２次方程式、平方完成の
最後のビデオとして
すべての二次方程式が、平方完成で
解けることを話してきましたが、
この証明をしていなかったので、
このビデオで、二次方程式の解の公式を
平方完成で証明しましょう。
二次方程式があるとしましょう。
解を求める二次方程式です。
そして、
その解を求める公式があります。
いいですか？
二次方程式
Ax＾２＋Bx＋C＝０です。
平方完成をしましょう。
どのようにしますか？
まず、両辺からCを引き、Ax ＾２＋Bx＝ーC
Ax ＾２＋Bx＝ーCとします。
平方完成を行う行程で
この係数がないほうが行いやすいです。
x の２乗の項が 1 の係数を持つように
すべてをAで分割します。
x＾２＋B／Ax＝ーC／Aが
得られます。
いいですか？
準備が整いました。
平方完成はどうしますか？
この式に何かを加えることで
何かの2乗の形に
変換します。
いいですか？
ここで、計算します。
（x＋a ）＾２が
x＾２＋２ax＋a＾２に等しいことは既に知っていますね。
ですから、この左側に何かを加え、
この式をののように見えるようにし、
そして、他の辺を修正します。
これはx＋何かの２乗と言うことができるには、
両側を加えますか？
平方完成のビデオを見た人は
直感的にわかるでしょう。
このB／Aの項は、
2 a の項に相当するので、
これは、この係数の半分です。
それが、aです。
加えるに必要なものはこれを 2 乗します。
従って、これの半分を取るし、それを2乗したものを
両側に追加します。
別の色で行います。
このマゼンタ色でします。
この半分を取り、
完全な2乗を
つくります。
半分はB／２Aです。
これは 1/2 倍しました。
それを２乗します。
方程式の左辺に加えた場合は
右側にそれをする必要があります。
だから ＋（B／２A）＾２します。
この左側の式は、
2 乗の形で、
x ＋何かの2乗
それは何ですか？
色を変えます。
この方程式の左側は何に等しいですか？
ちょうどこのパターンを使用して、
x ＋何か。
2 つの方法で、言えますが、aは、
この係数の半分、またはこの係数の平方根です。
いいですか？
aは、B／２A です。
これは、（X＋B／２A）＾２と同じで、
簡素化することができるかどうかを見てみましょう。
すると
共通分母 を見つけ、
ここの少し代数をします。
これを2乗すると4 A＾２で、これを書きましょう。
これは、B＾２／ 4A＾２です。
いいですか？
これら 2 つの分数を加えると、
この 4 A＾２に等しいです。
いいですか？
分母が 4 A＾２ の場合は、
ー C／Aは何になりますか？
4 A で分母を乗算する場合、
4 A によって分子も乗算します。
だからこれは、 ー4ACになります。
そして B＾２／４A＾２は
単に B＾２です。
いいですか？
これを展開しました。
この２乗を取りました。B＾２／４A＾２
これを加え、共通分母を得ました。
ーC/A は、ー４AC／４A＾２と同じです。
これで、両辺の平方根をを取ることができます。
少し馴染みがあるものに
見えてきましたか？
xは何でしょう？
この方程式の両側の平方根を取り
x＋B／２A＝
右の分子と分母の平方根を取ります。
分子は、- 最初にBの2乗を置き
この順序を切り替え
B＾２ー４ACの平方根です。いいですか？
これが分子です。
平方根を取るには
分母の平方根を取る必要があります。
４A＾２の平方根は何でしょうか。
2 Aです。
いいですか？
次に何をしましょう？
非常に重要です ！
平方根を取るには
正の平方根とは限りません。
プラスまたはマイナスの平方根。
既に知っているように
ここでも、プラスまたはマイナスですが、
ここでは、まとめて
上に書きます。
なぜ、まとめることができるかというと
プラスとマイナスまたは、マイナスとプラスの場合は
マイナスで、 マイナスとマイナスの場合はキャンセルされプラス
だから、まとめて上に置くことができます。
いいですか？
両側からB／２Aを減算します。
これで、xが得られます。
x＝ーB／２A±（√ B＾２ー４AC）／２A
（ーB±√ B＾２ー４AC）／２Aです。
共通分母があるので、
分数が加えられ、
いいですか？
分かりやすく書きましょう。
x＝（ーB±√ B＾２ー４AC）／２A
有名な二次方程式の解の公式です。
証明しました。
完了です。
楽しみましたか？
次のビデオへ進みましょう。