WEBVTT

00:00:00.950 --> 00:00:04.200
Преди да приключим с метода
на неопределените коефициенти,

00:00:04.200 --> 00:00:08.400
искам да ти покажа нещо интересно
и доста полезно.

00:00:08.400 --> 00:00:11.170
Ако ми е дадено следното
нехомогенно

00:00:11.170 --> 00:00:15.170
диференциално уравнение:
втората производна на у

00:00:15.170 --> 00:00:23.220
минус 3 по първата производна,
минус 4у, равно на –

00:00:23.220 --> 00:00:28.650
тук е интересната част –
равно на 3 по е на степен 2х

00:00:28.650 --> 00:00:41.870
плюс 2 по синус от х,
плюс...

00:00:41.870 --> 00:00:43.780
нека са абсолютно същите,
които решихме в предните примери,

00:00:43.780 --> 00:00:49.790
плюс 4 по х на квадрат.

00:00:49.840 --> 00:00:51.640
Може това да ти се стори

00:00:51.640 --> 00:00:53.350
ужасно сложна задача.

00:00:53.350 --> 00:00:56.730
Тук имаме 3 вида функции,
макар и познати вече,

00:00:56.730 --> 00:00:59.180
те ще водят до толкова много
неопределени коефициенти,

00:00:59.180 --> 00:01:01.020
че ще стане трудно
за разплитане.

00:01:01.020 --> 00:01:04.410
На този етап е нужно
да осъзнаеш нещо,

00:01:04.410 --> 00:01:05.110
което ще опрости нещата.

00:01:05.110 --> 00:01:09.400
Вече знаем трите частни решения
на следните диференциални уравнения:

00:01:09.410 --> 00:01:13.870
Знаем решението на...
втората производна

00:01:13.870 --> 00:01:16.750
минус 3 по първата производна,
минус 4у, равно на 0.

00:01:16.750 --> 00:01:18.890
Това е хомогенно
уравнение.

00:01:18.890 --> 00:01:22.000
Знаем неговото решение:

00:01:22.000 --> 00:01:28.865
вече го изведохме няколко пъти,
то е С1 по е на степен 4х,

00:01:28.865 --> 00:01:30.180
плюс С2 по
е на степен минус х.

00:01:30.180 --> 00:01:34.600
С друг цвят ще напиша следващото, 
решено вече, уравнение:

00:01:34.600 --> 00:01:39.820
у секонд минус 3 по у прим,
минус 4 по у, равно

00:01:39.820 --> 00:01:44.310
само на първия израз:
3 по Е на степен 2Х.

00:01:44.310 --> 00:01:50.510
Видяхме, че частното решение
на това уравнение у с индекс р

00:01:50.510 --> 00:01:54.350
е у равно на
минус 1/2 по е на степен 2х.

00:01:54.350 --> 00:01:56.600
Намерихме го по метода
на неопределените коефициенти

00:01:56.600 --> 00:01:58.560
два-три урока по-рано.

00:01:58.560 --> 00:02:03.070
Сега ще запиша тази част
още два пъти.

00:02:03.070 --> 00:02:06.940
Знаем решението също
и на това уравнение:

00:02:06.940 --> 00:02:09.130
частното му решение
намерихме в един

00:02:09.130 --> 00:02:11.160
от предишните уроци,
във втора част.

00:02:11.160 --> 00:02:13.700
Тогава установихме, че
частното решение в този случай,

00:02:13.700 --> 00:02:26.000
а намирането беше доста заплетено,
то е минус 5/17 по х, плюс 3/17...

00:02:26.020 --> 00:02:27.000
Моя грешка, изпуснах нещо.

00:02:27.000 --> 00:02:34.950
Частното решение е
минус 5/17 по синус от х

00:02:34.950 --> 00:02:38.545
плюс 3/17 по косинус от х.

00:02:38.545 --> 00:02:43.800
И остана последната част,
тази с полинома.

00:02:43.800 --> 00:02:49.392
Знаем какво беше решението,
когато отдясно имахме само това.

00:02:49.392 --> 00:02:52.560
Ето това е уравнението,

00:02:52.560 --> 00:02:56.040
Разбрахме, и това стана 
в предишното видео,

00:02:56.040 --> 00:02:58.460
че частното решение

00:02:58.460 --> 00:03:08.240
в този случай е: –х на квадрат, 
плюс 3/2 по х, –13/8.

