...
ผมบอกหลายครั้งแล้วว่า U ตัวใหญ่นั้นคือ
พลังงานภายในของระบบ
และมันคือพลังงานทุกอย่างที่ถูกโยนเข้าไปในระบบ
ได้แก่ พลังงานจลน์ของโมเลกุล
พลังงานศักย์ ในกรณีที่โมเลกุลสั่น
พลังงานในพันธะเคมี
พลังงานศักย์ของอิเลกตรอนที่พยายามจะเคลื่อนที่
ไปที่ใดที่หนึ่ง
แต่เพื่อความสะดวก โดยเฉพาะพวกเราที่
กำลังศึกษาพื้นฐานของเคมี ฟิสิกส์ และ อุณหพลศาสตร์
เราจะอนุมานว่าเรากำลังพูดถึงระบบ
ซึ่งประกอบด้วยแก๊สอุดมคติ
และยิ่งไปกว่านั้น มันเป็นแก๊สอุดมคติซึ่งมีอะตอมเดียว
ดังนั้นทุกอย่างในระบบของเราเป็นเพียงอะตอมเดี่ยวๆ
และในกรณีนี้ มีพลังงานเพียงอย่างเดียวในระบบ
คือพลังงานจลน์ของอนุภาคเหล่านี้
และสิ่งที่ผมต้องการจะทำในวิดีโอนี้ มันจะ
ค่อนข้างเป็นการคำนวณ แต่ผมคิดว่ามันจะตอบโจทย์สำหรับ
พวกคุณที่สนใจในเรื่องนี้ คือการเชื่อมปริมาณของ
พลังงานภายในระบบ กับความดัน
ปริมาตร และอุณหภูมิของระบบ
ดังนั้น เราต้องการที่จะหาความสัมพันธ์ระหว่างความดัน ปริมาตร หรือ อุณหภูมิ
กับพลังงานภายใน
สังเกตทุกๆวิดีโอที่ผ่านมา ผมได้บอกว่า
การเปลี่ยนแปลงของพลังงานภายในคืออะไร
และเราได้แสดงความสัมพันธ์ระหว่างมันกับพลังงานความร้อนซึ่งถูกเติมหรือดึง
ออกจากระบบ หรืองานที่กระทำต่อระบบ
หรือถูกกระทำโดยระบบ
แต่ตอนนี้ ก่อนที่เราจะสนใจเรื่องงานหรือความร้อน
เราจะรู้ได้อย่างไรว่ามีพลังงานภายในเท่าไหร่
ภายในระบบ
เพื่อตอบคำถาม เรามาทดลองทางความคิดกันดีกว่า
ผมจะทำให้กรณีนี้ซับซ้อนน้อยลงสักหน่อย
แต่ผมคิดว่ามันจะใช้ได้และมีเหตุผลเพียงพอสำหรับคุณ
สมมติว่า เดี๋ยวผมวาดดีกว่า เรามีลูกบาศก์ลูกหนึ่ง
และบางอย่างบอกผมว่าผมอาจเคยทำ
การพิสูจน์แบบกึ่งๆนี้ไปแล้วไปเพลย์ลิสต์ของวิชาฟิสิกส์
แต่ผมไม่ได้เชื่อมสิ่งนี้เข้ากับพลังงานภายใน
ดังนั้นผมจะทำมันที่นี่
สมมติว่าระบบของผมคือลูกบาศก์นี้
และสมมติว่าขนาดของลูกบาศก์
คือ x ในทุกๆทิศทาง
ดังนั้น มันสูง x, กว้าง x, และลึก x
และปริมาตรของมันคือ x ยกกำลังสาม
และสมมติว่ามีอนุภาค N อนุภาค
ในระบบของผม N ตัวใหญ่
ผมอาจเขียนว่า n โมลก็ได้ แต่เราจะ
ทำให้มันค่อนข้างตรงไปตรงมา
ผมมีอนุภาค N อนุภาค
...
