WEBVTT

00:00:00.400 --> 00:00:01.280
有这样一个例子：

00:00:01.280 --> 00:00:05.210
小芳和小丽玩石头剪子布赢分数游戏。

00:00:05.210 --> 00:00:08.280
根据双方手势的不同组合，

00:00:08.280 --> 00:00:10.780
赢家得到不同的分数。

00:00:10.780 --> 00:00:12.840
在石头剪子布游戏中，

00:00:12.840 --> 00:00:16.410
石头胜剪子，

00:00:16.410 --> 00:00:19.470
剪子胜布， 而布胜石头，

00:00:19.470 --> 00:00:21.560
他们详细阐述了输赢计分规制。

00:00:21.560 --> 00:00:22.393
看这里。

00:00:22.393 --> 00:00:24.350
如果小芳赢了，她得到2分。

00:00:24.350 --> 00:00:27.000
当小丽出石头赢了，她得到3分。

00:00:27.000 --> 00:00:29.700
当小丽出布赢了，她得到2分。

00:00:29.700 --> 00:00:32.290
当小丽出剪刀赢了，她得到1分。

00:00:32.290 --> 00:00:35.230
如果双方出同样的手势，都不得分

00:00:35.230 --> 00:00:37.290
因为这一轮没人赢。

00:00:37.290 --> 00:00:40.980
完成这个矩阵以代表她们的计分系统。

00:00:40.980 --> 00:00:45.140
该计分系统显示小芳的得分，

00:00:45.140 --> 00:00:48.590
负数表明小丽得分，

00:00:48.590 --> 00:00:51.390
矩阵的行是小芳的手势，

00:00:51.390 --> 00:00:54.650
矩阵的列是小丽的手势。

00:00:54.650 --> 00:00:56.670
这里就是这个矩阵。

00:00:56.670 --> 00:00:58.940
请暂停本视频，

00:00:58.940 --> 00:01:00.670
看看你是否能自己完成。

00:01:00.670 --> 00:01:02.090
你可以找一张纸来试试， 行吗？

00:01:02.090 --> 00:01:04.210
去找一张纸吧。

00:01:04.210 --> 00:01:06.450
好了，现在我们一起来解题。

00:01:06.450 --> 00:01:08.040
那么，多少分，

00:01:08.040 --> 00:01:10.570
切记，这个矩阵表示小芳赢的分数，

00:01:10.570 --> 00:01:14.290
如果小丽赢了，那么小芳得一个负数。

00:01:14.290 --> 00:01:18.180
所以，如果小芳出石头，而小丽也出石头，

00:01:18.180 --> 00:01:20.130
那么是这里这一项，

00:01:20.130 --> 00:01:20.963
会发生什么呢？

00:01:20.963 --> 00:01:22.890
小芳会得多少分？

00:01:23.830 --> 00:01:25.860
如果双方都出同样的手势，

00:01:25.860 --> 00:01:28.320
双方都不得分。

00:01:28.320 --> 00:01:31.700
所以如果双方都出石头，这一项就是0.

