WEBVTT

00:00:06.954 --> 00:00:09.124
Choisissez une carte, 
n'importe quelle carte.

00:00:09.124 --> 00:00:12.014
En fait, prenez-les toutes
et jetez un coup d'oeil.

00:00:12.014 --> 00:00:15.848
On utilise ce jeu classique de 52 cartes 
depuis des siècles.

00:00:15.848 --> 00:00:18.098
Tous les jours, des milliers 
de jeux comme celui-ci

00:00:18.098 --> 00:00:21.134
sont battus dans les casinos 
du monde entier,

00:00:21.134 --> 00:00:23.719
l'ordre est réarrangé à chaque fois.

00:00:23.719 --> 00:00:26.431
Et pourtant, chaque fois que 
vous prenez un jeu bien mélangé

00:00:26.431 --> 00:00:27.642
comme celui-ci,

00:00:27.642 --> 00:00:29.431
vous tenez certainement

00:00:29.431 --> 00:00:30.848
un arrangement des cartes

00:00:30.848 --> 00:00:33.729
qui n'a jamais existé 
dans toute l'histoire.

00:00:33.729 --> 00:00:35.764
Comment est-ce possible ?

00:00:35.764 --> 00:00:37.900
La réponse se trouve dans le nombre
d'arrangements différents possibles

00:00:37.900 --> 00:00:42.348
de 52 cartes, ou 
de n'importe quels objets.

00:00:42.348 --> 00:00:45.620
52 peut ne pas sembler 
un nombre si grand,

00:00:45.620 --> 00:00:48.035
mais commençons par encore plus petit.

00:00:48.035 --> 00:00:49.932
Disons que nous avons 4 personnes 
qui tentent de s'asseoir

00:00:49.932 --> 00:00:52.348
sur 4 chaises numérotées.

00:00:52.348 --> 00:00:54.460
De combien de façons 
peuvent-ils être assis ?

00:00:54.460 --> 00:00:56.598
Pour commencer, une des 
quatre personnes peut s'asseoir

00:00:56.598 --> 00:00:57.920
sur la première chaise.

00:00:57.920 --> 00:00:59.132
Ce choix fait,

00:00:59.132 --> 00:01:01.466
seules trois personnes restent debout.

00:01:01.466 --> 00:01:03.262
Quand la seconde personne s'assied,

00:01:03.262 --> 00:01:05.218
seules deux personnes restent 
comme candidates

00:01:05.218 --> 00:01:06.680
pour la troisième chaise.

00:01:06.680 --> 00:01:08.680
Une fois que la troisième 
personne s'est assise,

00:01:08.680 --> 00:01:10.431
la dernière personne 
debout n'a d'autre choix

00:01:10.431 --> 00:01:12.347
que de s'asseoir sur la quatrième chaise.

00:01:12.347 --> 00:01:15.098
Si nous écrivons à la main
tous les arrangements possibles,

00:01:15.098 --> 00:01:16.814
ou permutations,

00:01:16.814 --> 00:01:18.818
Il s'avère qu'il y a 24 façons

00:01:18.818 --> 00:01:22.180
pour quatre personnes de 
prendre place sur quatre chaises,

00:01:22.180 --> 00:01:23.991
mais lorsqu'ils traitent avec un plus grand nombre,

00:01:23.991 --> 00:01:25.532
Ça peut prendre un certain temps.

00:01:25.532 --> 00:01:27.848
Nous allons donc voir 
s'il y a un moyen plus rapide.

00:01:27.848 --> 00:01:29.286
En reprenant du début,

00:01:29.286 --> 00:01:31.370
vous pouvez voir que 
chacun des quatre choix initial

00:01:31.370 --> 00:01:32.682
pour la première chaire

00:01:32.682 --> 00:01:35.999
conduit à trois choix possibles de plus
pour la deuxième chaise,

00:01:35.999 --> 00:01:37.461
et chacun de ces choix

00:01:37.461 --> 00:01:39.847
mène à deux autres 
pour la troisième chaise.

00:01:39.847 --> 00:01:43.181
Ainsi, au lieu de compter 
chaque scénario final individuellement,

00:01:43.181 --> 00:01:46.262
on peut multiplier le nombre
de choix pour chaque chaise :

00:01:46.262 --> 00:01:49.096
4 x 2 x 3 x 1

00:01:49.096 --> 00:01:51.848
pour obtenir le même résultat de 24.