มันก็ทำตัว อย่างที่มันต้องการ
ตอนนี้ ผมจะสมมติครั้งใหญ่
เพื่อให้ทุกอย่างง่ายขึ้น
แต่ผมคิดว่ามันสมเหตุสมผล
ในระบบปกติ ทุกอนุภาค และเราเคยทำสิ่งนี้แล้ว
จะกระดอนในทุกทิศทุกทาง
และสิ่งที่ทำให้เกิดแรงดัน คือ
เมื่อมันกระดอนกระทบด้านต่างๆของลูกบาศก์
และเมื่อมันชนกันเอง
ในทุกทิศทาง
เพื่อให้การคำนวณไม่ซับซ้อน
และเพื่อให้ไม่ใช้เวลามากจนเกินไป
ผมจะสร้างสมมติฐานอย่างหนึ่ง
ผมจะสมมติว่า หนึ่งในสามของ
อนุภาคทั้งหมดเคลื่อนที่
ขนานกับแกนแต่ละอัน
ดังนั้น หนึ่งในสามของอนุภาคทั้งหมดเคลื่อนที่ในทิศทางนี้
ผมจะพูดว่า ทางซ้าย-ขวา
อีกหนึ่งในสามเคลื่อนที่ขึ้น-ลง
...
และหนึ่งในสามที่เหลือเคลื่อนที่หน้า-หลัง
เรารู้ว่านี่ไม่ใช่สิ่งที่เกิดจริง
แต่มันทำให้การคำนวณง่ายขึ้น
และถึงแม้คุณใช้กลศาสตร์เชิงสถิติ
กับทุกๆอนุภาคที่เคลื่อนที่ในทุกทิศทาง
คุณก็จะได้ผลที่เหมือนกัน
แม้จะเป็นเช่นนั้น ผมยังต้องบอกว่านี่เป็น
การลดทอนความซับซ้อนเป็นอย่างมาก
มีโอกาสน้อยนิดมากที่จะมี
ระบบที่เป็นเช่นนี้จริงๆ
หลังจากนี้ เราจะพูดถึงเอนโทรปีและเหตุผล
ว่าทำไมมันถึงมีความเป็นไปได้น้อยมาก
แต่นี่จะเป็นระบบที่เราจะศึกษา
และระบบนี้จะก่อให้เกิดความดัน
และมันทำให้การคำนวณของเราเข้าใจง่ายขึ้น
พูดไปทั้งหมดแล้ว เราเริ่มศึกษาระบบนี้เลยดีกว่า
เริ่มด้วยการมองจากด้านข้าง
ด้านข้าง ตรงนี้
...
และเราจะสนใจเพียงอนุภาคเดียว
ผมว่าผมน่าจะใช้สีเขียว
เอาเป็นว่าผมมีอนุภาคหนึ่งอนุภาค
มันมีมวล m และความเร็ว v
...
และนี่คือหนึ่งใน N อนุภาคในระบบของเรา
แต่ที่เราสนใจคือ อนุภาคนี้
สร้างความดันบนผนังด้านนี้เท่าไหร่
...
เรารู้พื้นที่ของผนังด้านนี้ใช่มั้ย
ผนังนี้มีพึ้นที่ x คูณ x
คือพิ้นที่เท่ากับ x กำลังสอง
อนุภาคนี้กระทำแรงขนาดเท่าไหร่
คิดอย่างนี้ดีกว่า
มันเคลื่อนที่ไปด้านหน้า หรือซ้าย-ขวาอย่างนี้
และแรงจะเกิดเมื่อมันเปลี่ยนโมเมนตัม
ผมจะทบทวนเรื่องจลนศาสตร์เล็กน้อย
เรารู้ว่าแรงเท่ากับมวลคูณความเร่ง
เรารู้ว่าความเร่งสามารถเขียนได้ในรูปของ
การเปลี่ยนแปลงของความเร็วต่อการเปลี่ยนแปลงของเวลา
และ แน่นอน เรารู้ว่ามันสามารถเขียนได้อีกแบบหนึ่ง
มวลเป็นค่าคงที่และไม่เปลี่ยนแปลง
สำหรับฟิสิกส์ระดับที่เรากำลังศึกษา ดังนั้น มันคือ เดลต้า
เราสามารถใส่มันในการเปลี่ยนแปลง
ดังนั้น มันจึงเป็น เดลต้า mv หารด้วยการเปลี่ยนแปลงของเวลา
