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Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:07.60,0:00:11.00,Default,,0000,0000,0000,,Cela peut ressembler à un empilement \Nde nombres bien rangés,
Dialogue: 0,0:00:11.00,0:00:14.51,Default,,0000,0000,0000,,mais c'est en fait\Nun trésor mathématique.
Dialogue: 0,0:00:14.51,0:00:18.65,Default,,0000,0000,0000,,Les mathématiciens indiens l'appelaient\N« l'escalier du mont Meru ».
Dialogue: 0,0:00:18.65,0:00:21.13,Default,,0000,0000,0000,,En Iran, il est appelé \N« Triangle de Khayyam ».
Dialogue: 0,0:00:21.13,0:00:23.74,Default,,0000,0000,0000,,Et en Chine, il s'appelle\N« Triangle de Yang Hui ».
Dialogue: 0,0:00:23.74,0:00:25.95,Default,,0000,0000,0000,,Pour une grande partie\Ndu monde occidental,
Dialogue: 0,0:00:25.95,0:00:28.37,Default,,0000,0000,0000,,il est connu sous le nom\Nde « Triangle de Pascal »,
Dialogue: 0,0:00:28.37,0:00:31.08,Default,,0000,0000,0000,,d'après le mathématicien français\NBlaise Pascal,
Dialogue: 0,0:00:31.08,0:00:35.23,Default,,0000,0000,0000,,ce qui semble un peu injuste car il est\Nclairement arrivé après la bataille,
Dialogue: 0,0:00:35.23,0:00:37.48,Default,,0000,0000,0000,,même s'il avait encore\Nbeaucoup à apporter.
Dialogue: 0,0:00:37.48,0:00:40.10,Default,,0000,0000,0000,,Alors, qu'est-ce qui a tant intrigué
Dialogue: 0,0:00:40.10,0:00:42.27,Default,,0000,0000,0000,,les mathématiciens du monde entier ?
Dialogue: 0,0:00:42.27,0:00:46.12,Default,,0000,0000,0000,,En bref, il regorge\Nde motifs et de secrets.
Dialogue: 0,0:00:46.12,0:00:49.43,Default,,0000,0000,0000,,Tout d'abord, il y a le modèle\Nqui le génère.
Dialogue: 0,0:00:49.43,0:00:54.48,Default,,0000,0000,0000,,Commencez avec un un\Net imaginez-le encadré de zéros.
Dialogue: 0,0:00:54.48,0:00:58.59,Default,,0000,0000,0000,,Additionnez les chiffres par paires \Net vous obtenez la ligne suivante.
Dialogue: 0,0:00:58.59,0:01:02.07,Default,,0000,0000,0000,,Maintenant, recommencez\Nencore et encore.
Dialogue: 0,0:01:02.07,0:01:05.78,Default,,0000,0000,0000,,Continuez ainsi et vous aboutirez\Nà quelque chose comme ça,
Dialogue: 0,0:01:05.78,0:01:09.32,Default,,0000,0000,0000,,bien que le triangle de Pascal\Nse poursuive à l'infini.
Dialogue: 0,0:01:09.32,0:01:14.91,Default,,0000,0000,0000,,Chaque ligne correspond à ce qu'on appelle\Nles coefficients du développement binomial
Dialogue: 0,0:01:14.91,0:01:18.90,Default,,0000,0000,0000,,de la forme (x+y)^n
Dialogue: 0,0:01:18.90,0:01:21.31,Default,,0000,0000,0000,,où n représente le rang de la ligne,
Dialogue: 0,0:01:21.31,0:01:23.75,Default,,0000,0000,0000,,en commençant par 0\Npour la première ligne.
Dialogue: 0,0:01:23.75,0:01:26.55,Default,,0000,0000,0000,,Et donc, pour n= 2,\Nen développant on obtient :
Dialogue: 0,0:01:26.55,0:01:31.11,Default,,0000,0000,0000,,(x^2) + 2xy + (y^2)
Dialogue: 0,0:01:31.11,0:01:34.02,Default,,0000,0000,0000,,Les coefficients, ou nombres \Ndevant les variables,
Dialogue: 0,0:01:34.02,0:01:38.40,Default,,0000,0000,0000,,sont les mêmes que les nombres de la ligne\Ncorrespondante du triangle de Pascal.
