1
00:00:06,954 --> 00:00:09,124
Choisissez une carte, 
n'importe quelle carte.

2
00:00:09,124 --> 00:00:12,014
En fait, prenez-les toutes
et jetez un coup d'oeil.

3
00:00:12,014 --> 00:00:15,848
On utilise ce jeu classique de 52 cartes 
depuis des siècles.

4
00:00:15,848 --> 00:00:18,098
Tous les jours, des milliers 
de jeux comme celui-ci

5
00:00:18,098 --> 00:00:21,134
sont battus dans les casinos 
du monde entier,

6
00:00:21,134 --> 00:00:23,719
l'ordre est réarrangé à chaque fois.

7
00:00:23,719 --> 00:00:26,431
Et pourtant, chaque fois que 
vous prenez un jeu bien mélangé

8
00:00:26,431 --> 00:00:27,642
comme celui-ci,

9
00:00:27,642 --> 00:00:29,431
vous tenez certainement

10
00:00:29,431 --> 00:00:30,848
un arrangement des cartes

11
00:00:30,848 --> 00:00:33,729
qui n'a jamais existé 
dans toute l'histoire.

12
00:00:33,729 --> 00:00:35,764
Comment est-ce possible ?

13
00:00:35,764 --> 00:00:37,900
La réponse se trouve dans le nombre
d'arrangements différents possibles

14
00:00:37,900 --> 00:00:42,348
de 52 cartes, ou 
de n'importe quels objets.

15
00:00:42,348 --> 00:00:45,620
52 peut ne pas sembler 
un nombre si grand,

16
00:00:45,620 --> 00:00:48,035
mais commençons par encore plus petit.

17
00:00:48,035 --> 00:00:49,932
Disons que nous avons 4 personnes 
qui tentent de s'asseoir

18
00:00:49,932 --> 00:00:52,348
sur 4 chaises numérotées.

19
00:00:52,348 --> 00:00:54,460
De combien de façons 
peuvent-ils être assis ?

20
00:00:54,460 --> 00:00:56,598
Pour commencer, une des 
quatre personnes peut s'asseoir

21
00:00:56,598 --> 00:00:57,920
sur la première chaise.

22
00:00:57,920 --> 00:00:59,132
Ce choix fait,

23
00:00:59,132 --> 00:01:01,466
seules trois personnes restent debout.

24
00:01:01,466 --> 00:01:03,262
Quand la seconde personne s'assied,

25
00:01:03,262 --> 00:01:05,219
seules deux personnes restent 
comme candidates

26
00:01:05,219 --> 00:01:06,680
pour la troisième chaise.

27
00:01:06,680 --> 00:01:08,680
Une fois que la troisième 
personne s'est assise,

28
00:01:08,680 --> 00:01:10,431
la dernière personne 
debout n'a d'autre choix

29
00:01:10,431 --> 00:01:12,347
que de s'asseoir sur la quatrième chaise.

30
00:01:12,347 --> 00:01:15,098
Si nous écrivons à la main
tous les arrangements possibles,

31
00:01:15,098 --> 00:01:16,814
ou permutations,

32
00:01:16,814 --> 00:01:18,818
Il s'avère qu'il y a 24 façons

33
00:01:18,818 --> 00:01:22,180
pour quatre personnes de 
prendre place sur quatre chaises,

34
00:01:22,180 --> 00:01:23,991
mais lorsqu'ils traitent avec un plus grand nombre,

35
00:01:23,991 --> 00:01:25,532
Ça peut prendre un certain temps.

36
00:01:25,532 --> 00:01:27,848
Nous allons donc voir 
s'il y a un moyen plus rapide.

37
00:01:27,848 --> 00:01:29,286
En reprenant du début,

38
00:01:29,286 --> 00:01:31,370
vous pouvez voir que 
chacun des quatre choix initial

39
00:01:31,370 --> 00:01:32,682
pour la première chaire

40
00:01:32,682 --> 00:01:35,999
conduit à trois choix possibles de plus
pour la deuxième chaise,

41
00:01:35,999 --> 00:01:37,461
et chacun de ces choix

42
00:01:37,461 --> 00:01:39,847
mène à deux autres 
pour la troisième chaise.

43
00:01:39,847 --> 00:01:43,181
Ainsi, au lieu de compter 
chaque scénario final individuellement,

44
00:01:43,181 --> 00:01:46,262
on peut multiplier le nombre
de choix pour chaque chaise :

45
00:01:46,262 --> 00:01:49,096
4 x 2 x 3 x 1

46
00:01:49,096 --> 00:01:51,848
pour obtenir le même résultat de 24.