และนี่ก็คือการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัม ใช่มั้ย
ดังนั้นนี่คือการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมหารด้วยการเปลี่ยนแปลงของเวลา
และนี่เป็นอีกวิธีการเขียนแรง
แล้วอะไรคือการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัม
ของอนุภาคนี้
มันจะชนกำแพงนี้
ในทิศทางนี้ และตอนนี้ มันมีโมเมนตัม
โมเมนตัมของมันมีค่าเท่ากับ mv
และมันจะชนกำแพง แล้วก็
สะท้อนตรงกลับมา
แล้วโมเมนตัมของมันจะเป็นเท่าไหร่
มันมีมวลเท่าเดิม
และความเร็วเท่าเดิม
เราจะอนุมานว่ามันเป็นการชนที่ยืดหยุ่นอย่างสมบูรณ์
ไม่มีพลังงานสูญเสียไปเป็นความร้อนหรืออย่างอื่น
แต่ความเร็วมีทิศตรงกันข้าม
ดังนั้น โมเมนตัมใหม่จะเป็น ลบ mv
เพราะความเร็วเปลี่ยนทิศทาง
ถ้าผมเดินทางมาด้วยโมเมนตัมเท่ากับ mv และผมกระดอนกลับ
ด้วยโมเมนตัมเท่ากับ ลบ mv
การเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมของผมเท่ากับเท่าไหร่
การเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมของผม หลังจากการกระดอน มีค่าเท่ากับ
ความต่างระหว่างค่าสองค่านี้
เท่ากับ 2mv
...
แต่นั่นไม่ได้ตอบคำถามเรื่องแรง
เราต้องการรู้อัตราความเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมต่อหน่วยเวลา
...
แล้วมันเกิดขึ้นบ่อยแค่ไหน
ความถี่เป็นเท่าไหร่
มันจะเกิดขึ้นทุกครั้งที่เรามาที่จุดนี้
เราจะชนกำแพงนี้
แล้วอนุภาคก็จะต้องเดินทางมาตรงนี้ กระดอน
กลับจากกำแพงนั้น และกลับมา
ตรงนี้อีกครั้ง และชนอีกครั้ง
และนั่นคือความถี่ที่มันจะเกิดขึ้น
แล้วเราต้องรอนานแค่ไหนระหว่าง
การชนแต่ละครั้ง
อนุภาคต้องเดินทางกลับเป็นระยะทาง x
แล้วมันจึงจะชน
มันจะต้องเดินทางเป็นระยะทาง x ไปทางซ้าย
ระยะทางนี้คือ x
ผมจะเขียนโดยใช้สีอื่น
ระยะทางตรงนี้คือ x
มันจะต้องเดินทางเป็นระยะ x เพื่อเดินทางย้อนกลับ
แล้วมันจะต้องเดินทางย้อนอีกเป็นระยะ x
ดังนั้นมันจะต้องเดินทางทั้งหมดเป็นระยะทาง 2x
แล้วมันจะใช้เวลาเท่าไหร่ในการเดินทางระยะ 2x
เวลา หรือเดลต้า T มีค่าเท่ากับ... เรารู้ว่าจะหายังไง
ระยะทางเท่ากับอัตราคูณเวลา
ถ้าเราหารระยะทางด้วยอัตรา เราจะได้
เวลาที่เราใช้
นี่เป็นแค่สูตรการเคลื่อนที่พื้นฐาน
เดลต้า T ของเรา ระยะทางที่เราต้อง
เดินทางคือ ไปและกลับ
ดังนั้นมันคือ 2x หารด้วย... อัตราของเราคืออะไรนะ
อัตราของเราคือความเร็ว
จึงหารด้วย v
...
