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【字幕组】Eureka与Bazinga联合制作
【翻译】summerwind【时间轴】凡神
【校对】Bowie Vegetable Trazom
我提过好几次
这个大写的U
就是系统的热力学能
而且系统的什么能量都包含在里头
它包括分子的动能
如果分子在震动
它就包括势能
它还包括化学键能
它也包括每个想要乱动的
电子的势能
不过 对我们而言
特别是如果我们在学入门级的
化学、物理 或者热力学课程时
我们就假定
讨论的系统是
理想气体系统
甚至更进一步
气体是单分子理想气体
所以系统中的所有东西
都是单独的原子
因此这时
系统中唯一的能量
就是每个粒子的
动能
所以我这集要做的是…
可能会有点难算
但是我觉得坚持到最后
就会发现很值得
我这集要说明
定压 定容 或定温系统中
热力学能的多少
所以我要把压强 体积 或者温度
和热力学能联系起来
注意啦 目前的课程中
我只讲过热力学能的增量
我们可以把它和
系统吸收或放出的热量联系起来
还有环境对系统做的功
或者系统对环境做的功 但是现在
假设在有功或热量的变化之前
我们怎么才能知道一个系统中
热力学能的大小？
为了算出它
我们来做一个小的思维实验
我会在这里化简一下
不过我觉得你可以接受
还可能挺喜欢
比方说
我画一个
一个正方体
有种感觉告诉我
我好像已经在物理课中做过
这个近似证明了
虽然 我觉得我
没有确切把它和热力学能联系起来
不过我会搞定的
假设系统就是这个正方体
然后正方体的每个边长
都是x
所以它长x 宽x 高x
所以它的体积就是x的3次方
假设系统中有n个粒子
大写的N
我也可以写成小写的n mol
但是我们简单点来
有N个粒子
它们自由运动
接下来
我马上要做一步简化
但是我认为这样做很合理
所以在正常系统中 每个粒子
我之前已经说过了
它们朝着各个方向碰撞
任意地朝着四面八方碰撞
然后…
当它们撞击容器壁的时候
就产生了压强
它们也经常相互碰撞
等等 等等
四面八方
现在 为了简化数学计算
这样就可以
很快算出来
我要做一个假设
我假设
1/3的粒子都会…
好吧 1/3的粒子
都沿着轴线运动
所以1/3的粒子
都沿着这个方向移动
我觉得可以说是 从左到右
而1/3的粒子上下运动
然后1/3的粒子
前后运动
我们知道这并不是事实
但是它会使计算非常简便
如果你真的想要做向四面八方的
所有粒子的热力学统计
其实你最后也会
会得到同样的结果
这么说
我觉得这是个非常大胆的简化
我们遇到
这样的系统的概率
无限小
我们一会儿会讲到熵
以及这概率非常小的原因
但是我们的系统可以被这样简化
这个系统可以产生压强
它使计算简化了不少
利用前面的条件 开始分析系统吧
从侧面观察
从这边观察
我们先来看一个粒子
或许我应该用绿色的
比如有一个粒子
它质量是m 速度为v
这是系统中N个粒子之一
我想要知道的是这个粒子
对这个容器壁施加的压强是多少？
我们知道壁的面积 对嘛？
壁的面积是x乘以x
所以是x2
这个粒子所施加的力是多少？
这样想
它向前运动
或者说向右运动
当它的动量改变的时候
就施加了力
我这里小复习一下动力学
我们知道力等于
质量乘加速度
我们知道加速度等于…
也就是等于质量乘以
速度的变化比上时间的变化
当然
我知道它被整理成
它等于――
质量是常量
我们要改变的量不影响质量
所以是Δ
我们可以把它放到变化量里面去
所以是Δmv除以ΔT
那么就是动量的变化 对嘛？
所以它等于
动量的变化除以时间的变化
这是力的另一种表达
所以这个粒子的动量变化
是多少？
它会撞击容器壁
现在 在这个方向
它有一些动量
它的动量等于mv
它会撞击这个容器壁
然后直接弹回来
所以它的动量是多少？
它的质量和速度
大小不变
我们假设它是完全弹性碰撞
没有热量或其他损失
但是速度的方向改变了
新的动量就是-mv
因为速度的方向改变了
现在 如果我开始动量是mv
然后弹回来的动量是-mv
动量的变化是多少？
动量的变化
在弹回来之后 就等于…
等于它们的差
也就是2mv
嗯 这还得不到力
我需要知道
每单位时间动量的变化
碰撞多久发生一次？
频率是多少？
每次运动到这里都会碰撞
每次都会撞击容器壁
然后粒子会回到这里来
撞击那个容器壁
然后回来再撞击
所以这就是它发生的频率
那么两次碰撞之间
我们需要等多久？
粒子一次要运动x距离
它会碰撞
然后运动x距离到左边
距离是x
我换个不同的颜色
这里的距离是x
它需要运动x距离再回来
然后再运动x距离 回来
所以 它需要移动2x
移动2x的距离需要多久？
时间 ΔT
就等于 我们知道
距离等于速率乘以时间
如果距离除以速率
就得到了所需时间
这是基本运动方程
那ΔT
移动的距离是一个来回
所以是2x 除以
速率是多少？
速率就是速度的大小
除以v
出来咯
这就是我们的ΔT
因此单位时间的动量变化
等于2倍入射动量
因为以同样的速率弹回来了