00:01:31.700 --> 00:01:33.590
我们知道同样的道理，

00:01:33.590 --> 00:01:35.900
如果小芳出布，而小丽也出布，

00:01:35.900 --> 00:01:38.060
这里小芳就得0分。

00:01:38.060 --> 00:01:41.170
而如果双方都出剪子，那么这一项，

00:01:41.170 --> 00:01:43.550
你也得一个0。

00:01:43.550 --> 00:01:46.280
好了，现在如果小芳出石头

00:01:46.280 --> 00:01:48.460
而小丽出布呢？

00:01:48.460 --> 00:01:49.293
这里我应该填什么呢？

00:01:49.293 --> 00:01:50.320
暂停本视频，想一想。

00:01:50.320 --> 00:01:52.763
小芳出石头，小丽出布。

00:01:53.860 --> 00:01:57.460
我们知道布胜石头。

00:01:57.460 --> 00:02:01.530
所以这种情况下，小丽出布胜。

00:02:01.530 --> 00:02:03.780
即这里这种情形，

00:02:03.780 --> 00:02:06.140
所以小丽赢2分。

00:02:06.140 --> 00:02:07.550
那么如果小丽赢2分，

00:02:07.550 --> 00:02:09.840
记住这个矩阵记录的是小芳的得分，

00:02:09.840 --> 00:02:12.300
这里小芳得-2分，

00:02:12.300 --> 00:02:14.110
因为是小丽赢了。

00:02:14.110 --> 00:02:15.730
好了，这一项呢？

00:02:15.730 --> 00:02:17.640
它代表什么呢？

00:02:17.640 --> 00:02:19.750
它表示小芳出石头

00:02:19.750 --> 00:02:22.530
而小丽出剪子。

00:02:22.530 --> 00:02:25.680
我们知道石头胜剪子，

00:02:25.680 --> 00:02:27.610
所以是小芳胜，

00:02:27.610 --> 00:02:31.610
而我们知道只要是小芳胜，她就得2分。

00:02:31.610 --> 00:02:34.690
所以这一项是2。

00:02:34.690 --> 00:02:36.180
那么这一项呢？

00:02:36.180 --> 00:02:38.200
代表什么呢？

00:02:38.200 --> 00:02:40.550
这表示小芳出布

00:02:40.550 --> 00:02:42.400
而小丽出石头。

00:02:42.400 --> 00:02:44.510
而我们知道布胜石头，

00:02:44.510 --> 00:02:47.410
所以又是小芳胜，

00:02:47.410 --> 00:02:50.350
只要她胜就得2分。

00:02:50.350 --> 00:02:51.780
所以这是2分。

00:02:51.780 --> 00:02:54.390
现在，这一项又是什么呢？

00:02:54.390 --> 00:02:57.163
请暂停本视频，想想这里应该是个什么数。

00:02:58.340 --> 00:03:01.040
这是小芳出布

00:03:01.040 --> 00:03:03.130
而小丽出剪子的情况。

00:03:03.130 --> 00:03:05.270
我们知道剪子胜布

00:03:05.270 --> 00:03:06.950
我想是因为剪子能剪断布，

00:03:06.950 --> 00:03:09.360
所以小丽出剪子胜。

00:03:09.360 --> 00:03:12.070
那我们来看这里，我换不同的颜色，

00:03:12.070 --> 00:03:15.180
小丽出剪子胜，她得1分。

00:03:15.180 --> 00:03:17.320
所以你可能会在这里填1，

00:03:17.320 --> 00:03:19.410
但是记住，那是小丽得1分。

00:03:19.410 --> 00:03:21.610
而这个矩阵是用来表示小芳得了多少分，

00:03:21.610 --> 00:03:23.910
所以我们说这里应该是-1分

00:03:23.910 --> 00:03:26.290
如果小丽赢了1分。

00:03:26.290 --> 00:03:30.200
那么，我们思考一下最后一行。

00:03:30.200 --> 00:03:31.650
这一项代表什么？

00:03:31.650 --> 00:03:32.740
应该填什么数？

00:03:32.740 --> 00:03:34.490
请暂停本视频，想一想。

00:03:35.520 --> 00:03:37.460
这是小芳出剪子

00:03:37.460 --> 00:03:39.070
而小丽出石头。

00:03:39.070 --> 00:03:41.150
我们知道石头胜剪子

00:03:41.150 --> 00:03:42.890
我想是因为石头可以砸坏剪子，

00:03:42.890 --> 00:03:46.700
所以这种情形，小丽出石头胜，

00:03:46.700 --> 00:03:49.130
而我们知道， 让我换一种颜色，

00:03:49.130 --> 00:03:52.500
当小丽出石头胜，她得3分。

00:03:52.500 --> 00:03:54.300
所以这里小丽得3分。

00:03:54.300 --> 00:03:56.030
而这个矩阵是用来表示小芳得了多少分，

00:03:56.030 --> 00:03:58.000
所以我们得在这里填-3

00:03:58.000 --> 00:03:59.690
因为是小丽得了3分。

00:03:59.690 --> 00:04:03.590
记住，一个负数表示小丽得了那么多分。

00:04:03.590 --> 00:04:07.873
最后一项，你觉得应该填什么？

