WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:05.540
我们知道这里的四边形是平行四边形

00:00:05.540 --> 00:00:08.750
我想在这个视频中讨论一种求平行四边形面积

00:00:08.750 --> 00:00:10.960
的普遍方法

00:00:10.980 --> 00:00:13.660
在上一个视频中我们谈到了求菱形面积

00:00:13.660 --> 00:00:15.940
的特殊方法

00:00:15.970 --> 00:00:17.680
你可以算它对角线的乘积的一半

00:00:17.700 --> 00:00:19.260
菱形是平行四边形

00:00:19.310 --> 00:00:24.000
但你不能求任意平行四边形面积时都算它的

00:00:24.000 --> 00:00:26.190
对角线乘积的一半 这只能在它是菱形时才成立

00:00:26.230 --> 00:00:27.900
现在我们说说平行四边形

00:00:27.910 --> 00:00:30.630
我们知道些什么关于平行四边形的事呢

00:00:30.630 --> 00:00:32.580
我们知道它的对边平行

00:00:32.630 --> 00:00:35.410
这条边平行于那条边

00:00:35.450 --> 00:00:37.210
同时这一条边平行于另一条边

00:00:37.210 --> 00:00:40.230
而且我们也知道它的对边是全等的

00:00:40.260 --> 00:00:42.260
这条边等于这条边

00:00:42.280 --> 00:00:46.350
同时这条边等于那条边

00:00:46.350 --> 00:00:48.630
现在如果画一条对角线

00:00:48.670 --> 00:00:51.550
我画了一条对角线AC

00:00:51.570 --> 00:00:56.020
我们可以把平行四边形分成两个三角形

00:00:56.080 --> 00:00:57.710
我们证明了许多次

00:00:57.750 --> 00:00:59.420
这两个三角形是全等的

00:00:59.470 --> 00:01:02.110
我可以非常直接地证明它

00:01:02.140 --> 00:01:06.380
我们看看 显然AD等于BC

00:01:06.450 --> 00:01:09.950
我们知道DC等于AB

00:01:09.990 --> 00:01:12.880
而且两个三角形共用第三条边

00:01:12.920 --> 00:01:16.140
它们共用边AC

00:01:16.140 --> 00:01:17.800
我们可以说三角形

00:01:17.830 --> 00:01:19.800
我用黄色来写

00:01:19.810 --> 00:01:22.280
我们说三角形ADC

00:01:22.310 --> 00:01:25.830
ADC全等于三角形

00:01:25.870 --> 00:01:26.930
我要证明这个

00:01:27.020 --> 00:01:28.990
它和三角形全等

00:01:29.020 --> 00:01:31.570
我说的是ADC

00:01:31.570 --> 00:01:35.150
先来看看两笔洋红色记号

00:01:35.150 --> 00:01:40.520
然后看粉红 接着看最后一个

00:01:40.520 --> 00:01:43.750
我要说说CBA

00:01:43.800 --> 00:01:47.020
我先说洋红色再是粉红接着最后一个

00:01:47.020 --> 00:01:54.970
CBA 三角形CBA 这是用边相等证明全等

00:01:54.970 --> 00:01:57.570
所有三条边 它们每一个都有

00:01:57.570 --> 00:01:58.780
和它们对应相等的边

00:01:58.820 --> 00:02:00.360
所以两个三角形全等

00:02:00.380 --> 00:02:03.710
这样我们就知道了两个三角形的面积

00:02:03.710 --> 00:02:05.130
是相等的

00:02:05.130 --> 00:02:06.870
如果我想求面积

00:02:06.890 --> 00:02:12.380
ABCD的面积 这整个平行四边形

00:02:12.400 --> 00:02:13.570
它等于三角形的面积

00:02:13.570 --> 00:02:15.250
我把它写在这里

00:02:15.290 --> 00:02:22.110
它等于ADC的加上CBA的面积

00:02:22.110 --> 00:02:26.230
而CBA的面积等于ADC的面积

00:02:26.260 --> 00:02:29.850
因为它们因边相等而且全等

00:02:29.850 --> 00:02:34.570
于是平行四边形的面积是三角形ADC的两倍

00:02:34.570 --> 00:02:36.670
这对我们来说很方便

00:02:36.670 --> 00:02:39.490
因为我们知道怎么求三角形的面积

00:02:39.490 --> 00:02:43.760
三角形的面积就是1/2乘以底乘以高

00:02:43.760 --> 00:02:48.680
就是1/2乘以这个三角形的底乘以高

00:02:48.680 --> 00:02:51.880
我们已知ADC的底

00:02:51.880 --> 00:02:55.150
就是这条边长 就是DC

00:02:55.180 --> 00:02:57.860
