Isto pode parecer un amoreamento de números ben ordenados,
pero en realidade é unha mina matemática.
Os matemáticos indios chamábanlle Escaleira do Monte Meru.
En Irán, é o triángulo de Khayyam.
E na China é o triángulo de Yang Hui.
En boa parte do mundo occidental é coñecido como o triángulo de Pascal,
polo matemático francés Blaise Pascal,
o que parece algo inxusto pois non foi dos primeiros en abordalo,
con todo, fixo grandes contribucións.
Que é o que ten para intrigar a matemáticos do mundo enteiro?
Resumindo, está cheo de padróns e segredos.
En primeiro lugar, está o padrón que o xera.
Comeza cun 1 e imaxina ceros invisibles a cada lado.
Súmaos de dous en dous, para xerar a seguinte fila.
Agora, faino unha e outra vez.
Continúa e acabarás con algo así,
aínda que o triángulo de Pascal continúe indefinidamente.
En cada fila temos os coeficientes do desenvolvemento
do binomio (x+y) elevado a n,
onde n é o número da fila,
se comenzamos a contar a partir do cero.
Polo que se n=2 e desenvolvemos,
obtemos (x^2)+2xy+(y^2).
Os coeficientes, ou números que preceden ás variables,
son os mesmos que os números da fila do triángulo de Pascal.
Veremos o mesmo con n=3, que se desenvolve así.
O triángulo é unha forma rápida e sinxela de obter todos eses coeficientes.
Pero hai moito máis.
Por exemplo, sumando os enteiros en cada fila,
obteremos as sucesivas potencias de dous.
Ou nunha fila dada considera cada número como parte dun desenvolvemento decimal.
Noutras palabras, a liña dous é (1x1) + (2x10) + (1x100).
Obtemos 121, que é 11^2.
Mira o que pasa cando fas o mesmo na liña seis.
Obteremos 1.771.561,
que é 11 elevado a 6,
e así sucesivamente.
Tamén hai aplicacións xeométricas.
Observa as diagonais.
As dúas primeiras non son moi interesantes:
a primeira só ten uns, a segunda, os enteiros positivos,
tamén coñecidos como números naturais.
Mais os números da diagonal seguinte son os chamados números triangulares
porque, se collemos todos eses puntos,
podemos amorealos en triángulos equiláteros.
A seguinte diagonal ten os números tetraédricos
porque, do mesmo xeito, podemos amorear as esferas en tetraedros.
E que che parece isto? Marcamos todos os números impares.
Non parece gran cousa cando o triángulo é pequeno,
porén se ampliamos miles de filas,
obtemos un fractal, coñecido como triángulo de Sierpinski.
Ese triángulo non é só unha obra de arte matemática.
Tamén é moi útil,
especialmente cando falamos de probabilidade e cálculos
no ámbito da combinatoria.
Digamos que queremos ter cinco fillos,
e desexamos saber a probabilidade
de termos unha familia con tres nenas e dous nenos.
No desenvolvemento binomial,
iso corresponde a (nena máis neno) elevado á quinta potencia.
Velaí que se miramos para a fila 5
o primeiro número corresponde a 5 nenas,
e o último corresponde a 5 nenos.
O terceiro número é o que estamos a buscar.
Son 10 de entre todas as posibilidades da fila.
Así que 10/32, ou o 31,25%.
Ou se estás escollendo ao chou un equipo de baloncesto de 5 xogadores
dun grupo de 12 amigos,
cantos grupos posibles de 5 podes formar?
En termos combinatorios
este problema enunciaríase como "5 sobre 12",
e calcularíase con esta fórmula,
ou senón procurariamos o sexto elemento da fila 12 do triángulo,
obtendo así a resposta.
Os padróns no Triángulo de Pascal
son un testemuño elegante entretecido que forman as matemáticas.
E aínda continúan a revelar novos segredos hoxe en día.
Por exemplo, os matemáticos descubriron hai pouco unha forma
de desenvolvelo a esta clase de polinomios.
Que máis atoparemos no futuro?
Ben, iso depende de ti.