Trông như một tập hợp các số
được sắp xếp theo thứ tự

nhưng lại là một kho báu toán học.

Những nhà toán học Ấn Độ
gọi nó là Nấc thang lên đỉnh Tu Di.

Ở Iran, nó có tên 
Tam giác Khayyam

Và ở Trung Quốc,
là Tam giác Dương Huy.

Ở hầu hết các nước phương Tây,
nó được biết đến với tên Tam giác Pascal,

đặt theo tên nhà toán học
người Pháp, Bryce Pascal,

nghe có vẻ hơi bất công

vì rõ ràng khám phá của ông
muộn hơn những người khác

nhưng ông vẫn có nhiều đóng góp.

Vậy điều gì khiến nó hấp dẫn
các nhà toán học trên thế giới đến vậy?

Nói ngắn gọn,
nó chứa đầy quy luật và bí ẩn.

Trước nhất là quy tắc tạo thành.

Bắt đầu với số một,

hãy tưởng tượng 
những số không vô hình ở hai bên.

Cộng chúng lại theo cặp,
sẽ tạo thành dòng tiếp theo.

Hãy lặp lại việc này.

Cứ tiếp tục như vậy,
bạn có được một tam giác như thế này,

dù thực tế, Tam giác Pascal
có thể đến vô tận.

Mỗi dòng ứng với
các hệ số trong khai triển nhị thức

có dạng (x+y)^n,

trong đó n là số dòng,

và bắt đầu tính từ số không.

Do đó, nếu cho n=2
và khai triển nó,

bạn sẽ được:
(x^2) + 2xy + (y^2).

Hệ số, hay số đứng trước biến,

trùng với các con số của dòng tương ứng
trong Tam giác Pascal.

Bạn sẽ thấy điều tương tự với n=3,
được khai triển thành thế này.

Dùng tam giác này, ta có thể tra
các hệ số này nhanh chóng và dễ dàng.

Và hơn thế nữa.

Ví dụ, tính tổng các số trên mỗi dòng

ta được dãy lũy thừa cơ số 2.

Hoặc trên một dòng, coi mỗi số là một phần
của khai triển trong hệ thập phân.

Nói cách khác, dòng hai được biểu diễn:
(1x1)+(2x10)+(1x100).

Bạn sẽ có 121, tức 11^2.

Hãy xem điều gì xảy ra
khi làm tương tự với dòng sáu.

Tổng là 1.771.561,

tức 11^6,

và tiếp tục như vậy.

Nó cũng có các ứng dụng
trong hình học.

Hãy nhìn vào các đường chéo.

Hai đường đầu tiên không có gì thú vị:
toàn số một, và các số nguyên dương,

hay còn được gọi là số tự nhiên.

Nhưng các số trên đường chéo tiếp theo
được gọi là số tam giác

vì bạn có thể lấy các điểm đó,

xếp chúng thành các tam giác đều.

Đường chéo kế tiếp
chứa số tứ diện

vì đơn giản, bạn có thể xếp
chúng thành một tứ diện.

Hoặc tô tất cả các số lẻ.

Có vẻ như chẳng có gì đặc biệt
nếu tam giác này quá nhỏ

nhưng nếu thêm vào
hàng ngàn dòng,

bạn sẽ có một hệ chiết hình
gọi là Tam giác Sierpinski.

Tam giác này không chỉ là
một kiệt tác toán học.

Nó còn khá hữu dụng,

nhất là với xác suất và tính toán

trong ngành toán học tổ hợp.

Giả sử bạn muốn có năm người con,

và muốn biết xác suất

của việc có được gia đình mơ ước
với ba con gái và hai con trai.

Trong khai triển nhị thức,

nó tương ứng với tổng số
con gái và con trai, tất cả mũ năm.

Hãy cùng nhìn vào dòng thứ năm,

số đầu tiên ứng với năm người con gái

và số cuối ứng với năm người con trai.

Số đứng thứ ba
chính là con số ta muốn tìm.

Lấy mười chia cho
tổng các xác suất trong dòng.

Vậy là 10/32, hay 31.25%.

Hoặc nếu bạn chọn ngẫu nhiên
năm người trong một đội bóng rổ

trong một nhóm 12 người,

có thể lập được tất cả 
bao nhiêu nhóm năm người?

Trong toán tổ hợp,

bài toán này sẽ được biểu diễn
dưới dạng tổ hợp chập 5 của 12,

và có thể dùng công thức này để tính,

hay bạn có thể chỉ nhìn vào số thứ sáu
trên dòng 12 của tam giác

và tìm được đáp án.

Quy luật trong Tam giác Pascal

là minh chứng cho cấu trúc đan xen
một cách tinh tế của toán học.

Cho tới ngày nay,
nó vẫn đang tiết lộ thêm những bí mật mới.

Ví dụ, các nhà toán học gần đây
phát hiện ra cách để khai triển nó

cho tới loại đa thức này.

Ta có thể tìm thấy gì tiếp theo?

Điều đó tùy thuộc vào bạn.