0:00:06.954,0:00:09.124
Choisissez une carte, [br]n'importe quelle carte.

0:00:09.124,0:00:12.014
En fait, prenez-les toutes[br]et jetez un coup d'oeil.

0:00:12.014,0:00:15.848
On utilise ce jeu classique de 52 cartes [br]depuis des siècles.

0:00:15.848,0:00:18.098
Tous les jours, des milliers [br]de jeux comme celui-ci

0:00:18.098,0:00:21.134
sont battus dans les casinos [br]du monde entier,

0:00:21.134,0:00:23.719
l'ordre est réarrangé à chaque fois.

0:00:23.719,0:00:26.431
Et pourtant, chaque fois que [br]vous prenez un jeu bien mélangé

0:00:26.431,0:00:27.642
comme celui-ci,

0:00:27.642,0:00:29.431
vous tenez certainement

0:00:29.431,0:00:30.848
un arrangement des cartes

0:00:30.848,0:00:33.729
qui n'a jamais existé [br]dans toute l'histoire.

0:00:33.729,0:00:35.764
Comment est-ce possible ?

0:00:35.764,0:00:37.900
La réponse se trouve dans le nombre[br]d'arrangements différents possibles

0:00:37.900,0:00:42.348
de 52 cartes, ou [br]de n'importe quels objets.

0:00:42.348,0:00:45.620
52 peut ne pas sembler [br]un nombre si grand,

0:00:45.620,0:00:48.035
mais commençons par encore plus petit.

0:00:48.035,0:00:49.932
Disons que nous avons 4 personnes [br]qui tentent de s'asseoir

0:00:49.932,0:00:52.348
sur 4 chaises numérotées.

0:00:52.348,0:00:54.460
De combien de façons [br]peuvent-ils être assis ?

0:00:54.460,0:00:56.598
Pour commencer, une des [br]quatre personnes peut s'asseoir

0:00:56.598,0:00:57.920
sur la première chaise.

0:00:57.920,0:00:59.132
Ce choix fait,

0:00:59.132,0:01:01.466
seules trois personnes restent debout.

0:01:01.466,0:01:03.262
Quand la seconde personne s'assied,

0:01:03.262,0:01:05.219
seules deux personnes restent [br]comme candidates

0:01:05.219,0:01:06.680
pour la troisième chaise.

0:01:06.680,0:01:08.680
Une fois que la troisième [br]personne s'est assise,

0:01:08.680,0:01:10.431
la dernière personne [br]debout n'a d'autre choix

0:01:10.431,0:01:12.347
que de s'asseoir sur la quatrième chaise.

0:01:12.347,0:01:15.098
Si nous écrivons à la main[br]tous les arrangements possibles,

0:01:15.098,0:01:16.814
ou permutations,

0:01:16.814,0:01:18.818
Il s'avère qu'il y a 24 façons

0:01:18.818,0:01:22.180
pour quatre personnes de [br]prendre place sur quatre chaises,

0:01:22.180,0:01:23.991
mais lorsqu'ils traitent avec un plus grand nombre,

0:01:23.991,0:01:25.532
Ça peut prendre un certain temps.

0:01:25.532,0:01:27.848
Nous allons donc voir [br]s'il y a un moyen plus rapide.

0:01:27.848,0:01:29.286
En reprenant du début,

0:01:29.286,0:01:31.370
vous pouvez voir que [br]chacun des quatre choix initial

0:01:31.370,0:01:32.682
pour la première chaire

0:01:32.682,0:01:35.999
conduit à trois choix possibles de plus[br]pour la deuxième chaise,

0:01:35.999,0:01:37.461
et chacun de ces choix

0:01:37.461,0:01:39.847
mène à deux autres [br]pour la troisième chaise.

0:01:39.847,0:01:43.181
Ainsi, au lieu de compter [br]chaque scénario final individuellement,

0:01:43.181,0:01:46.262
on peut multiplier le nombre[br]de choix pour chaque chaise :

0:01:46.262,0:01:49.096
4 x 2 x 3 x 1

0:01:49.096,0:01:51.848
pour obtenir le même résultat de 24.

