Qarşımızda perimetri P, daxilinə çəkilmiş çevrənin radiusu isə r olaraq verilən ABC
üçbucağı var və bizdən bu üçbucağın P və r-ə əsasən
sahəsinin tapılması tələb olunur.
Bilirik ki, perimetr üçbucağın
tərəflərinin uzunluqları cəminə bərabərdir.
Başqa sözlə, üçbucağın ətrafında
dolaşdıqda hasarın nə qədər uzun olmağı mənsına gəlir.
Gəlin daxilə çəkilmiş çevrənin radiusunu xatırlayaq.
Əvvəlcə üçbucağın hər bir bucağının
tənbölənini çəkək.
Bu bucağın da tənbölənini və həmçinin
bunun da tənbölənini çəkək.
Bu bucaq buna bərabər olacaq.
Eynilə buradakı bucaq buna
və bu da bu bucağa bərabər olacaq.
Bu tənbölənlərin kəsişdiyi nöqtə isə üçbucağın daxilinə
çəkilmiş çevrənin mərkəzi olacaq
və bu nöqtə hər üç tərəfdən eyni məsafədə yerləşir.
Və bu da bizə daxilə çəkilmiş çevrənin radiusunu verir.
Gəlin bu radiusu çəkək.
Mərkəzdən hər bir tərəfə perpendikulyar
şəkildə bir xətt çəkək.
Bu uzunluq daxilə çəkilmiş çevrənin radiusudur.
Eynilə bu xətlər də
daxilə çəkilmiş çevrənin radiusudur.
Bu radiuslardan və mərkəz nöqtədən
istifadə edərək üçbucağın daxilinə çevrə çəksək,
buna bənzər bir çevrə əldə edərik.
Əslində bu məsələ üçün çevrə çəkməyimizə ehtiyac yox idi.
Amma artıq belə bir çevrə çəkdik.
Bu üçbucağın daxilinə çəkilmiş çevrə adlanır.
Bəs daxili çevrənin radiusuna əsasən üçbucağın sahəsini
necə tapa bilərik?
Əslində bu radiuslara bu kiçik
üçbucaqların hündürlüyü kimi baxa bilərik.
Məsələn, buradakı radius bu
A üçbucağının hündürlüyüdür.
Mərkəz nöqtəni I adlandıraq.
Beləliklə, buradakı r AIC üçbucağının hündürüyü olacaq.
Bu r BIC üçbucağının,
buradakı r isə AIB
üçbucağının hündürlüyüdür.
Artıq bu üçbucaqların hər birinin sahəsini
r-ə yəni radiusa və oturacağa
əsasən tapa bilərik.
Və ola bilsin ki, bu üçbucaqların sahələrini toplayaraq
perimetri və radiusu da tapa bilərik.
Gəlin yoxlayaq.
Bütöv üçbucağın yəni ABC üçbucağının sahəsi bu kiçik üçbucaqların
sahələri cəminə bərabər olacaq.
AIC-nin sahəsini rəngli edəcəm.
Burada da eyni rəngdə yazaq.
Beləliklə, əsas üçbucağımızın sahəsi bərabərdir AIC-nin sahəsi
üstəgəl BIC-nin sahəsi üstəgəl AIB-nin sahəsinə.
Bunu da fərqli rəngdə edək.
Mavidən artıq istifadə etmişdim.
Gəlin narıncı rəngdə edək.
Üstəgəl BIC-nin sahəsi.
Yəni bu hissə.
Sonuncu üçbucağı yəni AIB üçbucağını isə çəhrayı rənglə işarələyəcəm.
Və üstəgəl AIB-nin sahəsi.
AIB üçbucağının sahəsi.
Bu üç üçbucağın sahəsini toplasaq,
böyük üçbucağın sahəsini əldə edərik.
AIC-nin sahəsi isə bərabərdir
oturacağın yarısı vur hündürlüyə.
Beləliklə, 1/2 vur
oturacaq yəni AC
vur hündürlük
yəni buradakı r.
Bu bizə AIC üçbucağının sahəsini verir.