47
00:01:51,848 --> 00:01:53,681
Un modèle intéressant émerge.

48
00:01:53,681 --> 00:01:56,729
Nous commençons par le nombre 
d'objets que nous allons organiser,

49
00:01:56,729 --> 00:01:58,098
quatre dans ce cas,

50
00:01:58,098 --> 00:02:00,847
et on le multiplie des nombres entiers
consécutivement plus petits

51
00:02:00,847 --> 00:02:02,902
jusqu'à ce qu'on arrive à un.

52
00:02:02,902 --> 00:02:04,514
C'est une découverte passionnante.

53
00:02:04,514 --> 00:02:06,449
Si enthousiasmante 
que les mathématiciens ont choisi

54
00:02:06,449 --> 00:02:08,575
de symboliser ce genre de calcul,

55
00:02:08,575 --> 00:02:10,345
connu comme une factorielle,

56
00:02:10,345 --> 00:02:12,038
avec un point d'exclamation.

57
00:02:12,038 --> 00:02:15,514
En règle générale, 
la factorielle d'un entier positif

58
00:02:15,514 --> 00:02:17,416
est calculée comme le produit

59
00:02:17,416 --> 00:02:18,876
de ce même entier

60
00:02:18,876 --> 00:02:21,836
et de tous les plus petits 
entiers jusqu'à un.

61
00:02:21,836 --> 00:02:23,263
Dans notre exemple simple,

62
00:02:23,263 --> 00:02:24,596
le nombre de façons dont quatre personnes

63
00:02:24,596 --> 00:02:26,181
peuvent être distribuées sur des chaires

64
00:02:26,181 --> 00:02:28,052
s'écrit en quatre factorielles,

65
00:02:28,052 --> 00:02:29,975
ce qui est égal à 24.

66
00:02:29,975 --> 00:02:31,808
Revenons donc à notre jeu de cartes.

67
00:02:31,808 --> 00:02:33,598
Tout comme il y avait 
quatre façons factorielles

68
00:02:33,598 --> 00:02:35,431
d'arranger quatre personnes,

69
00:02:35,431 --> 00:02:37,598
Il y a 52 façons factorielles

70
00:02:37,598 --> 00:02:40,014
de réorganiser 52 cartes.

71
00:02:40,014 --> 00:02:43,066
Heureusement, nous n'avons pas 
besoin de calculer à la main.

72
00:02:43,066 --> 00:02:45,014
Il suffit d'entrer la fonction 
dans une calculatrice,

73
00:02:45,014 --> 00:02:46,431
et elle vous montrera que le nombre

74
00:02:46,431 --> 00:02:47,931
d'arrangements possibles est

75
00:02:47,931 --> 00:02:52,368
8,07 x 10 ^ 67,

76
00:02:52,368 --> 00:02:55,788
ou environ 8 suivi de 67 zéros.

77
00:02:55,788 --> 00:02:57,458
Ce nombre est grand comment ?

78
00:02:57,458 --> 00:02:59,708
Eh bien, si une nouvelle 
permutation de 52 cartes

79
00:02:59,708 --> 00:03:01,752
était écrite à chaque seconde

80
00:03:01,752 --> 00:03:04,378
en commençant il y a
13,8 milliards d'années,

81
00:03:04,378 --> 00:03:06,344
quand on pense qu'a eu lieu le Big Bang,

82
00:03:06,344 --> 00:03:09,094
on continuerait encore 
à l'écrire aujourd'hui

83
00:03:09,094 --> 00:03:11,676
et qu'on poursuivrait pendant
des millions d'années à venir.

84
00:03:11,676 --> 00:03:13,426
En fait, il y a plus de façons possibles

85
00:03:13,426 --> 00:03:16,345
d'arranger ce simple jeu de cartes

86
00:03:16,345 --> 00:03:18,593
qu'il n'y a d'atomes sur la Terre.

87
00:03:18,593 --> 00:03:20,759
Alors la prochaine fois que ce sera
votre tour de battre les cartes,

88
00:03:20,759 --> 00:03:22,093
prenez un moment pour vous souvenir

89
00:03:22,093 --> 00:03:23,174
que vous tenez quelque chose qui

90
00:03:23,174 --> 00:03:25,235
n'aura peut-être jamais existé avant

91
00:03:25,235 --> 00:03:27,344
et n'existera peut-être 
plus jamais à nouveau.