1
00:00:00,000 --> 00:00:05,540
我们知道这里的四边形是平行四边形

2
00:00:05,540 --> 00:00:08,750
我想在这个视频中讨论一种求平行四边形面积

3
00:00:08,750 --> 00:00:10,960
的普遍方法

4
00:00:10,980 --> 00:00:13,660
在上一个视频中我们谈到了求菱形面积

5
00:00:13,660 --> 00:00:15,940
的特殊方法

6
00:00:15,970 --> 00:00:17,680
你可以算它对角线的乘积的一半

7
00:00:17,700 --> 00:00:19,260
菱形是平行四边形

8
00:00:19,310 --> 00:00:24,000
但你不能求任意平行四边形面积时都算它的

9
00:00:24,000 --> 00:00:26,190
对角线乘积的一半 这只能在它是菱形时才成立

10
00:00:26,230 --> 00:00:27,900
现在我们说说平行四边形

11
00:00:27,910 --> 00:00:30,630
我们知道些什么关于平行四边形的事呢

12
00:00:30,630 --> 00:00:32,580
我们知道它的对边平行

13
00:00:32,630 --> 00:00:35,410
这条边平行于那条边

14
00:00:35,450 --> 00:00:37,210
同时这一条边平行于另一条边

15
00:00:37,210 --> 00:00:40,230
而且我们也知道它的对边是全等的

16
00:00:40,260 --> 00:00:42,260
这条边等于这条边

17
00:00:42,280 --> 00:00:46,350
同时这条边等于那条边

18
00:00:46,350 --> 00:00:48,630
现在如果画一条对角线

19
00:00:48,670 --> 00:00:51,550
我画了一条对角线AC

20
00:00:51,570 --> 00:00:56,020
我们可以把平行四边形分成两个三角形

21
00:00:56,080 --> 00:00:57,710
我们证明了许多次

22
00:00:57,750 --> 00:00:59,420
这两个三角形是全等的

23
00:00:59,470 --> 00:01:02,110
我可以非常直接地证明它

24
00:01:02,140 --> 00:01:06,380
我们看看 显然AD等于BC

25
00:01:06,450 --> 00:01:09,950
我们知道DC等于AB

26
00:01:09,990 --> 00:01:12,880
而且两个三角形共用第三条边

27
00:01:12,920 --> 00:01:16,140
它们共用边AC

28
00:01:16,140 --> 00:01:17,800
我们可以说三角形

29
00:01:17,830 --> 00:01:19,800
我用黄色来写

30
00:01:19,810 --> 00:01:22,280
我们说三角形ADC

31
00:01:22,310 --> 00:01:25,830
ADC全等于三角形

32
00:01:25,870 --> 00:01:26,930
我要证明这个

33
00:01:27,020 --> 00:01:28,990
它和三角形全等

34
00:01:29,020 --> 00:01:31,570
我说的是ADC

35
00:01:31,570 --> 00:01:35,150
先来看看两笔洋红色记号

36
00:01:35,150 --> 00:01:40,520
然后看粉红 接着看最后一个

37
00:01:40,520 --> 00:01:43,750
我要说说CBA

38
00:01:43,800 --> 00:01:47,020
我先说洋红色再是粉红接着最后一个

39
00:01:47,020 --> 00:01:54,970
CBA 三角形CBA 这是用边相等证明全等

40
00:01:54,970 --> 00:01:57,570
所有三条边 它们每一个都有

41
00:01:57,570 --> 00:01:58,780
和它们对应相等的边

42
00:01:58,820 --> 00:02:00,360
所以两个三角形全等

43
00:02:00,380 --> 00:02:03,710
这样我们就知道了两个三角形的面积

44
00:02:03,710 --> 00:02:05,130
是相等的

45
00:02:05,130 --> 00:02:06,870
如果我想求面积

46
00:02:06,890 --> 00:02:12,380
ABCD的面积 这整个平行四边形

47
00:02:12,400 --> 00:02:13,570
它等于三角形的面积

48
00:02:13,570 --> 00:02:15,250
我把它写在这里

49
00:02:15,290 --> 00:02:22,110
它等于ADC的加上CBA的面积

50
00:02:22,110 --> 00:02:26,230
而CBA的面积等于ADC的面积

51
00:02:26,260 --> 00:02:29,850
因为它们因边相等而且全等

52
00:02:29,850 --> 00:02:34,570
于是平行四边形的面积是三角形ADC的两倍

53
00:02:34,570 --> 00:02:36,670
这对我们来说很方便

54
00:02:36,670 --> 00:02:39,490
因为我们知道怎么求三角形的面积

55
00:02:39,490 --> 00:02:43,760
三角形的面积就是1/2乘以底乘以高

56
00:02:43,760 --> 00:02:48,680
就是1/2乘以这个三角形的底乘以高

57
00:02:48,680 --> 00:02:51,880
我们已知ADC的底

58
00:02:51,880 --> 00:02:55,150
就是这条边长 就是DC

59
00:02:55,180 --> 00:02:57,860
你可以把它看成整个平行四边形的底

