WEBVTT

00:00:07.603 --> 00:00:11.000
Cela peut ressembler à un empilement 
de nombres bien rangés,

00:00:11.000 --> 00:00:14.506
mais c'est en fait
un trésor mathématique.

00:00:14.506 --> 00:00:18.654
Les mathématiciens indiens l'appelaient
« l'escalier du mont Meru ».

00:00:18.654 --> 00:00:21.131
En Iran, il est appelé 
« Triangle de Khayyam ».

00:00:21.131 --> 00:00:23.738
Et en Chine, il s'appelle
« Triangle de Yang Hui ».

00:00:23.738 --> 00:00:25.953
Pour une grande partie
du monde occidental,

00:00:25.953 --> 00:00:28.373
il est connu sous le nom
de « Triangle de Pascal »,

00:00:28.373 --> 00:00:31.085
d'après le mathématicien français
Blaise Pascal,

00:00:31.085 --> 00:00:35.234
ce qui semble un peu injuste car il est
clairement arrivé après la bataille,

00:00:35.234 --> 00:00:37.476
même s'il avait encore
beaucoup à apporter.

00:00:37.476 --> 00:00:40.100
Alors, qu'est-ce qui a tant intrigué

00:00:40.100 --> 00:00:42.270
les mathématiciens du monde entier ?

00:00:42.270 --> 00:00:46.124
En bref, il regorge
de motifs et de secrets.

00:00:46.124 --> 00:00:49.428
Tout d'abord, il y a le modèle
qui le génère.

00:00:49.428 --> 00:00:54.477
Commencez avec un un
et imaginez-le encadré de zéros.

00:00:54.477 --> 00:00:58.592
Additionnez les chiffres par paires 
et vous obtenez la ligne suivante.

00:00:58.592 --> 00:01:02.066
Maintenant, recommencez
encore et encore.

00:01:02.066 --> 00:01:05.784
Continuez ainsi et vous aboutirez
à quelque chose comme ça,

00:01:05.784 --> 00:01:09.325
bien que le triangle de Pascal
se poursuive à l'infini.

00:01:09.325 --> 00:01:14.914
Chaque ligne correspond à ce qu'on appelle
les coefficients du développement binomial

00:01:14.914 --> 00:01:18.898
de la forme (x+y)^n

00:01:18.898 --> 00:01:21.307
où n représente le rang de la ligne,

00:01:21.307 --> 00:01:23.746
en commençant par 0
pour la première ligne.

00:01:23.746 --> 00:01:26.552
Et donc, pour n= 2,
en développant on obtient :

00:01:26.552 --> 00:01:31.107
(x^2) + 2xy + (y^2)

00:01:31.107 --> 00:01:34.023
Les coefficients, ou nombres 
devant les variables,

00:01:34.023 --> 00:01:38.397
sont les mêmes que les nombres de la ligne
correspondante du triangle de Pascal.

00:01:38.397 --> 00:01:43.256
Vous pouvez voir la même chose pour n=3
qui se développe ainsi.

00:01:43.256 --> 00:01:48.493
Ainsi ce triangle est un moyen simple et
rapide de retrouver tous ces coefficients.

00:01:48.493 --> 00:01:50.037
Mais il y a beaucoup plus.

00:01:50.037 --> 00:01:52.897
Par exemple, en additionnant 
les nombres de chaque ligne

00:01:52.897 --> 00:01:56.039
vous obtenez
les puissances successives de 2.

00:01:56.039 --> 00:02:01.221
Ou, pour une ligne donnée, traitez chaque
nombre comme une décomposition décimale,

00:02:01.221 --> 00:02:07.835
en d'autres termes, la deuxième ligne
égale (1x1) + (2x10) + (1x100).

00:02:07.835 --> 00:02:12.111
Vous obtenez 121, soit 11^2.

00:02:12.111 --> 00:02:15.872
De la même manière, voyez ce qui se passe 
avec la sixième ligne.

00:02:15.872 --> 00:02:25.136
La décomposition donne 1 771 561,
soit 11^6 et ainsi de suite.

00:02:25.136 --> 00:02:27.890
Il y a aussi 
des applications géométriques.

