WEBVTT

00:00:07.603 --> 00:00:11.000
Isto pode parecer un amoreamento
de números ben ordenados,

00:00:11.000 --> 00:00:14.236
pero en realidade
é unha mina matemática.

00:00:14.666 --> 00:00:18.654
Os matemáticos indios chamábanlle
Escaleira do Monte Meru.

00:00:18.654 --> 00:00:21.131
En Irán, é o triángulo de Khayyam.

00:00:21.131 --> 00:00:23.738
E na China é o triángulo de Yang Hui.

00:00:23.928 --> 00:00:28.033
En boa parte do mundo occidental 
é coñecido como o triángulo de Pascal,

00:00:28.033 --> 00:00:31.085
polo matemático francés Blaise Pascal,

00:00:31.085 --> 00:00:35.234
o que parece algo inxusto
pois non foi dos primeiros en abordalo,

00:00:35.234 --> 00:00:37.596
con todo, fixo grandes contribucións.

00:00:37.596 --> 00:00:42.280
Que é o que ten para intrigar 
a matemáticos do mundo enteiro?

00:00:42.280 --> 00:00:45.714
Resumindo, 
está cheo de padróns e segredos.

00:00:46.124 --> 00:00:49.608
En primeiro lugar,
está o padrón que o xera.

00:00:49.608 --> 00:00:54.167
Comeza cun 1 e imaxina
ceros invisibles a cada lado.

00:00:54.477 --> 00:00:57.812
Súmaos de dous en dous, 
para xerar a seguinte fila.

00:00:58.812 --> 00:01:02.146
Agora, faino unha e outra vez.

00:01:02.146 --> 00:01:05.784
Continúa e acabarás con algo así,

00:01:05.784 --> 00:01:08.785
aínda que o triángulo de Pascal 
continúe indefinidamente.

00:01:09.965 --> 00:01:15.034
En cada fila temos 
os coeficientes do desenvolvemento

00:01:15.034 --> 00:01:18.908
do binomio (x+y) elevado a n,

00:01:18.908 --> 00:01:21.307
onde n é o número da fila,

00:01:21.307 --> 00:01:23.746
se comenzamos a contar a partir do cero.

00:01:23.746 --> 00:01:27.102
Polo que se n=2 e desenvolvemos,

00:01:27.102 --> 00:01:31.107
obtemos (x^2)+2xy+(y^2).

00:01:31.107 --> 00:01:34.353
Os coeficientes, 
ou números que preceden ás variables,

00:01:34.353 --> 00:01:38.397
son os mesmos que os números da fila
do triángulo de Pascal.

00:01:38.697 --> 00:01:43.066
Veremos o mesmo con n=3, 
que se desenvolve así.

00:01:43.446 --> 00:01:47.693
O triángulo é unha forma rápida e sinxela 
de obter todos eses coeficientes.

00:01:48.493 --> 00:01:50.327
Pero hai moito máis.

00:01:50.327 --> 00:01:53.207
Por exemplo, 
sumando os enteiros en cada fila,

00:01:53.207 --> 00:01:56.039
obteremos as sucesivas potencias de dous.

00:01:56.289 --> 00:02:01.221
Ou nunha fila dada considera cada número 
como parte dun desenvolvemento decimal.

00:02:01.221 --> 00:02:07.505
Noutras palabras, a liña dous é
(1x1) + (2x10) + (1x100).

00:02:07.835 --> 00:02:11.241
Obtemos 121, que é 11^2.

00:02:12.111 --> 00:02:15.802
Mira o que pasa cando fas 
o mesmo na liña seis.

00:02:16.352 --> 00:02:21.106
Obteremos 1.771.561,

00:02:21.726 --> 00:02:23.546
que é 11 elevado a 6,

00:02:23.946 --> 00:02:25.136
e así sucesivamente.

00:02:25.486 --> 00:02:28.020
Tamén hai aplicacións xeométricas.

00:02:28.020 --> 00:02:29.921
Observa as diagonais.