60
00:02:57,900 --> 00:02:59,790
如果你想找出高

61
00:02:59,840 --> 00:03:04,930
我们可以像这样画出高线 这是垂直的

62
00:03:04,960 --> 00:03:08,070
我们可以叫它高线

63
00:03:08,130 --> 00:03:09,940
如果你想求总面积

64
00:03:09,940 --> 00:03:13,630
如果你想求ABCD的总面积

65
00:03:13,630 --> 00:03:18,030
它等于2乘以1/2乘以底乘以高

66
00:03:18,030 --> 00:03:20,520
是的 2乘以1/2是1

67
00:03:20,540 --> 00:03:22,920
只剩下了底乘以高

68
00:03:22,920 --> 00:03:24,680
我们把它叫做B

69
00:03:24,720 --> 00:03:29,090
就是B乘以高

70
00:03:29,110 --> 00:03:30,750
底乘以高

71
00:03:30,800 --> 00:03:32,270
这是个简洁的结果

72
00:03:32,270 --> 00:03:34,700
你可能已经猜到了这就是答案

73
00:03:34,760 --> 00:03:36,740
但是如果你想算出平行四边形面积

74
00:03:36,740 --> 00:03:39,020
如果你能找到高线

75
00:03:39,040 --> 00:03:40,740
精确地说 你取任意一条底

76
00:03:40,790 --> 00:03:42,980
因为两条底边是对边

77
00:03:42,980 --> 00:03:44,710
对边相等

78
00:03:44,760 --> 00:03:47,470
所以可以取两条边中任意一条边 乘以高

79
00:03:47,530 --> 00:03:48,930
这是你可以求面积的一种方法

80
00:03:48,960 --> 00:03:52,000
你可能已经知道了 解决这个问题的另外一种方法

81
00:03:52,020 --> 00:03:53,060
你可能已经乘过了

82
00:03:53,080 --> 00:03:54,870
我把平行四边形转一下

83
00:03:54,870 --> 00:03:56,140
它看起来像这样

84
00:03:56,210 --> 00:04:01,720
它看起来像这样 如果我像这样旋转它

85
00:04:01,740 --> 00:04:05,330
如果我像这样旋转它 然后从这边看

86
00:04:05,330 --> 00:04:07,730
这是点 让我标一下点

87
00:04:07,770 --> 00:04:09,760
这是A点

88
00:04:09,760 --> 00:04:12,140
等等 让我确认我准确无误

89
00:04:12,140 --> 00:04:13,880
这是A点 这是D点

90
00:04:13,920 --> 00:04:17,730
这是C点 这是B点

91
00:04:17,770 --> 00:04:19,280
你也可以这么做

92
00:04:19,310 --> 00:04:22,090
你可以说这是1 而不是1/2 那是三角形面积

93
00:04:22,120 --> 00:04:24,420
它的面积是底乘以高

94
00:04:24,460 --> 00:04:28,580
你可以说面积是H乘DC 你可以说

95
00:04:28,610 --> 00:04:35,130
它等于H乘以DC 乘以DC

96
00:04:35,160 --> 00:04:37,600
这是一种解决方法 就是这条底乘以这条高

97
00:04:37,600 --> 00:04:41,810
或者你可以说 它等于AD乘以

98
00:04:41,850 --> 00:04:45,580
它等于AD乘以

99
00:04:45,610 --> 00:04:49,790
我要把这边这条高称作

100
00:04:49,840 --> 00:04:53,550
我要把这条高称做2乘H2

101
00:04:53,550 --> 00:04:56,530
也许我可以叫它 H1 H1 H2

102
00:04:56,580 --> 00:04:59,270
你可以用这个底乘以这个高

103
00:04:59,310 --> 00:05:06,380
或者你可以用这个底乘以这边的这个高

104
00:05:06,420 --> 00:05:07,530
这是H2

105
00:05:07,560 --> 00:05:08,420
两种方法都可以

106
00:05:08,460 --> 00:05:10,380
如果有人给你一个平行四边形

107
00:05:10,400 --> 00:05:15,310
只是说明一下 显然你不得不

108
00:05:15,310 --> 00:05:15,970
你不得不找出高

109
00:05:15,970 --> 00:05:18,430
如果有人给你一个这样的平行四边形

110
00:05:18,450 --> 00:05:19,840
他们告诉你这是一个平行四边形

111
00:05:19,890 --> 00:05:23,230
如果他们告诉你这条边长是5

112
00:05:23,270 --> 00:05:27,910
如果他们告诉你这个距离是6

113
00:05:27,960 --> 00:05:31,390
那么这个平行四边形的面积就是5乘以6

114
00:05:31,390 --> 00:05:33,470
或者高线在平行四边形的外面

115
00:05:33,470 --> 00:05:35,240
我把它画在这里也可以

116
00:05:35,240 --> 00:05:36,530
它的长度是6

117
00:05:36,570 --> 00:05:38,650
那么这个平行四边形的面积

118
00:05:38,720 --> 00:05:40,630
是30