1
00:00:00,480 --> 00:00:04,880
Дадена ни е тази функция,
дефинирана като безкраен ред.

2
00:00:05,060 --> 00:00:06,820
В това видео ще се опитаме

3
00:00:06,820 --> 00:00:10,439
да установим дали можем да
я изразим в по-традиционен вид.

4
00:00:10,439 --> 00:00:12,230
Това, което може би ти хрумва,

5
00:00:12,230 --> 00:00:15,130
е, че това е геометричен ред,

6
00:00:15,130 --> 00:00:18,620
знаем как да намерим сумата
на безкрайна геометрична прогресия,

7
00:00:18,620 --> 00:00:22,580
поне за стойностите на х,
за които тя реално е сходяща.

8
00:00:22,700 --> 00:00:26,080
Първо да проверим дали
това е геометрична прогресия.

9
00:00:26,080 --> 00:00:29,252
Основният признак за
геометрична прогресия е,

10
00:00:29,252 --> 00:00:30,960
че когато отиваме от един член
към следващия след него,

11
00:00:30,960 --> 00:00:33,159
умножаваме по частното.

12
00:00:33,159 --> 00:00:33,700
Да видим.

13
00:00:33,700 --> 00:00:36,300
За да отидем от 2 до –8х^2,

14
00:00:36,300 --> 00:00:37,900
по колко трябва да умножим?

15
00:00:37,900 --> 00:00:42,890
Трябва да умножим по –4х^2.

16
00:00:42,890 --> 00:00:45,910
Значи умножаваме по –4х^2.

17
00:00:45,910 --> 00:00:47,890
След това по същото ли
умножаваме,

18
00:00:47,890 --> 00:00:49,630
за да получим 32х^4?

19
00:00:49,630 --> 00:00:50,580
Да, определено.

20
00:00:50,580 --> 00:00:52,950
–4х^2 по –8х^2

21
00:00:52,950 --> 00:00:55,570
дава +32х^4.

22
00:00:55,570 --> 00:00:57,670
Отново умножаваме по –4х^2,

23
00:00:57,670 --> 00:01:00,650
и получаваме –128х^6.

24
00:01:00,650 --> 00:01:02,350
Частното отново е –4х^2,

25
00:01:02,350 --> 00:01:06,720
първият член е 2, така че
можем да преработим това.

26
00:01:06,720 --> 00:01:12,690
Можем да представим f(х)
да е равно на сумата

27
00:01:12,690 --> 00:01:16,650
за n от 0 до безкрайност...
да видим,

28
00:01:16,650 --> 00:01:29,240
първият член е 2,
2 по (–4х^2)^n.

29
00:01:29,620 --> 00:01:33,420
Това е сума на геометрична прогресия,
за която частното

30
00:01:33,420 --> 00:01:35,630
е равно на –4х^2 на степен n.

31
00:01:35,630 --> 00:01:39,350
Кога това ще бъде сходящо?

32
00:01:39,350 --> 00:01:41,640
Знаем, че една безкрайна 
геометрична прогресия

33
00:01:41,640 --> 00:01:46,020
е сходяща, когато абсолютната 
стойност на частното

34
00:01:46,020 --> 00:01:48,760
е по-малка от 1.

35
00:01:48,760 --> 00:01:50,470
Ще го запиша.

36
00:01:50,470 --> 00:01:57,730
Сходяща е, когато абсолютната
стойност на частното,

37
00:01:57,730 --> 00:02:00,875
на –4х^2 е по-малка от 1.

38
00:02:00,875 --> 00:02:02,750
Това, по начина, по
който го записах сега,

39
00:02:02,750 --> 00:02:04,940
това ще бъде 
отрицателна стойност.

40
00:02:04,940 --> 00:02:11,920
Абсолютната стойност на това
ще бъде просто 4х^2

41
00:02:11,920 --> 00:02:14,400
Нали?

42
00:02:14,420 --> 00:02:20,600
х на квадрат е неотрицателно,

43
00:02:20,600 --> 00:02:22,890
така че 4х^2 е също
неотрицателно.

