WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:00.660
大家好

00:00:00.660 --> 00:00:02.570
這影片中我們會去看看一些常見函數

00:00:02.570 --> 00:00:03.920
的導數

00:00:03.920 --> 00:00:05.753
我們不會證明它們

00:00:05.753 --> 00:00:07.920
但最少我們會知道它們的導數是什麽

00:00:07.920 --> 00:00:09.836
好吧首先我們先看三角函數

00:00:09.836 --> 00:00:15.530
如果我們把sin x對x微分

00:00:15.530 --> 00:00:18.571
將會是cos x

00:00:18.571 --> 00:00:21.070
如果你看看圖像，將會更容易理解

00:00:21.070 --> 00:00:22.760
重申一次我們不會在這證明它們

00:00:22.760 --> 00:00:24.135
但有必要知道它們是什麽

00:00:24.135 --> 00:00:26.810
好吧sin x的導數是cos x

00:00:26.810 --> 00:00:29.370
那cos x呢？

00:00:29.370 --> 00:00:34.460
cos x對x微分會是？

00:00:34.460 --> 00:00:38.330
是負sin x

00:00:38.330 --> 00:00:40.000
sin的導數是cos

00:00:40.000 --> 00:00:42.640
cos的導數是 -sin

00:00:42.640 --> 00:00:49.810
最後tan呢？

00:00:49.810 --> 00:00:56.670
會是 1/ (cos^2 x)

00:00:56.670 --> 00:01:01.800
即 sec^2 x

00:01:01.800 --> 00:01:05.220
這些都很重要哦

00:01:05.220 --> 00:01:07.570
好吧再看看指數

00:01:07.570 --> 00:01:08.897
和對數

00:01:08.897 --> 00:01:10.480
e^x 的導數

00:01:10.480 --> 00:01:13.770
是微分中最酷的一個結果之一

00:01:13.770 --> 00:01:17.590
要知道 e 究竟有多重要

00:01:17.590 --> 00:01:19.886
e^x 對x微分

00:01:19.886 --> 00:01:21.260
我們要一點背景音樂來迎接這結果

00:01:21.260 --> 00:01:23.520
因為不但是微積分，也可能是數學中最酷的結果之一

00:01:23.520 --> 00:01:27.505
e^x的導數是e^x

00:01:27.505 --> 00:01:28.630
這個答案告訴我們什麽呢？

00:01:28.630 --> 00:01:30.255
等一下

00:01:30.255 --> 00:01:31.680
接下來將很刺激

00:01:31.680 --> 00:01:33.520
如果我們把e^x畫在圖上

00:01:33.520 --> 00:01:35.480
這是y軸

00:01:35.480 --> 00:01:40.620
x軸

00:01:40.620 --> 00:01:43.270
如果我們有個非常負的x值

00:01:43.270 --> 00:01:46.720
負得十分接近 0

00:01:46.720 --> 00:01:49.330
亦即e^0，即是1

00:01:49.330 --> 00:01:50.670
所以這裹是 1

00:01:50.670 --> 00:01:53.210
大約是這樣

00:01:53.210 --> 00:01:54.460
指數一樣

00:01:54.460 --> 00:01:56.940
增加得

00:01:56.940 --> 00:01:58.900
十分十分十分快

00:01:58.900 --> 00:02:01.940
這是 y= e^x的圖

00:02:01.940 --> 00:02:05.510
這告訴我們的是無論在哪一點

00:02:05.510 --> 00:02:07.210
例如這裹

00:02:07.210 --> 00:02:10.570
當x = 0，e^0

00:02:10.570 --> 00:02:15.230
即 1，在這裹的切線的斜線是？

00:02:15.230 --> 00:02:17.380
將會是 1

00:02:17.380 --> 00:02:18.260
很神奇吧

00:02:18.260 --> 00:02:24.020
如果 x = 1

00:02:24.020 --> 00:02:30.406
即 e^1，即e

00:02:30.406 --> 00:02:32.780
這裹的切線的斜率是？

00:02:32.780 --> 00:02:34.200
是e

00:02:34.200 --> 00:02:37.920
在不論何處

00:02:37.920 --> 00:02:40.780
它的切線的斜率都是函數的值

00:02:40.780 --> 00:02:42.660
這十分神奇

00:02:42.660 --> 00:02:44.870
這就是e的神奇之處

00:02:44.870 --> 00:02:46.730
不過這不是這影片的重點

00:02:46.730 --> 00:02:49.060
這影片是要告訴你常見函數的

00:02:49.060 --> 00:02:51.860
導數

00:02:51.860 --> 00:02:54.050
好吧最後了

00:02:54.050 --> 00:02:55.940
自然對數（Natural log）（ln）

00:02:55.940 --> 00:03:02.890
對x微分會是

00:03:02.890 --> 00:03:04.670
同樣的神奇

00:03:04.670 --> 00:03:09.450
這會是 1/x，或x的負一次方

00:03:09.450 --> 00:03:12.440
所以 ln

00:03:12.440 --> 00:03:14.690
可以算是填補了

00:03:14.690 --> 00:03:16.670
積法則

00:03:16.670 --> 00:03:19.915
的空隙

00:03:19.915 --> 00:03:22.010
即有什麽函數的導數會是

00:03:22.010 --> 00:03:23.650
1/x？

00:03:23.650 --> 00:03:26.000
冪法則告訴我們有一些函數的導數

00:03:26.000 --> 00:03:28.160
會是 x 的負二次方，負三次方等

00:03:28.160 --> 00:03:30.330
或x 的二次方，五次方等

00:03:30.330 --> 00:03:33.010
但留白了 x 的負一次方這個導數

00:03:33.010 --> 00:03:34.940
而 ln x的導數就填補了它

00:03:34.940 --> 00:03:36.250
現在我們沒有證明它

00:03:36.250 --> 00:03:38.000
我只是列表形式的列了它們出來

00:03:38.000 --> 00:03:39.925
在未來的影片中我們會用到它們

00:03:39.925 --> 00:03:41.070
並會證明它們

00:03:41.070 --> 00:03:44.000
（這課很輕鬆，只是把五個函數的導數背下來就可以囉！ Translated by R）