0:01:51.848,0:01:53.681
Un modèle intéressant émerge.

0:01:53.681,0:01:56.729
Nous commençons par le nombre [br]d'objets que nous allons organiser,

0:01:56.729,0:01:58.098
quatre dans ce cas,

0:01:58.098,0:02:00.847
et on le multiplie des nombres entiers[br]consécutivement plus petits

0:02:00.847,0:02:02.902
jusqu'à ce qu'on arrive à un.

0:02:02.902,0:02:04.514
C'est une découverte passionnante.

0:02:04.514,0:02:06.449
Si enthousiasmante [br]que les mathématiciens ont choisi

0:02:06.449,0:02:08.575
de symboliser ce genre de calcul,

0:02:08.575,0:02:10.345
connu comme une factorielle,

0:02:10.345,0:02:12.038
avec un point d'exclamation.

0:02:12.038,0:02:15.514
En règle générale, [br]la factorielle d'un entier positif

0:02:15.514,0:02:17.416
est calculée comme le produit

0:02:17.416,0:02:18.876
de ce même entier

0:02:18.876,0:02:21.836
et de tous les plus petits [br]entiers jusqu'à un.

0:02:21.836,0:02:23.263
Dans notre exemple simple,

0:02:23.263,0:02:24.596
le nombre de façons dont quatre personnes

0:02:24.596,0:02:26.181
peuvent être distribuées sur des chaires

0:02:26.181,0:02:28.052
s'écrit en quatre factorielles,

0:02:28.052,0:02:29.975
ce qui est égal à 24.

0:02:29.975,0:02:31.808
Revenons donc à notre jeu de cartes.

0:02:31.808,0:02:33.598
Tout comme il y avait [br]quatre façons factorielles

0:02:33.598,0:02:35.431
d'arranger quatre personnes,

0:02:35.431,0:02:37.598
Il y a 52 façons factorielles

0:02:37.598,0:02:40.014
de réorganiser 52 cartes.

0:02:40.014,0:02:43.066
Heureusement, nous n'avons pas [br]besoin de calculer à la main.

0:02:43.066,0:02:45.014
Il suffit d'entrer la fonction [br]dans une calculatrice,

0:02:45.014,0:02:46.431
et elle vous montrera que le nombre

0:02:46.431,0:02:47.931
d'arrangements possibles est

0:02:47.931,0:02:52.368
8,07 x 10 ^ 67,

0:02:52.368,0:02:55.788
ou environ 8 suivi de 67 zéros.

0:02:55.788,0:02:57.458
Ce nombre est grand comment ?

0:02:57.458,0:02:59.708
Eh bien, si une nouvelle [br]permutation de 52 cartes

0:02:59.708,0:03:01.752
était écrite à chaque seconde

0:03:01.752,0:03:04.378
en commençant il y a[br]13,8 milliards d'années,

0:03:04.378,0:03:06.344
quand on pense qu'a eu lieu le Big Bang,

0:03:06.344,0:03:09.094
on continuerait encore [br]à l'écrire aujourd'hui

0:03:09.094,0:03:11.676
et qu'on poursuivrait pendant[br]des millions d'années à venir.

0:03:11.676,0:03:13.426
En fait, il y a plus de façons possibles

0:03:13.426,0:03:16.345
d'arranger ce simple jeu de cartes

0:03:16.345,0:03:18.593
qu'il n'y a d'atomes sur la Terre.

0:03:18.593,0:03:20.759
Alors la prochaine fois que ce sera[br]votre tour de battre les cartes,

0:03:20.759,0:03:22.093
prenez un moment pour vous souvenir

0:03:22.093,0:03:23.174
que vous tenez quelque chose qui

0:03:23.174,0:03:25.235
n'aura peut-être jamais existé avant

0:03:25.235,0:03:27.344
et n'existera peut-être [br]plus jamais à nouveau.