Se nos dice que el triángulo ABC tiene perímetro p e inradio r
y luego quieren que hallar el área de ABC en términos de p y r
así que sabemos que los perímetros son la suma de los lados del triángulo
o cuánto tiempo de longitud tendrá que ser si quieres ir alrededor del triángulo
y vamos a sólo recordar lo que es el inradio
Si tomamos las bisectors del ángulo de cada uno de estos vértices
cada uno de estos ángulos derecho aquí
bisectors lo que allí
y luego a la bisectriz que derecha allí
este ángulo va a ser igual a ese ángulo
y, a continuación, este ángulo va a ser igual a ese ángulo se
y el punto de intersección de las bisectors de ángulo
ese derecho allí es nuestro incentro
y es igual de distante de todos los tres lados
y la distancia de los lados que es el inradio
así que permítanme señalar el inradio
así que cuando encuentre la distancia entre el punto y la línea
¿quieres colocar un perpendicular
así que esta longitud por aquí es el inradio
Esta longitud por aquí es el inradio
y esta longitud por aquí es el inradio
y si lo desea pueden dibujar una inscrita aquí con el centro en el incentro
y con el radio r y ese círculo sería algo como esto
no tenemos que llamar la realidad de este problema
así puede dibujar un círculo que se ve algo así
entonces llamamos la inscrita
así que vamos a pensar en cómo podemos encontrar la zona aquí
especialmente en cuanto a este inradio
bien lo fresco de la inradio es esto que se parece a la altitud
bueno esto parece que la altura de este triángulo por aquí
triángulo vamos a etiquetar el centro vamos a llamarlo para incentro
así que r es esta r derecha sobre aquí es la altitud del triángulo AIC
Esta es la altura del triángulo BIC
y esta r que no etiquetamos
r derecha allí es la altura del triángulo AIB
y así podríamos encontrar el área de cada uno de los triángulos en términos de r y su base
tal vez si sumamos el área de todos los triángulos
podemos conseguir algo en términos de nuestro perímetro y nuestro inradio
tan sólo vamos a hacer esto
así que el área del triángulo todo el área de ABC va a ser igual a
y I se color este código
Esto va a ser igual al área de AIC
eso es lo que estoy sombreado aquí en magenta va a ser euqal a la zona de AIC
Además la zona de BIC que es este triángulo derecho por aquí
Le mostraré que en un color diferente ya he usado azul
así que permítanme hacer eso en naranja
y la zona de BIC por lo es esta zona por aquí
así que además de la zona de BIC y entonces finalmente más el área
Lo hago vamos a ver voy a utilizar este color rosa
y la zona de AIB que es el área AIB
la suma de las áreas de estos tres triángulos
ya tienes el área del triángulo más grande
AIC ahora el área de AIC va a ser igual a la mitad base veces altura
así que esto va a ser la mitad de la base de la longitud de la mitad de la CA
veces la altura veces esta altitud sobre aquí
sólo que va a ser r r veces
es la zona de AIC
y, a continuación, el área de BIC va a ser la mitad la base que es BC
veces una altura que es r
y, a continuación, además de la zona de AIB este uno derecho aquí va a ser
la mitad la base que es la longitud del lado AB
AB veces una altura r oneeagain
y aquí podemos buscar a mitad r para todos estos términos
y obtendrá la mitad r veces AC plus BC plus AB
y creo que esto va
Además de es la otra sombra de rosa plus AB
Ahora ¿qué es AC plus BC plus AB
así va a ser el perímetro p si acaba de tomar la suma de los lados
es el perímetro de p y parece que hemos terminado
el área de nuestro triángulo de ABC es igual a un medio veces r veces el perímetro
que es el tipo de consecuencia aseado
una mitad veces el inradio veces el perímetro del triángulo
o a veces vamos a ver escrito como este es igual a r p veces sobre s
oh perdón p más 2
y este derecho término aquí el perímetro dividido por 2
es a veces llamado semi perímetro y a veces se denota por s
a veces, verá que el área es igual a r veces s
donde s es el perímetro de la semi es el perímetro dividido por 2
En primer lugar me gusta esta forma un poco más
porque recuerdo que p es el perímetro
Esto es útil porque obviamente ahora si alguien te da inradio y un perímetro
Usted puede averiguar el área de un triángulo
o alguien le da la zona del triángulo y el perímetro
Usted puede conseguir el inradio del mismo
Si dos de estas variables puede obtener siempre la tercera
por ejemplo, si alguien si este fue un triángulo sobre aquí
que es el más famoso de los triángulos de derecho
Si tengo un triángulo que tiene longitud 3 4 y 5
Sabemos que esto es un triángulo
puede comprobarlo desde el teorema de Pitágoras
y alguien dice lo que es el inradio de este triángulo derecho por aquí
bien podemos imaginar el área bastante fácilmente
Sabemos que esto es un triángulo 3 squared plus 4 al cuadrado es igual a 5 al cuadrado
por lo que la zona va a ser igual a 4 veces 3 veces una mitad
así 3 veces 4 veces una mitad es 6
y el perímetro de aquí va a ser igual a 3 más 4 que es 7 plus 5 es 12
y así tenemos la zona así que vamos a escribir esto
el área es igual a un medio veces el inradio veces el perímetro
así que aquí tenemos 12 es igual a un medio veces el inradio veces el perímetro
así tenemos oh lo siento que tenemos 6 Déjame escribir esto
la zona 6 6 es igual a un medio veces el inradio times 12
y en esta situación una mitad veces 12 es 6
6 es igual a 6r dividir ambos lados por 6 usted obtener r es igual a 1
así que si desea dibujar el inradio para éste tipo de resultado aseado
así que permítanme señalar aquí algunos bisectors de ángulo
Esta 3-4-5 triángulo tiene inradio de 1
así que esta distancia es igual a esta distancia que es igual a esta distancia
que es igual a 1 solo tipo de consecuencia aseado