1
00:00:00,000 --> 00:00:01,280
有这样一个例子：

2
00:00:01,280 --> 00:00:05,210
小芳和小丽玩石头剪子布赢分数游戏。

3
00:00:05,210 --> 00:00:08,280
根据双方手势的不同组合，

4
00:00:08,280 --> 00:00:10,780
赢家得到不同的分数。

5
00:00:10,780 --> 00:00:12,840
在石头剪子布游戏中，

6
00:00:12,840 --> 00:00:16,410
石头胜剪子，

7
00:00:16,410 --> 00:00:19,470
剪子胜布， 而布胜石头，

8
00:00:19,470 --> 00:00:22,393
在这里，他们详细阐述了游戏计分规制。

9
00:00:22,393 --> 00:00:24,350
如果小芳赢了，她得到2分。

10
00:00:24,350 --> 00:00:27,000
当小丽出石头赢了，她得到3分。

11
00:00:27,000 --> 00:00:29,700
当小丽出布赢了，她得到2分。

12
00:00:29,700 --> 00:00:32,290
当小丽出剪刀赢了，她得到1分。

13
00:00:32,290 --> 00:00:35,230
如果双方出同样的手势，都不得分，

14
00:00:35,230 --> 00:00:37,290
因为这一轮没人赢。

15
00:00:37,290 --> 00:00:40,980
完成这个矩阵以代表她们的计分。

16
00:00:40,980 --> 00:00:45,140
该计分系统显示小芳的得分，

17
00:00:45,140 --> 00:00:48,590
负数表明小丽得那么多分，

18
00:00:48,590 --> 00:00:51,390
矩阵的行是小芳的手势，

19
00:00:51,390 --> 00:00:54,650
矩阵的列是小丽的手势。

20
00:00:54,650 --> 00:00:56,670
这里就是这个矩阵。

21
00:00:56,670 --> 00:00:58,940
请暂停本视频，

22
00:00:58,940 --> 00:01:00,670
看看你是否能自己完成。

23
00:01:00,670 --> 00:01:02,090
你可以找一张纸来试试， 行吗？

24
00:01:02,090 --> 00:01:04,210
去找一张纸吧。

25
00:01:04,210 --> 00:01:06,450
好了，现在我们一起来解题。

26
00:01:06,450 --> 00:01:08,040
那么，多少分，

27
00:01:08,040 --> 00:01:10,570
切记，这个矩阵表示小芳赢的分数，

28
00:01:10,570 --> 00:01:14,290
如果小丽赢了，那么小芳得一个负数。

29
00:01:14,290 --> 00:01:18,180
所以，如果小芳出石头，而小丽也出石头，

30
00:01:18,180 --> 00:01:20,130
那么是这里这一项，

31
00:01:20,130 --> 00:01:20,963
会发生什么呢？

32
00:01:20,963 --> 00:01:23,830
小芳会得多少分？

33
00:01:23,830 --> 00:01:25,860
如果双方都出同样的手势，

34
00:01:25,860 --> 00:01:28,320
双方都不得分。

35
00:01:28,320 --> 00:01:31,700
所以如果双方都出石头，这一项就是0.

