Cela peut ressembler à un empilement de nombres bien rangés,
mais c'est en fait un trésor mathématique.
Les mathématiciens indiens l'appelaient « l'escalier du mont Meru ».
En Iran, il est appelé « Triangle de Khayyam ».
Et en Chine, il s'appelle « Triangle de Yang Hui ».
Pour une grande partie du monde occidental,
il est connu sous le nom de « Triangle de Pascal »,
d'après le mathématicien français Blaise Pascal,
ce qui semble un peu injuste car il est clairement arrivé après la bataille,
même s'il avait encore beaucoup à apporter.
Alors, qu'est-ce qui a tant intrigué
les mathématiciens du monde entier ?
En bref, il regorge de motifs et de secrets.
Tout d'abord, il y a le modèle qui le génère.
Commencez avec un un et imaginez-le encadré de zéros.
Additionnez les chiffres par paires et vous obtenez la ligne suivante.
Maintenant, recommencez encore et encore.
Continuez ainsi et vous aboutirez à quelque chose comme ça,
bien que le triangle de Pascal se poursuive à l'infini.
Chaque ligne correspond à ce qu'on appelle les coefficients du développement binomial
de la forme (x+y)^n
où n représente le rang de la ligne,
en commençant par 0 pour la première ligne.
Et donc, pour n= 2, en développant on obtient :
(x^2) + 2xy + (y^2)
Les coefficients, ou nombres devant les variables,
sont les mêmes que les nombres de la ligne correspondante du triangle de Pascal.
Vous pouvez voir la même chose pour n=3 qui se développe ainsi.
Ainsi ce triangle est un moyen simple et rapide de retrouver tous ces coefficients.
Mais il y a beaucoup plus.
Par exemple, en additionnant les nombres de chaque ligne
vous obtenez les puissances successives de 2.
Ou, pour une ligne donnée, traitez chaque nombre comme une décomposition décimale,
en d'autres termes, la deuxième ligne égale (1x1) + (2x10) + (1x100).
Vous obtenez 121, soit 11^2.
De la même manière, voyez ce qui se passe avec la sixième ligne.
La décomposition donne 1 771 561, soit 11^6 et ainsi de suite.
Il y a aussi des applications géométriques.
Prenez les diagonales.
Les deux premières ne sont pas très intéressantes : une suite de uns,
puis les nombres entiers positifs appelés entiers naturels.
Mais dans la diagonale suivante, les nombres sont appelés nombres triangulaires
parce qu’en prenant ce nombre de points,
vous pouvez les empiler en formant des triangles équilatéraux.
La diagonale suivante contient les nombres tétraédriques
parce que vous pouvez également empiler ce même nombre de billes dans un tétraèdre.
Ou encore ceci : grisez tous les nombres impairs.
Ça ne ressemble à rien quand le triangle est petit,
mais en considérant des milliers de lignes
vous obtenez une fractale connue sous le nom de « Triangle de Sierpinski ».
Ce triangle n'est pas seulement une œuvre d'art mathématique.
Il est aussi très utile
dans les calculs et les probabilités
dans le domaine de la combinatoire.
Disons que vous voulez avoir 5 enfants,
et que vous voulez connaître la probabilité
d'avoir votre famille rêvée de 3 filles et 2 garçons.
Dans le développement du binôme,
cela correspond à fille plus garçon le tout à la puissance 5.
Regardons la cinquième ligne,
ou le premier nombre correspond à 5 filles,
et le dernier à 5 garçons.
Le troisième correspond à ce que nous cherchons.
10 sur la totalité des possibilités de la ligne.
Donc 10 sur 32, soit 31,5 %.
Ou, si vous tirez au sort 5 joueurs de basket pour former une équipe
parmi un groupe de 12 amis,
combien d'équipes différentes pouvez-vous former ?
En combinatoire, ce problème s’énonce comme un tirage de 5 parmi 12,
et pourrait être calculé avec cette formule,
ou vous pouvez simplement regarder le 6eme élément de la 12eme ligne du triangle
pour avoir votre réponse.
Les motifs contenus dans le triangle de Pascal
témoignent de l'élégance du tissu des mathématiques.
Des secrets sont encore révélés de nos jours.
Par exemple, des mathématiciens ont découvert récemment
comment l'étendre à ce genre de polynômes.
Qu'est-ce qui viendra ensuite ?
Eh bien, ça dépend de vous !