WEBVTT

00:00:06.954 --> 00:00:09.124
抽一張牌，隨便一張，

00:00:09.124 --> 00:00:12.014
其實，乾脆把整副牌都攤開來
看一看，

00:00:12.014 --> 00:00:15.848
一副共有 52 張的撲克牌，
已沿用了好幾個世紀。

00:00:15.848 --> 00:00:18.098
每天，成千上萬副這樣的牌，

00:00:18.098 --> 00:00:21.134
在全球各個賭場被洗來洗去，

00:00:21.134 --> 00:00:23.719
每次洗都會重新排序。

00:00:23.719 --> 00:00:26.431
但當你每回拿起一副洗好的牌，

00:00:26.431 --> 00:00:27.642
像這副一樣，

00:00:27.642 --> 00:00:29.431
你幾乎可以確定的是，

00:00:29.431 --> 00:00:30.848
你手上這副牌的順序

00:00:30.848 --> 00:00:33.729
在過去從未出現。

00:00:33.729 --> 00:00:35.764
怎麼會這樣？

00:00:35.764 --> 00:00:39.592
答案在於，究竟有多少排列組合，
不論是這 52 張牌，

00:00:39.592 --> 00:00:42.348
或任何物件，
有多少可能的排列組合存在？

00:00:42.348 --> 00:00:45.620
52 看起來不是個很大的數字，

00:00:45.620 --> 00:00:48.035
但我們還是先從
更小的數字開始吧。

00:00:48.035 --> 00:00:49.932
例如有四個人嘗試坐在

00:00:49.932 --> 00:00:52.348
四張有編號的椅子上，

00:00:52.348 --> 00:00:54.460
他們的座位有幾種坐法？

00:00:54.460 --> 00:00:57.588
一開始，四人中的任何一位
都可以坐在一號位置，

00:00:57.588 --> 00:00:59.132
決定好之後，

00:00:59.132 --> 00:01:01.466
還有三個人站著，

00:01:01.466 --> 00:01:03.262
第二個人坐下之後，

00:01:03.262 --> 00:01:05.219
就剩下兩個人有可能

00:01:05.219 --> 00:01:06.680
坐在三號位置。

00:01:06.680 --> 00:01:08.680
第三個人坐下後，

00:01:08.680 --> 00:01:10.431
最後一個站著的人便別無他選，

00:01:10.431 --> 00:01:12.347
只能坐在四號椅子。

00:01:12.347 --> 00:01:15.098
如果我們寫下
所有可能的座位排法，

00:01:15.098 --> 00:01:16.814
或者說排列，
(permutations)

00:01:16.814 --> 00:01:18.818
結果將有 24 種不同的坐法，

00:01:18.818 --> 00:01:22.180
讓四個人坐上四張椅子。

00:01:22.180 --> 00:01:23.801
但當要處理的數字較大時，

00:01:23.801 --> 00:01:25.532
這就要花上好些時間了。

00:01:25.532 --> 00:01:27.148
我們來想想有沒有更快的方法。

00:01:27.898 --> 00:01:29.286
從頭來過，

00:01:29.286 --> 00:01:32.680
由誰坐上一號椅子，

00:01:32.682 --> 00:01:35.999
引出二號椅子的三種可能選擇，

00:01:35.999 --> 00:01:37.461
而當中的每個選項，

00:01:37.461 --> 00:01:39.847
再引出三號座位的兩種可能性。

00:01:39.847 --> 00:01:43.181
所我們不需要
一個一個排出最終的坐法，

00:01:43.181 --> 00:01:49.092
只需乘上每張椅子的可能選項：
4 乘以 3 乘以 2 乘以 1。

00:01:49.096 --> 00:01:51.848
就會得到相同的結果，
即 24 種坐法。

00:01:51.848 --> 00:01:53.681
所以，出現了有趣的規則：

00:01:53.681 --> 00:01:56.729
我們先確認要排列的物件數量，

00:01:56.729 --> 00:01:58.098
這次是四個人，

00:01:58.098 --> 00:02:00.847
然後連續乘以越來越小的整數，

00:02:00.847 --> 00:02:02.902
直到 1 為止。

00:02:02.904 --> 00:02:08.579
這是很有趣的發現，
數學家將這種計算方法

00:02:08.579 --> 00:02:10.345
命名為階乘，

00:02:10.345 --> 00:02:12.038
以驚嘆號「！」表示。

00:02:12.038 --> 00:02:15.514
一般而言，任意整數的階乘，

00:02:15.514 --> 00:02:17.416
計算方法為：

00:02:17.416 --> 00:02:21.816
從自己開始，越來越小的整數，
往下相乘，直到 1 為止。

00:02:21.836 --> 00:02:23.263
我們剛剛那個簡單的例子，

00:02:23.263 --> 00:02:26.186
4 個人座位的排列方法，

00:02:26.186 --> 00:02:28.052
就可以寫成 4 的階乘「 4! 」，

00:02:28.052 --> 00:02:29.975
計算結果等於 24。

00:02:29.975 --> 00:02:31.808
所以讓我們回頭來看這副牌，

00:02:31.808 --> 00:02:35.051
如同計算 4 個人
座位的排列方式，

00:02:35.051 --> 00:02:40.008
52 張牌就有 52! 種排列方式。

00:02:40.014 --> 00:02:43.066
好在我們不需要用手算，

00:02:43.066 --> 00:02:45.014
只要按計算機就可以知道，

00:02:45.014 --> 00:02:47.621
可能的排列方式共有

00:02:47.621 --> 00:02:52.368
8.07 乘以 10 的 67 次方
這麼多種的可能排序，

00:02:52.368 --> 00:02:55.788
大約就是 8 後面加上 67 個 0 。

00:02:55.788 --> 00:02:57.458
這數字到底是多大呢？

00:02:57.458 --> 00:03:01.298
嗯，如果每秒鐘排一種順序，

00:03:01.298 --> 00:03:03.902
大約要花 138 億年，

00:03:03.902 --> 00:03:06.418
差不多是從
宇宙大爆炸要開始的時候，

00:03:06.418 --> 00:03:08.894
一直排到此時此刻都還沒排完，

00:03:08.894 --> 00:03:11.664
還要再排個幾百萬年，
才可能排出所有的可能順序。

00:03:11.676 --> 00:03:13.426
事實上，52 張牌的排法，

00:03:13.426 --> 00:03:18.148
數量可能遠超過，
地球上所有的原子數目總和。

00:03:18.148 --> 00:03:20.843
所以下次輪到你洗牌的時候，

00:03:20.843 --> 00:03:23.329
記得想想
你現在洗出來的這副牌，

00:03:23.329 --> 00:03:27.344
它的排列順序，
可能是絕無僅有，空前絕後的。