00:03:08.240 --> 00:03:11.650
И така, знаем частните решения,
когато отдясно имаме

00:03:11.650 --> 00:03:12.240
само нула;

00:03:12.240 --> 00:03:16.230
експоненциалния израз
3 по е на степен 2х;

00:03:16.230 --> 00:03:18.820
тригонометричния
2 по синус от х;

00:03:18.820 --> 00:03:22.700
и когато отдясно е полиномът
4 х на квадрат.

00:03:22.790 --> 00:03:24.650
Най напред да видим,
че за частното решение

00:03:24.650 --> 00:03:28.540
на нашето нехомогенно уравнение
можем да вземем сбора

00:03:28.540 --> 00:03:30.330
от трите частни решения.

00:03:30.330 --> 00:03:31.800
Това е логично, нали?

00:03:31.800 --> 00:03:34.235
Защото, когато заместиш
лявата страна

00:03:34.235 --> 00:03:35.710
с едно от тези 
частни решения,

00:03:35.710 --> 00:03:37.480
тя ще е равна на един 
от изразите отдясно.

00:03:37.480 --> 00:03:39.640
Ако сложиш отляво
частното решение в зелено,

00:03:39.640 --> 00:03:41.230
то ще е равно на този член,
2 по синус х.

00:03:41.230 --> 00:03:43.760
И накрая, за това 
частно решение

00:03:43.760 --> 00:03:46.670
ще получиш 
4 по х на квадрат.

00:03:46.670 --> 00:03:50.250
Можем накрая да добавим
и решението на хомогенното уравнение.

00:03:50.250 --> 00:03:53.020
Като го сложим от тази страна,
отдясно ще получим 0.

00:03:53.020 --> 00:03:55.160
То няма да промени стойността
отдясно.

00:03:55.160 --> 00:03:57.900
И така ще получим възможно
най-общото решение,

00:03:57.900 --> 00:04:00.260
тъй като то съдържа
тези две константи,

00:04:00.260 --> 00:04:02.180
които да намерим
според началните условия.

00:04:02.180 --> 00:04:09.840
И така, решението на това наглед сложно
диференциално уравнение

00:04:09.840 --> 00:04:13.980
е просто сборът от тези
четири решения.

00:04:13.980 --> 00:04:17.209
Ще разчистя малко място,

00:04:17.209 --> 00:04:20.410
за да може да се вижда 
всичко едновременно.

00:04:20.410 --> 00:04:30.680
Оставям само намерените 
решения за справка.

00:04:30.680 --> 00:04:33.210
Ще използвам 
светлосин цвят.

00:04:33.210 --> 00:04:39.400
Решението на хомогенното уравнение:
С1 по е на степен 4х,

00:04:39.400 --> 00:04:47.580
плюс С2 по е на степен –х,
после добавям -1/2 по е на степен 2х,

00:04:47.580 --> 00:04:49.220
ще продължа на нов ред 
със зеленото,

00:04:49.220 --> 00:04:59.480
минус 5/17 синус х 
плюс 3/17 косинус х,

00:04:59.480 --> 00:05:08.030
накрая минус х на квадрат,
плюс 3/2 по х, минус 13/8.

00:05:08.030 --> 00:05:09.140
Това изглежда страшно.

00:05:09.140 --> 00:05:11.170
Вероятно така ти се е сторило
на пръв поглед.

00:05:11.170 --> 00:05:13.030
Ако в началото ти бях казал,
че това е решението

00:05:13.030 --> 00:05:15.400
и не ти беше известен методът
на неопределените коефициенти,

00:05:15.400 --> 00:05:16.740
можеше да си помислиш,
че никога няма да успееш

00:05:16.740 --> 00:05:17.690
да стигнеш до такова решение.

00:05:17.690 --> 00:05:20.930
Но важното е да осъзнаеш,
че просто трябва да намериш

00:05:20.930 --> 00:05:24.420
частните решения
за всеки от тези членове

00:05:24.420 --> 00:05:25.170
и да ги събереш.

00:05:25.170 --> 00:05:27.170
След това да добавиш
общото решение

00:05:27.170 --> 00:05:29.255
на хомогенното уравнение,
това е, когато отдясно

00:05:29.255 --> 00:05:30.130
има нула.

00:05:30.130 --> 00:05:35.410
Тогава ще имаш общото решение
на това доста заплашително изглеждащо

00:05:35.410 --> 00:05:42.860
линейно нехомогенно
диференциално уравнение

00:05:42.860 --> 00:05:46.940
от втори ред
с постоянни коефициенти.

00:05:46.940 --> 00:05:49.610
Ще се видим в следващия урок,
където ще се запознаем

00:05:49.610 --> 00:05:53.460
с още един метод за решаване
на нехомогенни уравнения.