Dialogue: 0,0:01:38.40,0:01:43.26,Default,,0000,0000,0000,,Vous pouvez voir la même chose pour n=3\Nqui se développe ainsi.
Dialogue: 0,0:01:43.26,0:01:48.49,Default,,0000,0000,0000,,Ainsi ce triangle est un moyen simple et\Nrapide de retrouver tous ces coefficients.
Dialogue: 0,0:01:48.49,0:01:50.04,Default,,0000,0000,0000,,Mais il y a beaucoup plus.
Dialogue: 0,0:01:50.04,0:01:52.90,Default,,0000,0000,0000,,Par exemple, en additionnant \Nles nombres de chaque ligne
Dialogue: 0,0:01:52.90,0:01:56.04,Default,,0000,0000,0000,,vous obtenez\Nles puissances successives de 2.
Dialogue: 0,0:01:56.04,0:02:01.22,Default,,0000,0000,0000,,Ou, pour une ligne donnée, traitez chaque\Nnombre comme une décomposition décimale,
Dialogue: 0,0:02:01.22,0:02:07.84,Default,,0000,0000,0000,,en d'autres termes, la deuxième ligne\Négale (1x1) + (2x10) + (1x100).
Dialogue: 0,0:02:07.84,0:02:12.11,Default,,0000,0000,0000,,Vous obtenez 121, soit 11^2.
Dialogue: 0,0:02:12.11,0:02:15.87,Default,,0000,0000,0000,,De la même manière, voyez ce qui se passe \Navec la sixième ligne.
Dialogue: 0,0:02:15.87,0:02:25.14,Default,,0000,0000,0000,,La décomposition donne 1 771 561,\Nsoit 11^6 et ainsi de suite.
Dialogue: 0,0:02:25.14,0:02:27.89,Default,,0000,0000,0000,,Il y a aussi \Ndes applications géométriques.
Dialogue: 0,0:02:27.89,0:02:29.69,Default,,0000,0000,0000,,Prenez les diagonales.
Dialogue: 0,0:02:29.69,0:02:33.22,Default,,0000,0000,0000,,Les deux premières ne sont pas\Ntrès intéressantes : une suite de uns,
Dialogue: 0,0:02:33.22,0:02:36.66,Default,,0000,0000,0000,,puis les nombres entiers positifs\Nappelés entiers naturels.
Dialogue: 0,0:02:36.66,0:02:40.71,Default,,0000,0000,0000,,Mais dans la diagonale suivante, les\Nnombres sont appelés nombres triangulaires
Dialogue: 0,0:02:40.71,0:02:42.78,Default,,0000,0000,0000,,parce qu’en prenant ce nombre de points,
Dialogue: 0,0:02:42.78,0:02:46.39,Default,,0000,0000,0000,,vous pouvez les empiler \Nen formant des triangles équilatéraux.
Dialogue: 0,0:02:46.39,0:02:49.31,Default,,0000,0000,0000,,La diagonale suivante contient\Nles nombres tétraédriques
Dialogue: 0,0:02:49.31,0:02:54.62,Default,,0000,0000,0000,,parce que vous pouvez également empiler ce\Nmême nombre de billes dans un tétraèdre.
Dialogue: 0,0:02:54.62,0:02:57.100,Default,,0000,0000,0000,,Ou encore ceci :\Ngrisez tous les nombres impairs.
Dialogue: 0,0:02:57.100,0:03:00.88,Default,,0000,0000,0000,,Ça ne ressemble à rien\Nquand le triangle est petit,
Dialogue: 0,0:03:00.88,0:03:03.30,Default,,0000,0000,0000,,mais en considérant des milliers de lignes
Dialogue: 0,0:03:03.30,0:03:07.44,Default,,0000,0000,0000,,vous obtenez une fractale connue sous\Nle nom de « Triangle de Sierpinski ».
Dialogue: 0,0:03:07.44,0:03:10.76,Default,,0000,0000,0000,,Ce triangle n'est pas seulement\Nune œuvre d'art mathématique.