不过是负的动量
那么这就是动量的变化
然后 时间的变化是这个值
它就是粒子在两边之间
来回一次的距离
除以速度
所以就是 2x/v
就等于2mv乘以它的倒数…
分数性质
就是v/2x
等于什么？
2被约掉了
所以就等于mv2/x
有趣吧
我们已经来到有意思的部分了
但是如果你还觉得还不够
那么等我一下
这是一个粒子所施加的力
这是…
一个粒子施加在一面容器壁上的力
面积是多少？
我们在意的是压强
我们写在上面了
压强等于单位面积上的力
这是粒子所施加的力
也就是mv2/x
除以容器壁的面积
壁面积是多少？
壁的面积 每个边长都是x
所以如果是这个壁面 是x乘以x
是x2
所以除以容器壁的面积x2
它等于什么？
等于mv2/x3
你可以说
这是乘以1/x2
这一堆变成x3
这就是分数的性质
有意思的部分来了
这一个粒子产生的压强
设是这一粒子产生的
等于mv2/x3
x3是什么？
那是容器的容积
除以体积
我把体积表示成大V 好嘛？
看看我们能不能
导出有趣的东西来
所以它的意义就是
这个粒子产生的压强…
嗯 我换个方式
这是一个粒子对一面容器壁 对嘛？
这是这个容器壁的一个粒子
那么 所有的粒子…
在立方体中有N个粒子
它们之中有多少
会撞击这个容器壁？
有多少会
和这个粒子一样来回撞击？
我说过了
1/3的粒子会在这个方向上运动
1/3的粒子上下运动
1/3的粒子前后移动
如果总共有N个粒子
N/3个粒子的运动方式
和这个粒子的相同
这是一个粒子的压强
如果我想知道
整个容器壁的压强
那么壁面上的总压强
是由N/3个粒子引起的
其余的粒子没有撞击这里
所以我们不用考虑他们
所以如果我们要算总压强
我就写 PW壁的压强
壁的总压强PW就等于
一个粒子产生的压强
mv2 除以V
乘以 撞击壁面的
粒子的总数
粒子的总数是N/3
因为只有1/3的粒子是这个方向的
所以壁面上的总压强
就等于mv2
除以容器的体积
乘以粒子的总数除以3
看看我们能不能整理一下
所以如果我们把两边都乘以…
怎么办好呢
如果两边同时乘以3V
得到PV乘以3 等于
mv2乘以N
其中N是粒子的总数
再两边同时除以N
所以就得到3PV除以…
还是不要了 N留在这里吧
方程两边同时除以2
就得到… 得到什么？
得到3/2PV等于…
这很有趣
它等于N 也就是总粒子数
乘以mv2/2
记得 我刚刚通过
两边除以2得到了这个
我这样做是有特殊原因的
mv2/2是什么？
mv2/2是
这个例子开始时
那个粒子的动能
这是动能的表达
动能等于mv2/2
所以这是一个粒子的动能
然后我们把它乘以
总的粒子数
乘以N
所以N乘以一个粒子的动能
就是所有粒子的
动能
当然 我们也可以再作一个假设
我可以说 假设
所有的粒子
运动速度相同 并且质量相等
而实际中
粒子速度应该是不同的
但这是个为了简化的假设
那么 假设它们的速度和质量相同
所以 如果我乘以N…
这部分
是系统的动能
快算好咯
实际上 已经算好啦
我们推出了
系统的动能
等于3/2乘以压强
再乘以系统的体积
那么系统的动能是什么？
它就是热力学能
因为我们说过 系统中所有的能量
因为它是简单的理想单分子气体
系统中所有的能量
都以动能的形式存在
所以我们可以说 系统的
系统的热力学能等于
也就是系统的总动能
它等于 3/2乘以总压强
乘以总体积
你可能会说 嘿 Sal
你刚刚只算出了这个方向的压强
那么 那个方向的压强
和这个方向的 这个方向的
或者是整个立方体的压强怎么算
好吧 立方体内各处的压强
都相等
所以我们只需要
算出一个方向的压强
它就是
系统的压强
所以接下来要怎么做？
我们知道PV等于nRT
这是理想气体方程
PV等于nRT
其中这个是气体的物质的量
这是理想气体常数
这是温度 单位是开尔文
所以如果代入这个方程
我们会说 热力学能
也可以写成
3/2 乘以物质的量
乘以理想气体常数
乘以温度
好啦 我讲了这么多
还算了些数
但是这结果 第一 很有意思
因为现在你就得到了它们的直接关系
如果已知压强和体积
你就知道了热力学能的大小
或者说系统的总动能
或者 如果你知道了温度
和分子数量
也可以求出
系统的热力学能大小
有几个关键 我希望
你们能留下印象
如果在理想情况下
温度不变
也就是ΔT等于0
这个常数也不变
粒子数也不会变
然后热力学能也就不变
所以如果
热力学能有变化…
以后的证明会用到这个
我们就可以说…
它等于 3/2nR再乘以…
呐 这是唯一能变的部分
不是粒子数
也不是理想气体常数…
乘以T的变化
或者 它也可以写成
3/2乘以ΔPV
我们不知道这两个哪个是定值
所以必须说是PV的“积”的变化
好啦 这集算数比较多
我很抱歉
但是我希望
它给你了一点这样的概念
这其实就是所有动能的总和
我们把它和
一些宏观状态函数联系起来了
比如压强 体积 和时间
接下来 既然我已经做了一集证明
我们以后可以直接用它证明别的
若果真如此 至少你不会抱怨太多
无论如何 下集见咯