44
00:02:22,890 --> 00:02:26,570
–4х^2 е неположително.

45
00:02:26,570 --> 00:02:29,960
Ако вземем абсолютната
стойност на нещо неположително,

46
00:02:29,960 --> 00:02:34,920
то е равно на абсолютната
стойност на същото със знак минус.

47
00:02:35,200 --> 00:02:38,200
Значи това ще бъде по-малко от 1.

48
00:02:38,202 --> 00:02:39,660
Абсолютната стойност на нещо,

49
00:02:39,660 --> 00:02:41,700
което е стриктно 
неотрицателно като това,

50
00:02:41,700 --> 00:02:44,550
това ще бъде 4х^2...

51
00:02:44,550 --> 00:02:46,350
тези две твърдения са
еквивалентни,

52
00:02:46,350 --> 00:02:49,290
и това трябва да е
по-малко от 1.

53
00:02:49,290 --> 00:02:55,060
Можем да разделим двете страни
на 4, получаваме х^2 е по-малко от 1/4.

54
00:02:55,060 --> 00:03:00,790
Така можем да кажем, че
абсолютната стойност на х

55
00:03:00,790 --> 00:03:07,720
трябва да е по-малко от 1/4,
или можем да кажем, че –1/4

56
00:03:07,720 --> 00:03:12,460
трябва да е по-малко от х, което
трябва да е по-малко от +1/4.
(Сал допуска грешка, по-малко е от 
корен квадратен от 1/4, т.е. от 1/2).

57
00:03:12,460 --> 00:03:16,040
Изразено по този начин,
получаваме интервал на сходимост.

58
00:03:16,140 --> 00:03:18,920
Това нещо е сходящо, когато
х принадлежи на този интервал.

59
00:03:18,920 --> 00:03:20,770
Изразено по този начин,
всъщност ние даваме

60
00:03:20,770 --> 00:03:22,110
радиуса на сходимост.

61
00:03:22,110 --> 00:03:27,460
Ще бъде сходящо, когато х
е по-малко от радиуса на сходимост,

62
00:03:27,740 --> 00:03:34,240
когато абсолютната стойност
на х е по-малка от радиуса на сходимост,

63
00:03:34,480 --> 00:03:38,620
когато х е отдалечено от нула
с по-малко от 1/4.

64
00:03:38,621 --> 00:03:40,120
За да стане малко по-ясно,

65
00:03:40,120 --> 00:03:43,160
можеш да го преработиш като
разстоянието между х и 0,

66
00:03:43,160 --> 00:03:44,910
когато... можеш да 
го разглеждаш като

67
00:03:44,910 --> 00:03:46,380
отдалечеността на х от нула...

68
00:03:46,380 --> 00:03:48,820
когато тя е по-малко от 1/4,

69
00:03:48,820 --> 00:03:50,400
това е сходящо.

70
00:03:50,400 --> 00:03:52,510
Значи това е интервалът
на сходимост,

71
00:03:52,510 --> 00:03:55,540
а това 1/4 можеш да разглеждаш
като радиус на сходимост.

72
00:03:55,540 --> 00:03:56,980
Като определихме това,

73
00:03:56,980 --> 00:03:58,688
определихме къде
това нещо е сходящо,

74
00:03:58,688 --> 00:04:00,740
сега да определим стойността,
към която е сходящо.

75
00:04:00,740 --> 00:04:02,740
Правили сме го няколко пъти.

76
00:04:02,740 --> 00:04:08,250
Това нещо е равно на 
първия член, 2, върху

77
00:04:08,250 --> 00:04:13,820
1 минус частното.

78
00:04:13,940 --> 00:04:17,810
Частното ни е –4х^2.

79
00:04:17,810 --> 00:04:19,950
Това ще ни даде...

80
00:04:19,950 --> 00:04:26,820
тук заслужаваме аплодисменти –
2 върху 1 + 4х^2.

81
00:04:26,820 --> 00:04:30,430
Този израз ще е равен
на този,

82
00:04:30,430 --> 00:04:35,880
когато х принадлежи
на интервала на сходимост.