你可以把它看成整个平行四边形的底

00:02:57.900 --> 00:02:59.790
如果你想找出高

00:02:59.840 --> 00:03:04.930
我们可以像这样画出高线 这是垂直的

00:03:04.960 --> 00:03:08.070
我们可以叫它高线

00:03:08.130 --> 00:03:09.940
如果你想求总面积

00:03:09.940 --> 00:03:13.630
如果你想求ABCD的总面积

00:03:13.630 --> 00:03:18.030
它等于2乘以1/2乘以底乘以高

00:03:18.030 --> 00:03:20.520
是的 2乘以1/2是1

00:03:20.540 --> 00:03:22.920
只剩下了底乘以高

00:03:22.920 --> 00:03:24.680
我们把它叫做B

00:03:24.720 --> 00:03:29.090
就是B乘以高

00:03:29.110 --> 00:03:30.750
底乘以高

00:03:30.800 --> 00:03:32.270
这是个简洁的结果

00:03:32.270 --> 00:03:34.700
你可能已经猜到了这就是答案

00:03:34.760 --> 00:03:36.740
但是如果你想算出平行四边形面积

00:03:36.740 --> 00:03:39.020
如果你能找到高线

00:03:39.040 --> 00:03:40.740
精确地说 你取任意一条底

00:03:40.790 --> 00:03:42.980
因为两条底边是对边

00:03:42.980 --> 00:03:44.710
对边相等

00:03:44.760 --> 00:03:47.470
所以可以取两条边中任意一条边 乘以高

00:03:47.530 --> 00:03:48.930
这是你可以求面积的一种方法

00:03:48.960 --> 00:03:52.000
你可能已经知道了 解决这个问题的另外一种方法

00:03:52.020 --> 00:03:53.060
你可能已经乘过了

00:03:53.080 --> 00:03:54.870
我把平行四边形转一下

00:03:54.870 --> 00:03:56.140
它看起来像这样

00:03:56.210 --> 00:04:01.720
它看起来像这样 如果我像这样旋转它

00:04:01.740 --> 00:04:05.330
如果我像这样旋转它 然后从这边看

00:04:05.330 --> 00:04:07.730
这是点 让我标一下点

00:04:07.770 --> 00:04:09.760
这是A点

00:04:09.760 --> 00:04:12.140
等等 让我确认我准确无误

00:04:12.140 --> 00:04:13.880
这是A点 这是D点

00:04:13.920 --> 00:04:17.730
这是C点 这是B点

00:04:17.770 --> 00:04:19.280
你也可以这么做

00:04:19.310 --> 00:04:22.090
你可以说这是1 而不是1/2 那是三角形面积

00:04:22.120 --> 00:04:24.420
它的面积是底乘以高

00:04:24.460 --> 00:04:28.580
你可以说面积是H乘DC 你可以说

00:04:28.610 --> 00:04:35.130
它等于H乘以DC 乘以DC

00:04:35.160 --> 00:04:37.600
这是一种解决方法 就是这条底乘以这条高

00:04:37.600 --> 00:04:41.810
或者你可以说 它等于AD乘以

00:04:41.850 --> 00:04:45.580
它等于AD乘以

00:04:45.610 --> 00:04:49.790
我要把这边这条高称作

00:04:49.840 --> 00:04:53.550
我要把这条高称做2乘H2

00:04:53.550 --> 00:04:56.530
也许我可以叫它 H1 H1 H2

00:04:56.580 --> 00:04:59.270
你可以用这个底乘以这个高

00:04:59.310 --> 00:05:06.380
或者你可以用这个底乘以这边的这个高

00:05:06.420 --> 00:05:07.530
这是H2

00:05:07.560 --> 00:05:08.420
两种方法都可以

00:05:08.460 --> 00:05:10.380
如果有人给你一个平行四边形

00:05:10.400 --> 00:05:15.310
只是说明一下 显然你不得不

00:05:15.310 --> 00:05:15.970
你不得不找出高

00:05:15.970 --> 00:05:18.430
如果有人给你一个这样的平行四边形

00:05:18.450 --> 00:05:19.840
他们告诉你这是一个平行四边形

00:05:19.890 --> 00:05:23.230
如果他们告诉你这条边长是5

00:05:23.270 --> 00:05:27.910
如果他们告诉你这个距离是6

00:05:27.960 --> 00:05:31.390
那么这个平行四边形的面积就是5乘以6

00:05:31.390 --> 00:05:33.470
或者高线在平行四边形的外面

00:05:33.470 --> 00:05:35.240
我把它画在这里也可以

00:05:35.240 --> 00:05:36.530
它的长度是6

00:05:36.570 --> 00:05:38.650
那么这个平行四边形的面积

00:05:38.720 --> 00:05:40.630
是30