00:02:27.890 --> 00:02:29.691
Prenez les diagonales.

00:02:29.691 --> 00:02:33.217
Les deux premières ne sont pas
très intéressantes : une suite de uns,

00:02:33.217 --> 00:02:36.656
puis les nombres entiers positifs
appelés entiers naturels.

00:02:36.656 --> 00:02:40.707
Mais dans la diagonale suivante, les
nombres sont appelés nombres triangulaires

00:02:40.707 --> 00:02:42.783
parce qu’en prenant ce nombre de points,

00:02:42.783 --> 00:02:46.389
vous pouvez les empiler 
en formant des triangles équilatéraux.

00:02:46.389 --> 00:02:49.307
La diagonale suivante contient
les nombres tétraédriques

00:02:49.307 --> 00:02:54.622
parce que vous pouvez également empiler ce
même nombre de billes dans un tétraèdre.

00:02:54.622 --> 00:02:57.996
Ou encore ceci :
grisez tous les nombres impairs.

00:02:57.996 --> 00:03:00.881
Ça ne ressemble à rien
quand le triangle est petit,

00:03:00.881 --> 00:03:03.298
mais en considérant des milliers de lignes

00:03:03.298 --> 00:03:07.439
vous obtenez une fractale connue sous
le nom de « Triangle de Sierpinski ».

00:03:07.439 --> 00:03:10.756
Ce triangle n'est pas seulement
une œuvre d'art mathématique.

00:03:10.756 --> 00:03:12.742
Il est aussi très utile

00:03:12.742 --> 00:03:15.481
dans les calculs et les probabilités

00:03:15.481 --> 00:03:18.566
dans le domaine de la combinatoire.

00:03:18.566 --> 00:03:20.454
Disons que vous voulez avoir 5 enfants,

00:03:20.454 --> 00:03:22.570
et que vous voulez connaître
la probabilité

00:03:22.570 --> 00:03:26.590
d'avoir votre famille rêvée
de 3 filles et 2 garçons.

00:03:26.590 --> 00:03:28.388
Dans le développement du binôme,

00:03:28.388 --> 00:03:32.116
cela correspond à fille plus garçon 
le tout à la puissance 5.

00:03:32.116 --> 00:03:33.660
Regardons la cinquième ligne,

00:03:33.660 --> 00:03:37.131
ou le premier nombre 
correspond à 5 filles,

00:03:37.131 --> 00:03:39.929
et le dernier à 5 garçons.

00:03:39.929 --> 00:03:42.692
Le troisième correspond
à ce que nous cherchons.

00:03:42.692 --> 00:03:46.642
10 sur la totalité
des possibilités de la ligne.

00:03:46.642 --> 00:03:51.490
Donc 10 sur 32, soit 31,5 %.

00:03:51.490 --> 00:03:55.316
Ou, si vous tirez au sort 5 joueurs
de basket pour former une équipe

00:03:55.316 --> 00:03:57.084
parmi un groupe de 12 amis,

00:03:57.084 --> 00:04:00.102
combien d'équipes différentes 
pouvez-vous former ?

00:04:00.102 --> 00:04:05.062
En combinatoire, ce problème s’énonce
comme un tirage de 5 parmi 12,

00:04:05.062 --> 00:04:07.237
et pourrait être calculé
avec cette formule,

00:04:07.237 --> 00:04:11.708
ou vous pouvez simplement regarder le
6eme élément de la 12eme ligne du triangle

00:04:11.708 --> 00:04:13.383
pour avoir votre réponse.

00:04:13.383 --> 00:04:15.589
Les motifs contenus
dans le triangle de Pascal

00:04:15.589 --> 00:04:19.387
témoignent de l'élégance
du tissu des mathématiques.

00:04:19.387 --> 00:04:23.271
Des secrets sont encore révélés
de nos jours.

00:04:23.271 --> 00:04:27.102
Par exemple, des mathématiciens
ont découvert récemment

00:04:27.102 --> 00:04:30.019
comment l'étendre à ce genre de polynômes.

00:04:30.019 --> 00:04:31.758
Qu'est-ce qui viendra ensuite ?

00:04:31.758 --> 00:04:34.097
Eh bien, ça dépend de vous !