เขาบอกเราว่าสามเหลี่ยม ABC มีความยาวรอบรูป P และ รัศมีแนบในยาว r และเขาอยากให้เราหาพื้นที่สามเหลี่ยม ABC ในพจน์ของ P และ r เรารู้ว่าความยาวรอบรูป คือผลบวกความยาวด้านของสามเหลี่ยม หรือความยาวรั้วล้อมรอบ ที่คุณใช้รอบสามเหลี่ยม มาทบทวนกันหน่อยว่ารัศมีแนบในคืออะไร ถ้าเราลากเส้นแบ่งครึ่งมุมของแต่ละมุมเหล่านี้ ถ้าเราลากเส้นแบ่งครึ่งมุมของแต่ละมุมเหล่านี้ ก็แบ่งครึ่งมุมนั้น แล้วก็แบ่งครึ่ง มุมตรงนั้น มุมนี้จะเท่ากับมุมนั้น มุมนี้จะเท่ากับมุมนั้น และมุมนี้ก็จะเท่ากับมุมนั้น และจุดที่เส้นแบ่งครึ่งมุมทั้งสามตัดกัน จุดตรงนี้ คือจุดศูนย์กลางแนบในของเรา มันห่างจากด้านทั้งสามเท่ากัน และระยะห่างจากด้านเหล่านั้นก็คือรัศมีแนบใน ผมวาดรัศมีแนบในนะ เวลาคุณหาระยะห่างระหว่างจุดกับเส้นตรง คุณจะลากเส้นตั้งฉาก ความยาวตรงนี้ก็คือรัศมีแนบใน ความยาวตรงนี้คือรัศมีแนบใน และความยาวตรงนี้คือรัศมีแนบในเช่นกัน ถ้าคุณต้องการ จะวาดวงกลมแนบในตรงนี้ก็ได้ โดยจุดศูนย์กลางคือจุดศูนย์กลางแนบใน และรัศมียาวเท่ากับ r และวงกลมก็จะดูหน้าตาแบบนี้ เราไม่จำเป็นต้องวาดมันในโจทย์ข้อนี้ คุณจะวาดวงกลมทำนองนี้ก็ได้ และเราเรียกมันว่าวงกลมแนบใน ทีนี้ มาดูกันว่าเราจะหาพื้นที่นี้ได้อย่างไร โดยใช้รัศมีแนบใน เอาล่ะ สิ่งที่ดีของรัศมีแนบใน ก็คือมันดูเหมือนเส้นส่วนสูง มันดูเหมือนเส้นส่วนสูงสำหรับสามเหลี่ยมรูปนี้ สามเหลี่ยม A... ตั้งชื่อจุดศูนย์กลางก่อนนะ เราเรียกมันว่า I มาจาก incenter เจ้า r ตรงนี้ก็คือส่วนสูงของสามเหลี่ยม AIC r นี้คือส่วนสูงของสามเหลี่ยม BIC และ r ตรงนี้ ที่เราไม่ได้เขียนไว้ เจ้า r ตรงนั้น คือส่วนสูงของสามเหลี่ยม AIB และเรารู้ดี แบบนี้เราก็หา พื้นที่สามเหลี่ยมเหล่านั้นได้ ในพจน์ของ r และความยาวฐาน และถ้าเรารวมพื้นที่สามเหลี่ยมเหล่านี้เข้าด้วยกัน เราจะได้บางสิ่งในพจน์ของ ความยาวรอบรูปและรัศมี มาลองทำกันนะ พื้นที่ของสามเหลี่ยมทั้งหมด พื้นที่ของ ABC จะเท่ากับ --- และผมจะ ระบายสีกำกับ -- จะเท่ากับพื้นที่ของ AIC นี่คือที่ผมแรเงาตรงนี้ด้วยสีบานเย็น จะเท่ากับพื้นที่ของ AIC บวกพื้นที่ ของ BIC ซึ่งคือสามเหลี่ยมตรงนี้ ที่จริงผมเปลี่ยนสีก่อนดีกว่า ผมใช้สีฟ้าไปแล้ว ใช้สีส้มตรงนั้นแล้วกัน บวกพื้นที่ของ BIC นั่นก็คือพื้นที่ตรงนี้ และสุดท้าย บวกพื้นที่ --- แป๊บนะ ผมจะใช้สีชมพู --- บวกพื้นที่ของ AIB นี่คือพื้นที่ของ AIB พอรวมพื้นที่สามเหลี่ยมทั้งสามเข้าด้วยกัน คุณจะได้พื้นที่ของสามเหลี่ยมใหญ่ ทีนี้ AIC พื้นที่ของ AIC จะเท่ากับ 1/2 คูณความยาวฐาน คูณความสูง มันจะเท่ากับ 1/2 ฐานคือ AC เป็น (1/2)AC คูณ ความสูง --- คูณส่วนสูงตรงนี้ ซึ่งจะเท่ากับ r --- คูณ r นี่คือพื้นที่ของ AIC จากนั้น พื้นที่ของ BIC จะเท่ากับ 1/2 คูณความยาวฐาน