Преди да приключим с метода на неопределените коефициенти,
искам да ти покажа нещо интересно и доста полезно.
Ако ми е дадено следното нехомогенно
диференциално уравнение: втората производна на у
минус 3 по първата производна, минус 4у, равно на –
тук е интересната част – равно на 3 по е на степен 2х
плюс 2 по синус от х, плюс...
нека са абсолютно същите, които решихме в предните примери,
плюс 4 по х на квадрат.
Може това да ти се стори
ужасно сложна задача.
Тук имаме 3 вида функции, макар и познати вече,
те ще водят до толкова много неопределени коефициенти,
че ще стане трудно за разплитане.
На този етап е нужно да осъзнаеш нещо,
което ще опрости нещата.
Вече знаем трите частни решения на следните диференциални уравнения:
Знаем решението на... втората производна
минус 3 по първата производна, минус 4у, равно на 0.
Това е хомогенно уравнение.
Знаем неговото решение:
вече го изведохме няколко пъти, то е С1 по е на степен 4х,
плюс С2 по е на степен минус х.
С друг цвят ще напиша следващото, решено вече, уравнение:
у секонд минус 3 по у прим, минус 4 по у, равно
само на първия израз: 3 по Е на степен 2Х.
Видяхме, че частното решение на това уравнение у с индекс р
е у равно на минус 1/2 по е на степен 2х.
Намерихме го по метода на неопределените коефициенти
два-три урока по-рано.
Сега ще запиша тази част още два пъти.
Знаем решението също и на това уравнение:
частното му решение намерихме в един
от предишните уроци, във втора част.
Тогава установихме, че частното решение в този случай,
а намирането беше доста заплетено, то е минус 5/17 по х, плюс 3/17...
Моя грешка, изпуснах нещо.
Частното решение е минус 5/17 по синус от х
плюс 3/17 по косинус от х.
И остана последната част, тази с полинома.
Знаем какво беше решението, когато отдясно имахме само това.
Ето това е уравнението,
Разбрахме, и това стана в предишното видео,
че частното решение
в този случай е: –х на квадрат, плюс 3/2 по х, –13/8.
И така, знаем частните решения, когато отдясно имаме
само нула;
експоненциалния израз 3 по е на степен 2х;
тригонометричния 2 по синус от х;
и когато отдясно е полиномът 4 х на квадрат.
Най напред да видим, че за частното решение
на нашето нехомогенно уравнение можем да вземем сбора
от трите частни решения.
Това е логично, нали?
Защото, когато заместиш лявата страна
с едно от тези частни решения,
тя ще е равна на един от изразите отдясно.
Ако сложиш отляво частното решение в зелено,
то ще е равно на този член, 2 по синус х.
И накрая, за това частно решение
ще получиш 4 по х на квадрат.
Можем накрая да добавим и решението на хомогенното уравнение.
Като го сложим от тази страна, отдясно ще получим 0.
То няма да промени стойността отдясно.
И така ще получим възможно най-общото решение,
тъй като то съдържа тези две константи,
които да намерим според началните условия.
И така, решението на това наглед сложно диференциално уравнение
е просто сборът от тези четири решения.
Ще разчистя малко място,
за да може да се вижда всичко едновременно.
Оставям само намерените решения за справка.
Ще използвам светлосин цвят.
Решението на хомогенното уравнение: С1 по е на степен 4х,
плюс С2 по е на степен –х, после добавям -1/2 по е на степен 2х,
ще продължа на нов ред със зеленото,
минус 5/17 синус х плюс 3/17 косинус х,
накрая минус х на квадрат, плюс 3/2 по х, минус 13/8.
Това изглежда страшно.
Вероятно така ти се е сторило на пръв поглед.
Ако в началото ти бях казал, че това е решението
и не ти беше известен методът на неопределените коефициенти,
можеше да си помислиш, че никога няма да успееш
да стигнеш до такова решение.
Но важното е да осъзнаеш, че просто трябва да намериш
частните решения за всеки от тези членове
и да ги събереш.
След това да добавиш общото решение
на хомогенното уравнение, това е, когато отдясно
има нула.
Тогава ще имаш общото решение на това доста заплашително изглеждащо
линейно нехомогенно диференциално уравнение
от втори ред с постоянни коефициенти.
Ще се видим в следващия урок, където ще се запознаем
с още един метод за решаване на нехомогенни уравнения.