36
00:01:31,700 --> 00:01:33,590
我们知道同样的道理，

37
00:01:33,590 --> 00:01:35,900
如果小芳出布，而小丽也出布，

38
00:01:35,900 --> 00:01:38,060
这里小芳就得0分。

39
00:01:38,060 --> 00:01:41,170
而如果双方都出剪子，那么这一项，

40
00:01:41,170 --> 00:01:43,550
你也得一个0。

41
00:01:43,550 --> 00:01:46,280
好了，现在如果小芳出石头，

42
00:01:46,280 --> 00:01:48,460
而小丽出布呢？

43
00:01:48,460 --> 00:01:49,293
这里我应该填什么呢？

44
00:01:49,293 --> 00:01:50,320
暂停本视频，想一想。

45
00:01:50,320 --> 00:01:53,860
小芳出石头，小丽出布。

46
00:01:53,860 --> 00:01:57,460
我们知道布胜石头。

47
00:01:57,460 --> 00:02:01,530
所以这种情况下，小丽出布胜。

48
00:02:01,530 --> 00:02:03,780
即这里这种情形，

49
00:02:03,780 --> 00:02:06,140
所以小丽赢2分。

50
00:02:06,140 --> 00:02:07,550
那么如果小丽赢2分，

51
00:02:07,550 --> 00:02:09,840
记住这个矩阵记录的是小芳的得分，

52
00:02:09,840 --> 00:02:12,300
这里小芳得-2分，

53
00:02:12,300 --> 00:02:14,110
因为是小丽赢了。

54
00:02:14,110 --> 00:02:15,730
好了，这一项呢？

55
00:02:15,730 --> 00:02:17,640
它代表什么呢？

56
00:02:17,640 --> 00:02:19,750
它表示小芳出石头

57
00:02:19,750 --> 00:02:22,530
而小丽出剪子。

58
00:02:22,530 --> 00:02:25,680
我们知道石头胜剪子，

59
00:02:25,680 --> 00:02:27,610
所以是小芳胜，

60
00:02:27,610 --> 00:02:31,610
而我们知道只要是小芳胜，她就得2分。

61
00:02:31,610 --> 00:02:34,690
所以这一项是2分。

62
00:02:34,690 --> 00:02:36,180
那么这一项呢？

63
00:02:36,180 --> 00:02:38,200
代表什么呢？

64
00:02:38,200 --> 00:02:40,550
这表示小芳出布

65
00:02:40,550 --> 00:02:42,400
而小丽出石头。

66
00:02:42,400 --> 00:02:44,510
而我们知道布胜石头，

67
00:02:44,510 --> 00:02:47,410
所以又是小芳胜，

68
00:02:47,410 --> 00:02:50,350
只要她胜就得2分。

69
00:02:50,350 --> 00:02:51,780
所以这是2分。

70
00:02:51,780 --> 00:02:54,390
现在，这一项又是什么呢？

71
00:02:54,390 --> 00:02:58,340
请暂停本视频，想想这里应该是个什么数。

72
00:02:58,340 --> 00:03:01,040
这是小芳出布

73
00:03:01,040 --> 00:03:03,130
而小丽出剪子的情况。

74
00:03:03,130 --> 00:03:05,270
我们知道剪子胜布，

75
00:03:05,270 --> 00:03:06,950
我想是因为剪子能剪断布，

76
00:03:06,950 --> 00:03:09,360
所以小丽出剪子胜。

77
00:03:09,360 --> 00:03:12,070
那我们来看这里，我换不同的颜色，

78
00:03:12,070 --> 00:03:15,180
小丽出剪子胜，她得1分。

79
00:03:15,180 --> 00:03:17,320
所以你可能会在这里填1，

80
00:03:17,320 --> 00:03:19,410
但是记住，那是小丽得1分。

81
00:03:19,410 --> 00:03:21,610
而这个矩阵是用来表示小芳得了多少分，

82
00:03:21,610 --> 00:03:23,910
所以我们说这里应该是-1分，

83
00:03:23,910 --> 00:03:26,290
如果知道是小丽赢了1分。

84
00:03:26,290 --> 00:03:30,200
那么，我们思考一下最后一行。

85
00:03:30,200 --> 00:03:31,650
这一项代表什么？

86
00:03:31,650 --> 00:03:32,740
应该填什么数？

87
00:03:32,740 --> 00:03:35,520
请暂停本视频，想一想。

88
00:03:35,520 --> 00:03:37,460
这是小芳出剪子

89
00:03:37,460 --> 00:03:39,070
而小丽出石头。

90
00:03:39,070 --> 00:03:41,150
我们知道石头胜剪子

91
00:03:41,150 --> 00:03:42,890
我想是因为石头可以砸坏剪子，

92
00:03:42,890 --> 00:03:46,700
所以这种情形，小丽出石头胜，

93
00:03:46,700 --> 00:03:49,130
而我们知道， 让我换一种颜色，

94
00:03:49,130 --> 00:03:52,500
当小丽出石头胜，她得3分。

95
00:03:52,500 --> 00:03:54,300
所以这里小丽得3分。

96
00:03:54,300 --> 00:03:56,030
而这个矩阵是用来表示小芳得了多少分，

97
00:03:56,030 --> 00:03:58,000
所以我们得在这里填-3

98
00:03:58,000 --> 00:03:59,690
因为是小丽得了3分。

99
00:03:59,690 --> 00:04:03,590
记住，一个负数表示小丽得了那么多分。

100
00:04:03,590 --> 00:04:09,550
最后一项，你觉得应该填什么？

101
00:04:09,550 --> 00:04:11,860
