Tras muchas aventuras
en el país de las maravillas,
Alicia se encuentra una vez más
en la corte de la temperamental
Reina de Corazones.
Está a punto de pasar por el jardín
sin ser descubierta,
cuando escucha al rey
y a la reina discutiendo.
"Es bastante sencillo", dice la reina.
"64 es lo mismo que 65, y eso es así".
Sin pensarlo, Alicia interviene:
"Eso no tiene sentido", comenta.
"Si 64 fuese lo mismo que 65,
entonces sería 65 y no 64".
"¿Qué? ¡Cómo te atreves!"
grita furiosa la reina.
"Te lo demostraré ahora mismo
¡y después te cortarán la cabeza!"
Antes de que pueda protestar,
Alicia es arrastrada hasta un campo
con dos tableros de ajedrez:
uno es un cuadrado de 8x8
y el otro es un rectángulo de 5x13.
Mientras la reina da palmadas,
cuatro soldados de aspecto extraño
se acercan y se tumban uno junto a otro,
cubriendo el primer tablero de ajedrez.
Alicia ve que dos de ellos son trapecios
con lados no diagonales que miden 5x5x3,
mientras que los otros dos son triángulos
con lados no diagonales que miden 8x3.
"¿Ves? Esto es 64".
La reina vuelve a dar palmadas.
Los soldados-carta
se levantan, se reubican
y se tumban sobre
el segundo tablero de ajedrez.
"Y eso es 65".
Alicia queda boquiabierta.
Está segura de que los soldados
no cambiaron de tamaño ni de forma
al moverse de un tablero al otro.
Pero es una certeza matemática
que la reina debe estar haciendo trampa.
¿Puede Alicia usar su cabeza para
resolver el problema antes de perderla?
[Detén el video para resolverlo tú.
Respuesta en 3]
[Respuesta en 2]
[Respuesta en 1]
Aunque las cosas no parecen ir bien,
Alicia recuerda lo que sabe de geometría
y vuelve a mirar el trapecio
y a los soldados-triángulo
que están tumbados uno junto al otro.
Parecen cubrir exactamente
la mitad del rectángulo,
sus bordes forman una línea larga
que va de una esquina a otra.
Si eso es cierto,
las pendientes de sus lados diagonales
deberían ser las mismas.
Pero al calcular estas pendientes
utilizando la fórmula probada
y auténtica "de la pendiente"
sucede algo muy curioso.
El lado diagonal del soldado-trapecio
sube 2 y más de 5,
lo que le otorga una pendiente
de dos quintos o 0,4.
La diagonal del soldado-triángulo,
sin embargo, sube 3 y más de 8,
lo que hace que su pendiente
sea de tres octavos o 0,375.
¡No son iguales en absoluto!
Antes de que los guardias
de la reina puedan detenerla,
Alicia bebe un poco de su poción
reductora para ver más de cerca.
Efectivamente, hay una brecha minúscula
entre los triángulos y los trapecios,
que forma un paralelogramo que se extiende
a lo largo de todo el tablero
y representa el cuadrado que falta.
Hay algo aún más curioso
respecto a estos números:
todos ellos son parte
de la serie de Fibonacci,
en la que cada número
es la suma de los dos anteriores.
Los números de Fibonacci tienen
dos propiedades que se aplican aquí:
la primera, elevar al cuadrado
un número de Fibonacci le da un valor
que es uno más o uno menos
que el resultado de los números
de Fibonacci a cada lado.
En otras palabras, 8 al cuadrado
es uno menos que 5 por 13,
mientras que 5 al cuadrado
es uno más que 3 por 8.
Y la segunda propiedad es que la relación
entre los números sucesivos de Fibonacci
es bastante parecida.
Tan parecida que, de hecho, finalmente
converge en la proporción áurea.
Eso es lo que permite a la astuta reina
construir pendientes que,
engañosamente, parecen ser similares.
De hecho,
la Reina de Corazones podría improvisar
un acertijo parecido
con cuatro números
de Fibonacci consecutivos.
Cuanto más elevados sean,
más parece que lo imposible es real.
Pero según Lewis Carroll, autor
de "Alicia en el país de las maravillas"
y matemático experto
que estudió este mismo acertijo,
no se puede creer en cosas imposibles.