Dialogue: 0,0:03:10.76,0:03:12.74,Default,,0000,0000,0000,,Il est aussi très utile
Dialogue: 0,0:03:12.74,0:03:15.48,Default,,0000,0000,0000,,dans les calculs et les probabilités
Dialogue: 0,0:03:15.48,0:03:18.57,Default,,0000,0000,0000,,dans le domaine de la combinatoire.
Dialogue: 0,0:03:18.57,0:03:20.45,Default,,0000,0000,0000,,Disons que vous voulez avoir 5 enfants,
Dialogue: 0,0:03:20.45,0:03:22.57,Default,,0000,0000,0000,,et que vous voulez connaître\Nla probabilité
Dialogue: 0,0:03:22.57,0:03:26.59,Default,,0000,0000,0000,,d'avoir votre famille rêvée\Nde 3 filles et 2 garçons.
Dialogue: 0,0:03:26.59,0:03:28.39,Default,,0000,0000,0000,,Dans le développement du binôme,
Dialogue: 0,0:03:28.39,0:03:32.12,Default,,0000,0000,0000,,cela correspond à fille plus garçon \Nle tout à la puissance 5.
Dialogue: 0,0:03:32.12,0:03:33.66,Default,,0000,0000,0000,,Regardons la cinquième ligne,
Dialogue: 0,0:03:33.66,0:03:37.13,Default,,0000,0000,0000,,ou le premier nombre \Ncorrespond à 5 filles,
Dialogue: 0,0:03:37.13,0:03:39.93,Default,,0000,0000,0000,,et le dernier à 5 garçons.
Dialogue: 0,0:03:39.93,0:03:42.69,Default,,0000,0000,0000,,Le troisième correspond\Nà ce que nous cherchons.
Dialogue: 0,0:03:42.69,0:03:46.64,Default,,0000,0000,0000,,10 sur la totalité\Ndes possibilités de la ligne.
Dialogue: 0,0:03:46.64,0:03:51.49,Default,,0000,0000,0000,,Donc 10 sur 32, soit 31,5 %.
Dialogue: 0,0:03:51.49,0:03:55.32,Default,,0000,0000,0000,,Ou, si vous tirez au sort 5 joueurs\Nde basket pour former une équipe
Dialogue: 0,0:03:55.32,0:03:57.08,Default,,0000,0000,0000,,parmi un groupe de 12 amis,
Dialogue: 0,0:03:57.08,0:04:00.10,Default,,0000,0000,0000,,combien d'équipes différentes \Npouvez-vous former ?
Dialogue: 0,0:04:00.10,0:04:05.06,Default,,0000,0000,0000,,En combinatoire, ce problème s’énonce\Ncomme un tirage de 5 parmi 12,
Dialogue: 0,0:04:05.06,0:04:07.24,Default,,0000,0000,0000,,et pourrait être calculé\Navec cette formule,
Dialogue: 0,0:04:07.24,0:04:11.71,Default,,0000,0000,0000,,ou vous pouvez simplement regarder le\N6eme élément de la 12eme ligne du triangle
Dialogue: 0,0:04:11.71,0:04:13.38,Default,,0000,0000,0000,,pour avoir votre réponse.
Dialogue: 0,0:04:13.38,0:04:15.59,Default,,0000,0000,0000,,Les motifs contenus\Ndans le triangle de Pascal
Dialogue: 0,0:04:15.59,0:04:19.39,Default,,0000,0000,0000,,témoignent de l'élégance\Ndu tissu des mathématiques.
Dialogue: 0,0:04:19.39,0:04:23.27,Default,,0000,0000,0000,,Des secrets sont encore révélés\Nde nos jours.
Dialogue: 0,0:04:23.27,0:04:27.10,Default,,0000,0000,0000,,Par exemple, des mathématiciens\Nont découvert récemment
Dialogue: 0,0:04:27.10,0:04:30.02,Default,,0000,0000,0000,,comment l'étendre à ce genre de polynômes.
Dialogue: 0,0:04:30.02,0:04:31.76,Default,,0000,0000,0000,,Qu'est-ce qui viendra ensuite ?
Dialogue: 0,0:04:31.76,0:04:34.10,Default,,0000,0000,0000,,Eh bien, ça dépend de vous !