ซึ่งคือ BC คูณความสูง ซึ่งคือ r และบวกพื้นที่ของ AIB ก็คือตรงนี้ ซึ่งจะเท่ากับ 1/2 คูณความยาวฐาน ซึ่ง คือความยาวของด้านนี้ AB คูณความสูง ซึ่ง ก็คือ r อีกครั้ง และตรงนี้ เราสามารถดึงตัวร่วม (1/2)r ออกมาจากพจน์เหล่านี้ได้ คุณจะได้ (1/2)r คูณ AC บวก BC บวก AB ผมว่าคุณคงเห็นว่าจะไปยังไงต่อ บวก --- นี่สีไม่เหมือนชมพู --- บวก AB ทีนี้ AC บวก BC บวก AB คืออะไร มันก็เท่ากับความยาวรอบรูป P ถ้าคุณบวกความยาวด้านเข้าด้วยกัน ก็จะได้ความยาวรอบรูป P และดูเหมือนเราจะเสร็จแล้ว พื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC เท่ากับ 1/2 คูณ r คูณ ความยาวรอบรูป ซึ่งเป็นสูตรที่ดูดีทีเดียว 1/2 คูณ รัศมีแนบใน คูณ ความยาวรอบรูปสามเหลี่ยม บางทีคุณจะเห็นคนเขียนแบบนี้ มันเท่ากับ r คูณ P ส่วน s โทษทีครับ ส่วน 2 และพจน์นี้ ความยาวรอบรูปหารด้วย 2 บางทีก็เรียกว่า ความยาวกึ่งรอบรูป (semiperimeter) บางทีก็เรียกว่า ความยาวกึ่งรอบรูป (semiperimeter) และบางทีมันถูกแทนด้วย s ดังนั้น บางที คุณจะเห็น พื้นที่เท่ากับ r คูณ s โดย s แทนความยาวกึ่งรอบรูป มันคือความยาวรอบรูปหารด้วย 2 ส่วนตัวผมชอบแบบนี้มากกว่าหน่ย เพราะผมจำได้ว่า P คือความยาวรอบรูป มันมีประโยชน์ เพราะชัดเจนว่าถ้าคุณ รู้รัศมีแนบในและความยาวรอบรูป คุณจะหา พื้นที่สามเหลี่ยมได้ หรือถ้าใครให้พื้นที่สามเหลี่ยมมา และความยาวรอบรูป คุณก็จะรู้รัศมีแนบใน กล่าวคือถ้าคุณรู้ข้อมูลสองในสาม คุณจะหาตัวที่สามได้ ตัวอย่างเช่น ถ้าสามเหลี่ยมตรงนี้ มันอาจจะเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากที่โด่งดังที่สุด ถ้าผมมีสามเหลี่ยมที่มีด้านยาว 3. 4 และ 5 เรารู้ว่ามันคือสามเหลี่ยมมุมฉาก ตรวจสอบได้ด้วยทฤษฎีบทพีทาโกรัส และถ้าใครถามว่า รัศมีแนบในสามเหลี่ยมนี้เป็นเท่าไร เราสามารถหาพื้นที่ได้โดยง่าน เรารู้ว่ามันคือสามเหลี่ยมมุมฉาก 3 กำลังสอง บวก 4 กำลังสอง เท่ากับ 5 กำลังสอง พื้นที่สามเหลี่ยมจึงจะเท่ากับ 3 คูณ 4 คูณ 1/2 ซึ่ง 3 คูณ 4 คูณ 1/2 เป็น 6 แล้ว ความยาวรอบรูปจะ เท่ากับ 3 บวก 4 ซึ่งคือ 7 บวก 5 เป็น 12 เราจึงได้พื้นที่ เขียนสูตรก่อน พื้นที่เท่ากับ 1/2 คูณ รัศมีแนบใน คูณความยาวรอบรูป เราจึงได้ 12 เท่ากับ 1/2 คูณ รัศมีแนบใน คูณ ความยาวรอบรูป เราจะได้ โอ้ โทษที เรามี 6 ผมเขียนใหม่นะ พื้นที่คือ 6 เราจะได้ 6 เท่ากับ 1/2 คูณ รัศมีแนบใน คูณ 12 ในสถานการณ์นี้ 1/2 คูณ 12 ก็คือ 6 เราได้ 6 เท่ากับ 6r หารทั้งสองข้างด้วย 6 จะได้ r เท่ากับ 1 ดังนั้น ถ้าคุณจะวาดรัศมีแนบในสามเหลี่ยมนี้ ซึ่งดูดีทีเดียว ผมวาดเส้นแบ่งครึ่งมุมสักหน่อยนะ สามเหลี่ยมมุมฉาก 3-4-5 นี้ จะมีรัศมีแนบในยาว 1 ระยะนี้จะเท่ากับระยะนี้ ซึ่งเท่ากับระยะนี้ ซึ่ง เท่ากับ 1 ซึ่งดูสวยงามทีเดียว