00:04:09.550 --> 00:04:11.860
这是小芳出剪子

00:04:11.860 --> 00:04:14.550
而小丽出布。

00:04:14.550 --> 00:04:17.230
我们知道剪子胜布

00:04:17.230 --> 00:04:18.330
因为剪子剪坏布，

00:04:18.330 --> 00:04:21.040
而且我们知道只要是小芳胜，

00:04:21.040 --> 00:04:23.740
比如这里她出剪子胜，她都得2分。

00:04:23.740 --> 00:04:27.320
所以这里填2分，这样子。

00:04:27.320 --> 00:04:28.620
那么我们填完了这个矩阵，

00:04:28.620 --> 00:04:30.230
现在我们要回答下面这样一个问题。

00:04:30.230 --> 00:04:33.980
假设小丽完全随机地出手势，

00:04:33.980 --> 00:04:38.090
小芳应该出什么

00:04:38.090 --> 00:04:40.130
可以最大化她得到最高分的概率？

00:04:40.130 --> 00:04:43.000
请暂停本视频，看看这个矩阵

00:04:43.000 --> 00:04:44.800
怎么帮助你解决本问题。

00:04:46.190 --> 00:04:47.150
好了。

00:04:47.150 --> 00:04:50.030
本视频不是关于概率方面的练习。

00:04:50.030 --> 00:04:52.210
但是我们可以简单回顾一下，

00:04:52.210 --> 00:04:55.330
可以这么考虑，当小芳出石头，

00:04:55.330 --> 00:04:57.010
这里是对应的情形，

00:04:57.010 --> 00:04:59.400
这里是所有小芳出石头时会出现的结果。

00:04:59.400 --> 00:05:02.430
从题意可知， 小丽随机出手势，

00:05:02.430 --> 00:05:04.840
所以，小丽出石头的概率是3分之1，

00:05:04.840 --> 00:05:07.270
出布的概率是3分之1， 出剪子的概率是3分之1，

00:05:07.270 --> 00:05:09.490
因为这些事等概率发生的。

00:05:09.490 --> 00:05:12.330
因为他们已经说了，小丽随机出手势。

00:05:12.330 --> 00:05:13.310
你可以求出

00:05:13.310 --> 00:05:16.070
这种情况下的期望值。

00:05:16.070 --> 00:05:19.000
我们对这3个数取平均。

00:05:19.000 --> 00:05:19.940
可以这么做

00:05:19.940 --> 00:05:24.940
3分之1乘以0加3分之1乘以-2加3分之1乘以2.

00:05:25.700 --> 00:05:27.900
如果你想了解更多关于期望值，

00:05:27.900 --> 00:05:29.880
在可汗学院上有很多相关内容，

00:05:29.880 --> 00:05:31.910
但是我们对这些数取平均就行了。

00:05:31.910 --> 00:05:33.300
把它们加起来再除以3

00:05:33.300 --> 00:05:34.660
这是另一种思路。

00:05:34.660 --> 00:05:37.000
那么，这里的期望值

00:05:37.000 --> 00:05:39.110
是首先求和，

00:05:39.110 --> 00:05:41.260
即0 + -2 + 2。

00:05:41.260 --> 00:05:42.780
这样，求和得结果0，

00:05:42.780 --> 00:05:45.370
再除以3，结果是0。

00:05:45.370 --> 00:05:48.090
所以， 这里我填0作为本情形的期望值，

00:05:48.090 --> 00:05:51.820
对应小芳出石头而小丽随机出的情形。

00:05:51.820 --> 00:05:56.130
现在，看第二种情况。 我们对这几个数求平均。

00:05:56.130 --> 00:05:58.370
如果我们把这3个数加起来，

00:05:58.370 --> 00:06:02.070
即2 + 0 + -1, 再除以3，

00:06:02.070 --> 00:06:05.640
得小芳得分的期望值

00:06:05.640 --> 00:06:07.210
为3分之1。

00:06:07.210 --> 00:06:09.800
然后最后一种情况，

00:06:09.800 --> 00:06:13.270
把这些数全部加起来，的-1，

00:06:13.270 --> 00:06:14.270
除以3得负3分之1.

00:06:16.300 --> 00:06:19.690
所以看来，在小丽随机出手势的假设情况下，

00:06:19.690 --> 00:06:22.110
小芳要得到最好的分数期望值

00:06:22.110 --> 00:06:23.510
是小芳出布。

00:06:23.510 --> 00:06:26.640
对应的期望值是正的3分之1.

00:06:26.640 --> 00:06:29.220
所以小芳应该出什么以最大化

00:06:29.220 --> 00:06:30.940
她得到最高分的几率呢？

00:06:30.940 --> 00:06:32.150
出布。

00:06:32.150 --> 00:06:33.630
当然，这里我们假设

00:06:33.630 --> 00:06:35.050
小丽总是随机出手势。

00:06:35.050 --> 00:06:36.730
显然，如果小丽发现

00:06:36.730 --> 00:06:38.030
小芳总是出布，

00:06:38.030 --> 00:06:39.970
小丽会调整她得策略。

00:06:39.970 --> 00:06:41.670
但是那就让情况复杂化了。