这是小芳出剪子

102
00:04:11,860 --> 00:04:14,550
而小丽出布。

103
00:04:14,550 --> 00:04:17,230
我们知道剪子胜布

104
00:04:17,230 --> 00:04:18,330
因为剪子剪坏布，

105
00:04:18,330 --> 00:04:21,040
而且我们知道只要是小芳胜，

106
00:04:21,040 --> 00:04:23,740
比如这里她出剪子胜，她都得2分。

107
00:04:23,740 --> 00:04:27,320
所以这里填2分，这样子。

108
00:04:27,320 --> 00:04:28,620
那么我们填完了这个矩阵，

109
00:04:28,620 --> 00:04:30,230
现在我们要回答下面这样一个问题。

110
00:04:30,230 --> 00:04:33,980
假设小丽完全随机地出手势，

111
00:04:33,980 --> 00:04:38,090
小芳应该出什么

112
00:04:38,090 --> 00:04:40,130
可以最大化她得到最高分的概率？

113
00:04:40,130 --> 00:04:43,000
请暂停本视频，看看这个矩阵

114
00:04:43,000 --> 00:04:46,190
怎么帮助你解决本问题。

115
00:04:46,190 --> 00:04:47,150
好了。

116
00:04:47,150 --> 00:04:50,030
本视频不是关于概率方面的练习。

117
00:04:50,030 --> 00:04:52,210
但是我们可以简单回顾一下，

118
00:04:52,210 --> 00:04:55,330
可以这么考虑，当小芳出石头，

119
00:04:55,330 --> 00:04:57,010
这里是对应的情形，

120
00:04:57,010 --> 00:04:59,400
这里是所有小芳出石头时会出现的结果。

121
00:04:59,400 --> 00:05:02,430
从题意可知， 小丽随机出手势，

122
00:05:02,430 --> 00:05:04,840
所以，小丽出石头的概率是3分之1，

123
00:05:04,840 --> 00:05:07,270
出布的概率是3分之1， 出剪子的概率是3分之1，

124
00:05:07,270 --> 00:05:09,490
因为这些事等概率发生的。

125
00:05:09,490 --> 00:05:12,330
因为他们已经说了，小丽随机出手势。

126
00:05:12,330 --> 00:05:13,310
你可以求出

127
00:05:13,310 --> 00:05:16,070
这种情况下的期望值。

128
00:05:16,070 --> 00:05:19,000
我们可以对这3个数取平均。

129
00:05:19,000 --> 00:05:19,940
可以这么做

130
00:05:19,940 --> 00:05:25,700
3分之1乘以0加3分之1乘以-2加3分之1乘以2.

131
00:05:25,700 --> 00:05:27,900
如果你想了解更多关于期望值，

132
00:05:27,900 --> 00:05:29,880
在可汗学院上有很多相关内容，

133
00:05:29,880 --> 00:05:31,910
但是我们对这些数取平均就行了。

134
00:05:31,910 --> 00:05:33,300
把它们加起来再除以3

135
00:05:33,300 --> 00:05:34,660
这是另一种思路。

136
00:05:34,660 --> 00:05:37,000
那么，这里的期望值

137
00:05:37,000 --> 00:05:39,110
是首先求和，

138
00:05:39,110 --> 00:05:41,260
即0 + -2 + 2。

139
00:05:41,260 --> 00:05:42,780
这样，求和得结果0，

140
00:05:42,780 --> 00:05:45,370
再除以3，结果是0。

141
00:05:45,370 --> 00:05:48,090
所以， 这里我填0作为本情形的期望值，

142
00:05:48,090 --> 00:05:51,820
对应小芳出石头而小丽随机出的情形。

143
00:05:51,820 --> 00:05:56,130
现在，看第二种情况。 我们对这几个数求平均。

144
00:05:56,130 --> 00:05:58,370
如果我们把这3个数加起来，

145
00:05:58,370 --> 00:06:02,070
即2 + 0 + -1。 得1, 再除以3，

146
00:06:02,070 --> 00:06:05,640
所以小芳得分的期望值是

147
00:06:05,640 --> 00:06:07,210
3分之1。

148
00:06:07,210 --> 00:06:09,800
然后最后一种情况，

149
00:06:09,800 --> 00:06:13,270
把这些数全部加起来，结果是-1，

150
00:06:13,270 --> 00:06:16,300
除以3得负3分之1.

151
00:06:16,300 --> 00:06:19,690
所以看来，在小丽随机出手势的假设情况下，

152
00:06:19,690 --> 00:06:22,110
小芳要得到最好的分数期望值

153
00:06:22,110 --> 00:06:23,510
是小芳出布。

154
00:06:23,510 --> 00:06:26,640
对应的期望值是正的3分之1.

155
00:06:26,640 --> 00:06:29,220
所以小芳应该出什么以最大化

156
00:06:29,220 --> 00:06:30,940
她得到最高分的几率呢？

157
00:06:30,940 --> 00:06:32,150
出布。

158
00:06:32,150 --> 00:06:33,630
当然，这里我们假设

159
00:06:33,630 --> 00:06:35,050
小丽总是随机出手势。

160
00:06:35,050 --> 00:06:36,730
显然，如果小丽发现

161
00:06:36,730 --> 00:06:38,030
小芳总是出布，

162
00:06:38,030 --> 00:06:39,970
小丽会调整她的策略。

163
00:06:39,970 --> 00:06:41,670
但是这就超出了本题讨论范围。