เสร็จแล้ว
และนี่คือเดลต้า T
และการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมต่อเวลาเท่ากับ
สองเท่าของโมเมนตัมตกกระทบ
เนื่องจากเรากระดอนกลับด้วยขนาดเท่าเดิม
แต่เป็นโมเมนตัมค่าติดลบ
นั่นคือการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมของเรา
แล้วการเปลี่ยนแปลงของเวลาคือค่าตรงนี้
มันคือระยะทางทั้งหมดที่เราต้องเดินทางระหว่าง
การชนกับกำแพงนี้ หารด้วยความเร็วของเรา
ดังนั้นมันคือ 2x หารด้วย v ซึ่งเท่ากับ 2mv คูณกับ
ส่วนกลับของค่านี้
คือ v หารด้วย 2x
และมันเท่ากับเท่าไหร่
สองตัดกัน
มันจึงเท่ากับ mv ยกกำลังสอง หารด้วย x
น่าสนใจ
เรามาถึงจุดที่น่าสนใจแล้ว
แต่ถ้ามันดูไม่ค่อยน่าสนใจ
ทนกับผมต่ออีกสักนิด
และนี่คือแรงที่กระทำโดยอนุภาคหนึ่งอนุภาค อันนี้
แรงจากหนึ่งอนุภาคบนกำแพงนี้
...
แล้วพื้นที่คืออะไร
เราสนใจความดัน
...
เราเขียนไว้ตรงนี้
ความดันเท่ากับแรงต่อพื้นที่
...
และนี่คือแรงของอนุภาคนั้น
และมันคือ mv กำลังสอง หารด้วย x หารด้วย
พื้นที่ของกำแพง
แล้วพื้นที่กำแพงเป็นเท่าไหร่
พื้นที่ของกำแพงตรงนี้ แต่ละด้านเท่ากับ x
แล้วถ้าเราวาดกำแพงตรงนั้น มันคือ x คูณ x
มันคือ x กำลังสอง
แล้วหารด้วยพื้นที่ของกำแพง คือ x กำลังสอง
มันเท่ากับเท่าไหร่
มันเท่ากับ mv กำลังสอง หารด้วย x กำลังสาม
คุณพูดได้ว่า มันคือการคูณด้วย หนึ่งส่วน x กำลังสอง
ส่วนนี้จึงเป็น x กำลังสาม
มันก็แค่การคิดเลขเศษส่วน
ตอนนี้เราพบสิ่งที่น่าสนใจแล้ว
ความดันที่เกิดจากอนุภาคนี้ เราจะเรียกว่า
จากอนุภาคอันนี้ มีค่าเท่ากับ mv
ยกกำลังสอง หารด้วย x กำลังสาม
แล้ว x กำลังสามคืออะไร
มันคือปริมาตรของภาชนะของเรา
หารด้วยปริมาตร
ผมจะเขียนแทนด้วยตัว V ใหญ่
ลองมาดูว่าเราสามารถเชื่อมสิ่งนี้กับสิ่งอื่น
ที่น่าสนใจได้หรือไม่
มันแปลว่าความดันที่เกิดจาก
อนุภาคนี้ ที่จริง ให้ผมเลื่อนไปอีกขั้นหนึ่ง
นี่คือหนึ่งอนุภาคบนกำแพงนี้ใช่มั้ย
นี่มาจากหนึ่งอนุภาคบนกำแพงนี้
ทีนี้ จากอนุภาคทั้งหมด เรามี N อนุภาคในลูกบาศก์
เป็นเศษส่วนเท่าไหร่ที่จะ
กระดอนจากกำแพงนี้
คือที่จะทำอย่างเดียวกัน
กับอนุภาคนี้
ผมเพิ่งพูดไป
หนึ่งในสามจะเคลื่อนที่ในทิศทางนี้
หนึ่งในสามจะเคลื่อนที่ขึ้น-ลง
และอีกหนึ่งในสามจะเคลื่อนที่เข้า-ออก
และถ้าเรามีทั้งหมด N อนุภาค N/3 จะ
ทำอย่างเดียวกันกับที่อนุภาคนี้ทำ
...
