Mình có hàm số ở đây
mà gọi là chuỗi vô hạn.
Điều mình muốn làm trong video này
là xem mình có thể biểu thị nó theo cách thông thường được không.
Và bạn có thể nghĩ rằng
đây là một chuỗi cấp số nhân,
mình biết cách lấy tổng của một chuỗi cấp số nhân vô hạn,
ít nhất là trên những giá trị x khi mà mọi thứ
hội tụ.
Vậy để xem đây có phải là chuỗi cấp số nhân hay không.
Dạng của chuỗi cấp số nhân là
khi đi từ một biến sang biến tiếp,
bạn nhân nó bởi một công bội.
.
Để đi từ 2 đến âm 8x mũ 2,
bạn phải nhân với cái gì?
Bạn phải nhân với âm 4x mũ 2.
Vậy mình nhân với âm 4x mũ 2.
Vậy mình có thể nhân với số lượng như thế
để đến 32x mũ 4 hay không?
Có chứ
Âm 4x mũ 2 nhân âm 8x mũ 2
bằng dương 32x mũ 4.
Nhân với âm 4x mũ 2 một lần nữa
Bạn sẽ có âm 128x mũ 6.
Vậy công bội là âm 4x
mũ 2, biến thứ nhất là 2, nên mình có thể viết lại.
Mình có thể viết lại f(x) là bằng tổng từ n
bằng 0 đến vô hạn của--để xem,
biến thứ nhất là 2, 2 nhân âm 4x
mũ 2 tất cả mũ n.
Đây là chuỗi cấp số nhân khi mà công bội của mình
là âm 4x mũ 2 tất cả mũ n.
Bây giờ, khi nào cái này hội tụ?
Mình biết rằng chuỗi cấp số nhân
sẽ hội tụ nếu giá trị tuyệt đối của công bội của nó
ít hơn 1.
Để mình viết xuống đây.
Vậy nó sẽ hội tụ nếu giá trị tuyệt đối của công bội
âm 4x mũ 2, ít hơn 1.
Cách mà nó được viết bây giờ
sẽ là số âm.
Vậy giá trị tuyệt đối của cái này chỉ là 4x mũ 2.
.
X mũ 2 sẽ bằng số dương
vậy 4x mũ 2 sẽ bằng số dương.
Âm 4x mũ 2 sẽ bằng số âm.
Vậy nếu bạn lấy giá trị tuyệt đối của số không dương,
thì nó sẽ tương tự như giá trị tuyệt đối
của số âm.
Vậy đây chỉ cần nhỏ hơn 1.
Và giá trị tuyệt đối của cái
mà không âm như thế này,
nó sẽ bằng 4x mũ 2--
2 cái này bằng nhau--
và phải nhỏ hơn 1.
Chia 2 vế cho 4, bạn có x mũ 2 nhỏ hơn 1/4.
Mình có thể nói là giá trị tuyệt đối của x
phải nhỏ hơn 1/4, hoặc có thể nói là âm 1/4
phải nhỏ hơn x, mà phải nhỏ hơn dương 1/4.
Nếu biểu thị như này, mình có
khoảng hội tụ.
Cái này sẽ hội tụ miễn là x trong khoảng này.
Biểu thị như này, mình biết
bán kính hội tụ.
Cái này sẽ hội tụ miễn là x
nhỏ hơn bán kính hội tụ,
miễn là giá trị tuyệt đối x
nhỏ hơn bán kính hội tụ,
miễn là khoảng cách từ x đến 0 nhỏ hơn 1/4.
Để cho rõ ràng hơn, bạn
có thể viết lại cái này thành khoảng cách giữa x và 0,
bạn có thể xem nó là
khoảng cách giữa x và 0--
miễn là nó nhỏ hơn 1/4,
cái này sẽ hội tụ.
Vậy khoảng hội tụ,
bạn có thể xem nó là
bán kính hội tụ.
Mình đã
xét xem nó hội tụ ở đâu rồi,
hãy nghĩ xem nó hội tụ thành cái gì.
Mình đã làm cái này nhiều lần rồi.
Đây sẽ là biến thứ nhất, 2/1
trừ công bội.
Công bội của mình là âm 4x mũ 2.
Và nó sẽ cho mình
2/1 cộng 4x mũ 2.
Vậy biểu thức này sẽ bằng cái này,
miễn là x nằm trong khoảng hội tụ.