Речено нам је да троугао АВС има обим О и полупречник уписане кружнице r,
и онда хоће да пронађемо површину АВС изражену преко О и r.
Дакле, знамо да је обим само збир страница троугла,
односно колика би то дужина била када би хтели да идемо око троугла.
И подсетимо се шта је полупречник уписане кружнице.
Ако узмемо симетрале углова за свако теме,
за сваки од ових углова овде,
значи, симетралу овога овде,
и затим симетралу овога овде,
овај угао ће бити једнак овом углу,
и затим овај угао ће бити једнак овом углу овде.
И тачка у којој се ове симетрале углова секу,
то, управо ту, је наш центар уписане кружнице,
и подједанко је удаљен од све три странице,
и то растојање од тих страница, то је полупречник уписане кружнице.
Па, дајте да нацртам полупречник уписане кружнице.
Дакле, када пронађете растојање између тачке и праве,
желећете да спустите нормалу,
тако да ће ово растојање овде бити полупречник уписане кружнице.
Ова дужина овде је полупречник уписане кружнице.
И ова дужина овде је полупречник уписане кружнице.
И ако хоћете, могли би да нацртате уписану кружницу са центром овде
и са полупречником r и тај круг би изгледао некако овако.
Ми, заправо, и не морамо да цртамо ово за овај задатак.
Значи, могли би да нацртамо круг који изгледа некако овако,
онда би то назвали уписаном кружницом.
Дакле, хајде да размислимо како би пронашли површину овде,
посебно, изражену преко полупречника уписане кружнице.
Па, кул ствар у вези полупречника уписане кружнице је то што ово изгледа као висина,
дакле, ово изгледа као висина за овај троугао овде,
троугао А... Хајде да означимо центар, назовимо га I за уписани,
дакле, r, ово r овде, је висина за троугао AIC,
ово r је висина за троугао BIC,
а ово r, које нисмо означили,
то r ту, је висина за троугао AIB.
И, значи, да би могли да пронађемо површине ових троуглова изражене у r и њиховим основама.
Можда, ако саберемо површине свих троуглова,
можемо да добијемо нешто изражено преко нашег обима и нашег полупречника уписане кружнице.
Па, хајде да пробамо то и да урадимо.
Дакле, површина целог троугла, површина АВС ће бити једнака
- и обојићу ово -
биће једнака површини AIC.
Значи ово што бојим овде лила биће једнако површини AIC,
плус површина BIC, што је овај троугао овде.
Показаћу вам то другом бојом, већ сам употребио плаву.
Па, дајте да урадим наранџастом,
плус површина BIC, значи, ова површина овде.
Значи, плус површина BIC и коначно, плус површина
урадићу ово, да видимо, употребићу розе боју,
плус површина AIB... То је површина AIB.
Саберите површине ова три троугла,
добијате површину великог троугла.
Сада, AIC, површина AIC ће бити једнака 1/2 основе пута висина.
Значи, ово ће бити 1/2 основе дужине АС, 1/2 АС
пута висина, пута ова висина овде
што ће једноставно бити r, пута r.
То је површина AIC.
Затим, површина BIC ће бити 1/2 основе која је ВС
пута висина, што је r
и онда, плус површина AIB, ова овде, ће бити
1/2 основе што је дужина странице АВ.
АВ пута висина, што је, још једном, r.
И овде, можемо да извучемо испред 1/2 r за све ове чланове,
и добијате 1/2 r пута (АС + ВС + АВ)...
и мислим да видите где ово води...
плус, то је друга нијанса розе, плус АВ.
Сада, шта је (АС + ВС + АВ)?
Па, то ће бити обим О. Ако само саберете странице,
то је обим О и изгледа да смо завршили.
Површина нашег троугла АВС је једнака 1/2 пута r пута обим,
што је, некако, фини резултат.
1/2 пута полупречник уписане кружнице пута обим троугла.
Или понекад ћемо то видети записано као, ово је једнако r пута О кроз ѕ...
ох, извините, O кроз 2.
И овај члан овде, обим подељен са 2,
се понекад зове полуобим и понекад је означен са ѕ.
Тако да ћете понекад видети да је површина једнака r пута ѕ,
где је ѕ полуобим. То је обим подељен са 2.
Ја више волим овај први запис
зато што памтим да је О обим.
Ово је корисно зато што, очигледно сада, ако вам неко да полупречник уписане кружнице и обим,
можете да пронађете површину троугла.
Или вам неко да површину троугла и обим,
можете да добијете полупречник уписане кружнице.
Ако су вам дате било које две од ових променљивих, увек можете да добијете трећу.
Дакле, на пример, ако неко, ако је ово био троугао овде
који је најпознатији правоугли троугао,
ако имам троугао са дужинама 3, 4 и 5...
Знамо да је то правоугли троугао,
можете то да потврдите из Питагорине теореме,
и неко каже, колики је полупречник уписане кружнице овог троугла овде.
Па, можемо да пронађемо површину веома лако.
Знамо да је ово правоугли троугао, 3 на квадрат плус 4 на квадрат је једнако 5 на квадрат.
Значи да ће површина бити једнака 3 пута 4 пута 1/2.
Па, 3 пута 4 пута 1/2 је 6.
И обим ће овде бити једнак 3 + 4, што је 7, + 5 је 12,
и имамо површину, па запишимо ово.
Површина је једнака 1/2 пута полупречник уписане кружнице пута обим.
Дакле, овде имамо 12 је једнако 1/2 пута полупречник уписане кружнице пута обим,
значи имамо, ох, извините, имамо 6, дајте да запишем то.
Површина 6, 6 је једнако 1/2 пута полупречник уписане кружнице пута 12.
И, дакле, у овом случају, 1/2 пута 12 је 6.
6 је једанко 6r, поделите обе стране са 6, добијате r је једнако 1.
Дакле, ако хоћете да нацртате полупречник уписане кружнице за овај, некако фини резултат,
па, дајте да нацртам неке симетрале углова овде.
Овај 3-4-5 правоугли троугао са полупречником уписане кружнице једнаким 1,
значи, ово растојање је једнако овом растојању које је једнако овом растојању
које је једнако 1, баш некако леп резултат.