00:01:51.848 --> 00:01:53.681
Un modèle intéressant émerge.

00:01:53.681 --> 00:01:56.729
Nous commençons par le nombre 
d'objets que nous allons organiser,

00:01:56.729 --> 00:01:58.098
quatre dans ce cas,

00:01:58.098 --> 00:02:00.847
et on le multiplie des nombres entiers
consécutivement plus petits

00:02:00.847 --> 00:02:02.902
jusqu'à ce qu'on arrive à un.

00:02:02.902 --> 00:02:04.514
C'est une découverte passionnante.

00:02:04.514 --> 00:02:06.449
Si enthousiasmante 
que les mathématiciens ont choisi

00:02:06.449 --> 00:02:08.574
de symboliser ce genre de calcul,

00:02:08.574 --> 00:02:10.345
connu comme une factorielle,

00:02:10.345 --> 00:02:12.038
avec un point d'exclamation.

00:02:12.038 --> 00:02:15.514
En règle générale, 
la factorielle d'un entier positif

00:02:15.514 --> 00:02:17.416
est calculée comme le produit

00:02:17.416 --> 00:02:18.876
de ce même entier

00:02:18.876 --> 00:02:21.836
et de tous les plus petits 
entiers jusqu'à un.

00:02:21.836 --> 00:02:23.263
Dans notre exemple simple,

00:02:23.263 --> 00:02:24.596
le nombre de façons dont quatre personnes

00:02:24.596 --> 00:02:26.181
peuvent être distribuées sur des chaires

00:02:26.181 --> 00:02:28.052
s'écrit en quatre factorielles,

00:02:28.052 --> 00:02:29.975
ce qui est égal à 24.

00:02:29.975 --> 00:02:31.808
Revenons donc à notre jeu de cartes.

00:02:31.808 --> 00:02:33.598
Tout comme il y avait 
quatre façons factorielles

00:02:33.598 --> 00:02:35.431
d'arranger quatre personnes,

00:02:35.431 --> 00:02:37.598
Il y a 52 façons factorielles

00:02:37.598 --> 00:02:40.014
de réorganiser 52 cartes.

00:02:40.014 --> 00:02:43.066
Heureusement, nous n'avons pas 
besoin de calculer à la main.

00:02:43.066 --> 00:02:45.014
Il suffit d'entrer la fonction 
dans une calculatrice,

00:02:45.014 --> 00:02:46.431
et elle vous montrera que le nombre

00:02:46.431 --> 00:02:47.931
d'arrangements possibles est

00:02:47.931 --> 00:02:52.368
8,07 x 10 ^ 67,

00:02:52.368 --> 00:02:55.788
ou environ 8 suivi de 67 zéros.

00:02:55.788 --> 00:02:57.458
Ce nombre est grand comment ?

00:02:57.458 --> 00:02:59.708
Eh bien, si une nouvelle 
permutation de 52 cartes

00:02:59.708 --> 00:03:01.752
était écrite à chaque seconde

00:03:01.752 --> 00:03:04.378
en commençant il y a
13,8 milliards d'années,

00:03:04.378 --> 00:03:06.344
quand on pense qu'a eu lieu le Big Bang,

00:03:06.344 --> 00:03:09.094
on continuerait encore 
à l'écrire aujourd'hui

00:03:09.094 --> 00:03:11.676
et qu'on poursuivrait pendant
des millions d'années à venir.

00:03:11.676 --> 00:03:13.426
En fait, il y a plus de façons possibles

00:03:13.426 --> 00:03:16.345
d'arranger ce simple jeu de cartes

00:03:16.345 --> 00:03:18.593
qu'il n'y a d'atomes sur la Terre.

00:03:18.593 --> 00:03:20.759
Alors la prochaine fois que ce sera
votre tour de battre les cartes,

00:03:20.759 --> 00:03:22.093
prenez un moment pour vous souvenir

00:03:22.093 --> 00:03:23.174
que vous tenez quelque chose qui

00:03:23.174 --> 00:03:25.235
n'aura peut-être jamais existé avant

00:03:25.235 --> 00:03:27.344
et n'existera peut-être 
plus jamais à nouveau.