BIC-nin sahəsi isə bərabərdir 1/2 vur oturacağın uzunluğu
yəni BC-nin uzunluğu, vur hündürlük yəni r.
AIB üçbucağının sahəsi də barabər olacaq
1/2 vur oturacağın uzunluğu
yəni AB tərəfinin uzunluğu vur
hündürlük yəni r.
Bu ifadədən 1/2 r-i mötərizə xaricinə çıxarsaq,
1/2 r vur AC üstəgəl BC üstəgəl AB əldə edərik.
Ümid edirəm,
nə etmək istədiyimizi artıq anladınız.
Bəs AC üstəgəl BC üstəgəl AB nəyə bərabərdir?
Əgər hər bir tərəfin uzunluğunu toplasanız, üçbucağın perimetrini
yəni P-ni əldə edərsiniz.
Deməli, bu ifadə bizə perimetri verir.
ABC üçbucağının sahəsi də
1/2 r vur perimetrə bərabərdir.
1/2 vur üçbucağın daxilinə çəkilmiş çevrənin radiusu vur üçbucağın perimetri.
Bəzən isə belə yazılır.
Sahə bərabərdir r vur P böl 2.
Bu isə yəni perimetrin yarısı isə
yarım perimetr adlanır.
Yarım perimetr adətən kiçik p hərfi ilə ifadə olunur.
Bu halda üçbucağın sahəsi r vur p-ə yəni radius vur
yarım perimetrə bərabər olacaq.
Bu da perimetr böl 2 mənasına gəlir.
Amma mən şəxsən bu şəkildə yazmağı
sevirəm, çünki burada P perimetri xatırladır.
Belə daha faydalıdır, çünki sizə daxilə çəkilmiş
çevrənin radiusu və perimetr verilsə, sahəni
asanlıqla tapa bilərsiniz.
Və ya üçbucağın sahəsini və perimetrini
bilsəniz, radiusu tapa bilərsiniz.
Yəni sizə bu üç dəyərdən ikisi verilsə,
üçüncünü müəyyən edə bilərsiniz.
Məsələn, buradakı düzbucaqlı üçbucaq kimi
bir üçbucaq düşünün.
Bilirik ki, üçbucağın tərəflərinin uzunluğu 3, 4, 5 nisbətindədirsə,
bu üçbucaq düzbucaqlıdır.
Bu Pifaqor teoreminə əsaslanır.
Bu üçbucağın daxilinə çəkilmiş
çevrənin radiusunu necə tapa bilərik?
Çox asanlıqla.
Düzbucaqlı olduğunu bilirik.
3-ün kvadratı üstəgəl 4-ün kvadratı bərabərdir 5-in kvadratına.
Ona görə də, bu üçbucağın sahəsi bərabər olacaq 3 vur 4 vur 1/2-ə.
3 vur 4 vur 1/2-dən 6 əldə edirik.
Üçbucağın perimetri isə bərabər olacaq
3 üstəgəl 4 üstəgəl 5, yəni 12-ə.
Sahəni də artıq tapmışdıq.
Sahə bərabərdir 1/2 vur daxilə çəkilmiş çevrənin radiusu
vur perimetr.
Beləliklə, 12 bərabərdir 1/2 vur radius
vur perimetr.
Yox, bağışlayın, sahəmiz 6 idi.
Yenidən yazaq.
Sahə yəni 6
bərabərdir 1/2 vur radius vur 12.
1/2 vur 12 6 edir.
Buradan da 6 bərabərdir 6 r alırıq.
Hər iki tərəfi də 6-ya bölsək, r bərabərdir 1 əldə edərik.
Deməli, bu üçbucağın daxilinə çəkimiş
çevrənin radiusu 1-ə bərabərdir.
Gəlin bunun bucaq tənbölənlərini çəkək.
Tərəfləri 3, 4, 5 olan üçbucağın daxilinə çəkilmiş çevrənin radiusu 1-dir.
Deməli, bu xətlərin uzunluğu
bərabərdir, yəni hər biri
1-dir.