นี่คือความดันจากหนึ่งอนุภาค
ถ้าผมต้องการความดันจากอนุภาคทั้งหมดบน
กำแพงนั้น ความดันรวมบนกำแพงนั้นจะมาจาก
อนุภาคจำนวน N/3 อนุภาค
อนุภาคที่เหลือไม่ได้กระดอนจากกำแพงนั้น
เราจึงไม่ต้องกังวลกับมัน
ดังนั้น ถ้าเราต้องการความดันรวมบนกำแพงนั้น
ผมจะเขียนว่า ความดัน ห้อยด้วย บนกำแพง
ความดันรวมบนกำแพงจะเป็นความดันจาก
หนึ่งอนุภาค คือ mv กำลังสอง หารด้วยปริมาตร คูณกับ
จำนวนอนุภาคทั้งหมดที่ชนกำแพงนี้
จำนวนอนุภาคทั้งหมดนั้นคือ N/3
เพราะเพียงค่า 1/3 จะเคลื่อนที่ในทิศทางนั้น
และความดันรวมบนกำแพงนั้นเท่ากับ mv กำลังสอง
หารด้วยปริมาตรของภาชนะของเรา คูณกับ
จำนวนอนุภาคทั้งหมด หาร 3
มาดูกันว่าเราจะเปลี่ยนรูปสิ่งนี้ได้สักนิดหรือเปล่า
ถ้าเราคูณทั้งสองด้านด้วย มาดูกันว่าเราทำอะไรได้บ้าง
ถ้าเราคูณทั้งสองด้านด้วย 3v เราได้ pv คูณสาม เท่ากับ
mv กำลังสอง คูณ N ซึ่ง N คือจำนวนอนุภาค
ลองหารทั้งสองด้านด้วย N
เราจะได้ 3pv อันที่จริง ทิ้ง N ไว้ตรงนี้ดีกว่า
หารทั้งสองด้านของสมการนี้ด้วย 2
แล้วเราได้... เราได้อะไร
เราได้ 3/2 pv เท่ากับ... นี่คือส่วนที่น่าสนใจ
มันเท่ากับ N จำนวนของอนุภาคที่เรามี คูณ mv
กำลังสอง หาร 2
จำไว้ ผมเพิ่งหารสมการนี้ ตรงนี้
ด้วย 2 แล้วได้สิ่งนี้
แล้วผมก็ทำมันด้วยเหตุผลจำเพาะ
mv กำลังสอง หาร 2 คืออะไร
mv กำลังสอง หาร 2 คือพลังงานจลน์ของ
อนุภาคเล็กๆนั้น ที่เราสนใจมาตั้งแต่แรก
นั่นคือสูตรสำหรับพลังงานจลน์
พลังงานจลน์เท่ากับ mv กำลังสอง หาร 2
นี่คือพลังงานจลน์ของอนุภาคหนึ่งอนุภาค
...
ตอนนี้ เราจะคูณมันด้วยจำนวน
อนุภาคที่เรามี คือคูณ N
N คูณพลังงานจลน์ของหนึ่งอนุภาคจะเป็น
พลังงานจลน์ของอนุภาคทั้งหมด
และ แน่นอน เราสร้างสมมติฐานไว้อีกอย่างหนึ่ง
ผมควรบอกว่าผมอนุมานว่าอนุภาคทั้งหมด
เคลื่อนที่ด้วยความเร็วเดียวกัน และมีมวลเท่ากัน
ในสถานการณ์จริง อนุภาคต่างๆอาจมี
ความเร็วที่ต่างกันมาก
แต่มันเป็นหนึ่งในสมมติฐานที่เราสร้างเพื่อลดความซับซ้อน
ฉะนั้น เราเพิ่งอนุมานว่ามันมีค่าเหล่านั้น
ถ้าผมคูณ N กับอันนี้
นี่คือพลังงานจลน์ของระบบ
...