00:02:29.921 --> 00:02:32.117
As dúas primeiras 
non son moi interesantes:

00:02:32.117 --> 00:02:34.916
a primeira só ten uns,
a segunda, os enteiros positivos,

00:02:34.916 --> 00:02:37.127
tamén coñecidos como números naturais.

00:02:37.127 --> 00:02:41.193
Mais os números da diagonal seguinte
son os chamados números triangulares

00:02:41.193 --> 00:02:43.639
porque, se collemos todos eses puntos,

00:02:43.639 --> 00:02:46.557
podemos amorealos 
en triángulos equiláteros.

00:02:46.917 --> 00:02:49.822
A seguinte diagonal
ten os números tetraédricos

00:02:49.822 --> 00:02:54.376
porque, do mesmo xeito, 
podemos amorear as esferas en tetraedros.

00:02:54.786 --> 00:02:58.171
E que che parece isto? 
Marcamos todos os números impares.

00:02:58.541 --> 00:03:01.578
Non parece gran cousa 
cando o triángulo é pequeno,

00:03:01.578 --> 00:03:03.729
porén se ampliamos miles de filas,

00:03:03.729 --> 00:03:07.176
obtemos un fractal, 
coñecido como triángulo de Sierpinski.

00:03:07.866 --> 00:03:10.843
Ese triángulo non é só
unha obra de arte matemática.

00:03:11.272 --> 00:03:12.690
Tamén é moi útil,

00:03:12.951 --> 00:03:15.938
especialmente cando falamos 
de probabilidade e cálculos

00:03:16.046 --> 00:03:18.103
no ámbito da combinatoria.

00:03:18.754 --> 00:03:20.881
Digamos que queremos ter cinco fillos,

00:03:21.210 --> 00:03:22.930
e desexamos saber a probabilidade

00:03:22.930 --> 00:03:26.108
de termos unha familia
con tres nenas e dous nenos.

00:03:27.088 --> 00:03:28.996
No desenvolvemento binomial,

00:03:28.996 --> 00:03:31.968
iso corresponde a (nena máis neno) 
elevado á quinta potencia.

00:03:32.570 --> 00:03:34.447
Velaí que se miramos para a fila 5

00:03:34.651 --> 00:03:37.119
o primeiro número corresponde a 5 nenas,

00:03:37.269 --> 00:03:39.865
e o último corresponde a 5 nenos.

00:03:40.392 --> 00:03:42.805
O terceiro número 
é o que estamos a buscar.

00:03:43.332 --> 00:03:46.428
Son 10 de entre todas 
as posibilidades da fila.

00:03:46.630 --> 00:03:51.236
Así que 10/32, ou o 31,25%.

00:03:52.176 --> 00:03:55.548
Ou se estás escollendo ao chou
un equipo de baloncesto de 5 xogadores

00:03:55.814 --> 00:03:57.385
dun grupo de 12 amigos,

00:03:57.522 --> 00:04:00.054
cantos grupos posibles de 5 podes formar?

00:04:00.252 --> 00:04:02.097
En termos combinatorios

00:04:02.097 --> 00:04:04.735
este problema enunciaríase
como "5 sobre 12",

00:04:05.027 --> 00:04:07.510
e calcularíase con esta fórmula,

00:04:07.778 --> 00:04:11.720
ou senón procurariamos o sexto 
elemento da fila 12 do triángulo,

00:04:11.793 --> 00:04:13.139
obtendo así a resposta.

00:04:13.659 --> 00:04:15.667
Os padróns no Triángulo de Pascal

00:04:15.667 --> 00:04:19.421
son un testemuño elegante entretecido
que forman as matemáticas.

00:04:19.981 --> 00:04:23.346
E aínda continúan a revelar
novos segredos hoxe en día.

00:04:23.572 --> 00:04:27.479
Por exemplo, os matemáticos 
descubriron hai pouco unha forma

00:04:27.659 --> 00:04:29.879
de desenvolvelo 
a esta clase de polinomios.

00:04:29.998 --> 00:04:31.661
Que máis atoparemos no futuro?

00:04:31.757 --> 00:04:33.970
Ben, iso depende de ti.