문제: 다음 단항식의 최대공약수를 구하여라
최대공약수란 두 수를 나누는
가장 큰 공약수를 말합니다
방금 말한 최대공약수의 정의는
두 '수'가 주어졌을 때의 정의였고요,
문제에서는 두 '식'의 최대공약수를 찾아야 합니다
문제를 풀 때 주의할 점은
식의 관점에서 '최대'라는 단어를
어떻게 해석해야 하는가 입니다
식에서 있어 '최대'라 함은
주어진 단항식에 대하여
가장 많은 인수를 포함한다는 뜻입니다
반드시 숫자(계수)가 클 필요는 없습니다
왜냐하면 이 변수들 중 몇몇은
음수값을 가질 수도 있고
1보다 작은 값을 가져서
제곱을 하면 더 작아질 수도 있습니다
제 생각에는
개념 설명을 구체적으로 하는 것보다
전체적인 풀이과정을 통해서
이해하는 것이 더 좋을 것 같습니다
최대공약수를 찾기 위해서
일단 이 수들을
소인수분해 해보도록 하겠습니다
지금 하려고 하는 것은
계수 부분의 소인수분해와
변수 부분의 인수분해가
합쳐진 과정이라고 볼 수 있습니다
그래서 10이나
10cd^2를 쓸 때,
10을 소인수분해하여
다시 쓰도록 합니다
10을 소인수분해하면 2×5입니다
2, 5 모두 소인수입니다
결국 10은
2 곱하기 5로 소인수분해할 수 있네요
c는 오직 c로 분해할 수 있습니다
c 이외에는 무엇으로 c를 분해할 수 있는지
알 수가 없습니다
그래서 2 × 5 × c
그리고 d^2는 다시
d × d로 나타낼 수 있습니다
이렇게 해서
주어진 단항식을
각 구성성분의 곱으로 나타내는 것입니다
계수 부분은
소인수의 곱으로 표현하고,
나머지 부분은
거듭제곱되어있는 것을 풀어서 나열해줍니다
자, 이제
25c^3d^2을 소인수분해해줍시다
25는 5×5입니다
그리고 c^3은
c × c × c입니다
d의 제곱은
d × d 입니다
자, 이제 최대공약수를 구해봅시다
두 식 모두 5를 하나씩 가지고 있고
c도 하나씩 가지고 있습니다
그리고 두 식 모두 d를 두 개씩 가지고 있군요
따라서 두 단항식의 최대공약수는
두 식이 공통으로 가지고 있는 부분일 것입니다
공통으로 가지고 있는 부분은 바로
5 × ...
c도 하나씩 있으니 5 × c × ...
d도 두개씩 가지고 있었지요 5 × c × d^2
정리하면
5 cd^2 입니다
따라서 5cd^2을
최대공약수라 할 수 있습니다
우리가 구한 식의 값은
c가 음수인지 양수인지에 따라서
또는 d가 0보다 큰지 작은지에 따라서
값이 달라집니다
이렇게 두 단항식의
최대공약수를 구했습니다
두 식을 모두 나눌 수 있고
가장 많은 인수들을
포함한 식입니다