เกือบเสร็จแล้ว
ที่จริง เราทำเสร็จแล้ว
เราเพิ่งพบว่าพลังงานจลน์ของระบบ
เท่ากับ 3/2 คุณความดัน คูณปริมาตร
ของระบบ
ทีนี้ อะไรคือพลังงานจลน์ของระบบ
มันคือพลังงานภายใน
เนื่องจากเราพูดว่าพลังงานทั้งหมดในระบบ เนื่องจากมันคือ
แก๊สอุดมคติซึ่งมีอะตอมเดี่ยว พลังงานทั้งหมดใน
ระบบคือพลังงานจลน์
เราเลยพูดได้ว่าพลังงานภายในของระบบเท่ากับ
นั่นก็คือพลังงานจลน์ทั้งหมดของระบบ
มันเท่ากับ 3/2 เท่าของความดันรวม คูณกับ
ความดันรวม
คุณอาจบอกว่า เฮ่ แซล คุณเพิ่งหา
ความดันบนด้านนี้
แล้วความดันบนด้านนั้น และด้านนั้น
และด้านนั้น หรือ บนทุกๆด้านของลูกบาศก์หละ
ความดันบนทุกๆด้านของ
ลูกบาศก์มีค่าเท่ากัน
ดังนั้น สิ่งเดียวที่เราต้องทำคือหาในรูปของความดันบน
ด้านด้านหนึ่ง และนั่นก็คือความดันของ
ระบบ
แล้วเราจะทำอะไรกับมันได้อีก
เรารู้ว่า pv เท่ากับ nRT จากกฎของแก๊ส
pv เท่ากับ nRT เมื่อนี่คือจำนวนโมลของแก๊ส
และนี่คือค่าคงที่ของแก๊ส
นี่คืออุณหภูมิในหน่วยเคลวิน
ถ้าเราแทนค่าเข้าไป เราจะพูดได้ว่า
พลังงานภายในสามารถเขียนได้เป็น 3/2 เท่า
ของจำนวนโมลที่เรามี คูณค่าคงที่ของแก๊ส คูณ
กับอุณหภูมิ
ผมเขียนอธิบายมาเยอะ แล้วมันค่อนข้างจะเป็นการคำนวณ
แต่ผลเหล่านี้น่าสนใจ
เพราะตอนนี้ คุณได้พบความสัมพันธ์โดยตรง
ถ้าคุณรู้ความดันและปริมาตร คุณก็รู้
ค่าจริงของพลังงานภายใน หรือพลังงานจลน์ทั้งหมด
ของระบบ
หรือถ้าคุณรู้อุณหภูมิและจำนวน
โมเลกุลที่คุณมี คุณก็รู้พลังงานภายใน
ของระบบ
มีความรู้สองอย่างที่ผมอยากให้คุณได้ไป
ถ้าอุณหภูมิไม่เปลี่ยนในสถานการณ์อุดมคติของเรา
ถ้า เดลต้า T เท่ากับ 0 ถ้ามันไม่เปลี่ยน
จำนวนของอนุภาคก็จะไม่เปลี่ยน
แล้วพลังงานภายในก็จะไม่เปลี่ยนเช่นเดียวกัน
ดังนั้น ถ้าเราพูดว่ามีการเปลี่ยนแปลงของพลังงานภายใน
และผมจะใช้มันในการพิสูจน์ในอนาคต เราพูดได้ว่า
มันเท่ากับ 3/2 คูณ nR คูณ... สิ่งเดียว
ที่เปลี่ยนได้ ไม่ใช่จำนวนโมเลกุลหรือ
ค่าคงที่ของแก๊ส... คูณการเปลี่ยนแปลงของ T
มันเขียนได้อีกแบบในรูป 3/2 คูณการเปลี่ยนแปลงของ pv
เราไม่รู้ว่าค่าทั้งสองนี้เป็นค่าคงที่หรือไม่
เราจึงพูดว่าเป็นการเปลี่ยนแปลงของผลคูณ
อย่างไรก็ตาม นี่ค่อนไปทางการคำนวณ
และผมขอโทษ
แต่ผมหวังว่ามันจะทำให้คุณเข้าใจมากขึ้นว่า
นี่เป็นเพียงแค่ผลรวมของพลังงานจลน์ทั้งหมด
เราเชื่อมมันกับตัวแปรต่างๆของสภาวะในระบบ
เช่น ความดัน ปริมาตร และอุณหภูมิ
และตอนนี้ เนื่องจากผมได้ทำวิดีโอเกี่ยวกับมันแล้ว เราสามารถ
ใช้ผลนี้ในการพิสูจน์ครั้งต่อๆไป
หรืออย่างน้อย คุณจะไม่บนมากเกินไปถ้าผมใช้มัน
อย่างไรก็ตาม เจอกันในวิดีโอต่อไป