนี้ AIC พื้นที่ของ AIC จะเท่ากับ
1/2 คูณความยาวฐาน คูณความสูง
มันจะเท่ากับ 1/2
ฐานคือ AC เป็น (1/2)AC คูณ
ความสูง --- คูณส่วนสูงตรงนี้
ซึ่งจะเท่ากับ r --- คูณ r
นี่คือพื้นที่ของ AIC
จากนั้น พื้นที่ของ BIC จะเท่ากับ 1/2 คูณความยาวฐาน
ซึ่งคือ BC คูณความสูง ซึ่งคือ r
และบวกพื้นที่ของ AIB ก็คือตรงนี้
ซึ่งจะเท่ากับ 1/2 คูณความยาวฐาน ซึ่ง
คือความยาวของด้านนี้ AB คูณความสูง ซึ่ง
ก็คือ r อีกครั้ง
และตรงนี้ เราสามารถดึงตัวร่วม (1/2)r ออกมาจากพจน์เหล่านี้ได้
คุณจะได้ (1/2)r คูณ AC บวก BC บวก AB
ผมว่าคุณคงเห็นว่าจะไปยังไงต่อ
บวก --- นี่สีไม่เหมือนชมพู --- บวก AB
ทีนี้ AC บวก BC บวก AB คืออะไร
มันก็เท่ากับความยาวรอบรูป P
ถ้าคุณบวกความยาวด้านเข้าด้วยกัน
ก็จะได้ความยาวรอบรูป P และดูเหมือนเราจะเสร็จแล้ว
พื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC เท่ากับ 1/2 คูณ r คูณ ความยาวรอบรูป
ซึ่งเป็นสูตรที่ดูดีทีเดียว
1/2 คูณ รัศมีแนบใน คูณ ความยาวรอบรูปสามเหลี่ยม
บางทีคุณจะเห็นคนเขียนแบบนี้
มันเท่ากับ r คูณ P ส่วน s โทษทีครับ ส่วน 2
และพจน์นี้ ความยาวรอบรูปหารด้วย 2
บางทีก็เรียกว่า ความยาวกึ่งรอบรูป (semiperimeter)
และบางทีมันถูกแทนด้วย s ดังนั้น บางที
คุณจะเห็น พื้นที่เท่ากับ r คูณ s
โดย s แทนความยาวกึ่งรอบรูป
มันคือความยาวรอบรูปหารด้วย 2
ส่วนตัวผมชอบแบบนี้มากกว่าหน่ย
เพราะผมจำได้ว่า P คือความยาวรอบรูป
มันมีประโยชน์ เพราะชัดเจนว่าถ้าคุณ
รู้รัศมีแนบในและความยาวรอบรูป คุณจะหา
พื้นที่สามเหลี่ยมได้
หรือถ้าใครให้พื้นที่สามเหลี่ยมมา
และความยาวรอบรูป คุณก็จะรู้รัศมีแนบใน
กล่าวคือถ้าคุณรู้ข้อมูลสองในสาม
คุณจะหาตัวที่สามได้
ตัวอย่างเช่น ถ้าสามเหลี่ยมตรงนี้
มันอาจจะเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากที่โด่งดังที่สุด
ถ้าผมมีสามเหลี่ยมที่มีด้านยาว 3. 4 และ 5
เรารู้ว่ามันคือสามเหลี่ยมมุมฉาก
ตรวจสอบได้ด้วยทฤษฎีบทพีทาโกรัส
และถ้าใครถามว่า
รัศมีแนบในสามเหลี่ยมนี้เป็นเท่าไร
เราสามารถหาพื้นที่ได้โดยง่าน
เรารู้ว่ามันคือสามเหลี่ยมมุมฉาก
3 กำลังสอง บวก 4 กำลังสอง เท่ากับ 5 กำลังสอง
พื้นที่สามเหลี่ยมจึงจะเท่ากับ 3 คูณ 4 คูณ 1/2
ซึ่ง 3 คูณ 4 คูณ 1/2 เป็น 6 แล้ว
ความยาวรอบรูปจะ
เท่ากับ 3 บวก 4 ซึ่งคือ 7 บวก 5 เป็น 12
เราจึงได้พื้นที่
เขียนสูตรก่อน พื้นที่เท่ากับ 1/2 คูณ รัศมีแนบใน
คูณความยาวรอบรูป
เราจึงได้ 12 เท่ากับ 1/2 คูณ รัศมีแนบใน
คูณ ความยาวรอบรูป
เราจะได้ โอ้ โทษที เรามี 6
ผมเขียนใหม่นะ
พื้นที่คือ 6
เราจะได้ 6 เท่ากับ 1/2 คูณ รัศมีแนบใน คูณ 12
ในสถานการณ์นี้ 1/2 คูณ 12 ก็คือ 6
เราได้ 6 เท่ากับ 6r
หารทั้งสองข้างด้วย 6 จะได้ r เท่ากับ 1
ดังนั้น ถ้าคุณจะวาดรัศมีแนบในสามเหลี่ยมนี้
ซึ่งดูดีทีเดียว
ผมวาดเส้นแบ่งครึ่งมุมสักหน่อยนะ
สามเหลี่ยมมุมฉาก 3-4-5 นี้ จะมีรัศมีแนบในยาว 1
ระยะนี้จะเท่ากับระยะนี้
ซึ่งเท่ากับระยะนี้ ซึ่ง
เท่ากับ 1 ซึ่งดูสวยงามทีเดียว