Isto pode parecer un amoreamento
de números ben ordenados,
pero en realidade
é unha mina matemática.
Os matemáticos indios chamábanlle
Escaleira do Monte Meru.
En Irán, é o triángulo de Khayyam.
E na China é o triángulo de Yang Hui.
En boa parte do mundo occidental
é coñecido como o triángulo de Pascal,
polo matemático francés Blaise Pascal,
o que parece algo inxusto
pois non foi dos primeiros en abordalo,
con todo, fixo grandes contribucións.
Que é o que ten para intrigar
a matemáticos do mundo enteiro?
Resumindo,
está cheo de padróns e segredos.
En primeiro lugar,
está o padrón que o xera.
Comeza cun 1 e imaxina
ceros invisibles a cada lado.
Súmaos de dous en dous,
para xerar a seguinte fila.
Agora, faino unha e outra vez.
Continúa e acabarás con algo así,
aínda que o triángulo de Pascal
continúe indefinidamente.
En cada fila temos
os coeficientes do desenvolvemento
do binomio (x+y) elevado a n,
onde n é o número da fila,
se comenzamos a contar a partir do cero.
Polo que se n=2 e desenvolvemos,
obtemos (x^2)+2xy+(y^2).
Os coeficientes,
ou números que preceden ás variables,
son os mesmos que os números da fila
do triángulo de Pascal.
Veremos o mesmo con n=3,
que se desenvolve así.
O triángulo é unha forma rápida e sinxela
de obter todos eses coeficientes.
Pero hai moito máis.
Por exemplo,
sumando os enteiros en cada fila,
obteremos as sucesivas potencias de dous.
Ou nunha fila dada considera cada número
como parte dun desenvolvemento decimal.
Noutras palabras, a liña dous é
(1x1) + (2x10) + (1x100).
Obtemos 121, que é 11^2.
Mira o que pasa cando fas
o mesmo na liña seis.
Obteremos 1.771.561,
que é 11 elevado a 6,
e así sucesivamente.
Tamén hai aplicacións xeométricas.
Observa as diagonais.
As dúas primeiras
non son moi interesantes:
a primeira só ten uns,
a segunda, os enteiros positivos,
tamén coñecidos como números naturais.
Mais os números da diagonal seguinte
son os chamados números triangulares
porque, se collemos todos eses puntos,
podemos amorealos
en triángulos equiláteros.
A seguinte diagonal
ten os números tetraédricos
porque, do mesmo xeito,
podemos amorear as esferas en tetraedros.
E que che parece isto?
Marcamos todos os números impares.
Non parece gran cousa
cando o triángulo é pequeno,
porén se ampliamos miles de filas,
obtemos un fractal,
coñecido como triángulo de Sierpinski.
Ese triángulo non é só
unha obra de arte matemática.
Tamén é moi útil,
especialmente cando falamos
de probabilidade e cálculos
no ámbito da combinatoria.
Digamos que queremos ter cinco fillos,
e desexamos saber a probabilidade
de termos unha familia
con tres nenas e dous nenos.
No desenvolvemento binomial,
iso corresponde a (nena máis neno)
elevado á quinta potencia.
Velaí que se miramos para a fila 5
o primeiro número corresponde a 5 nenas,
e o último corresponde a 5 nenos.
O terceiro número
é o que estamos a buscar.
Son 10 de entre todas
as posibilidades da fila.
Así que 10/32, ou o 31,25%.
Ou se estás escollendo ao chou
un equipo de baloncesto de 5 xogadores
dun grupo de 12 amigos,
cantos grupos posibles de 5 podes formar?
En termos combinatorios
este problema enunciaríase
como "5 sobre 12",
e calcularíase con esta fórmula,
ou senón procurariamos o sexto
elemento da fila 12 do triángulo,
obtendo así a resposta.
Os padróns no Triángulo de Pascal
son un testemuño elegante entretecido
que forman as matemáticas.
E aínda continúan a revelar
novos segredos hoxe en día.
Por exemplo, os matemáticos
descubriron hai pouco unha forma
de desenvolvelo
a esta clase de polinomios.
Que máis atoparemos no futuro?
Ben, iso depende de ti.