1
00:00:07,603 --> 00:00:11,000
Cela peut ressembler à un empilement 
de nombres bien rangés,

2
00:00:11,000 --> 00:00:14,506
mais c'est en fait
un trésor mathématique.

3
00:00:14,506 --> 00:00:18,654
Les mathématiciens indiens l'appelaient
« l'escalier du mont Meru ».

4
00:00:18,654 --> 00:00:21,131
En Iran, il est appelé 
« Triangle de Khayyam ».

5
00:00:21,131 --> 00:00:23,738
Et en Chine, il s'appelle
« Triangle de Yang Hui ».

6
00:00:23,738 --> 00:00:25,953
Pour une grande partie
du monde occidental,

7
00:00:25,953 --> 00:00:28,373
il est connu sous le nom
de « Triangle de Pascal »,

8
00:00:28,373 --> 00:00:31,085
d'après le mathématicien français
Blaise Pascal,

9
00:00:31,085 --> 00:00:35,234
ce qui semble un peu injuste car il est
clairement arrivé après la bataille,

10
00:00:35,234 --> 00:00:37,476
même s'il avait encore
beaucoup à apporter.

11
00:00:37,476 --> 00:00:40,100
Alors, qu'est-ce qui a tant intrigué

12
00:00:40,100 --> 00:00:42,270
les mathématiciens du monde entier ?

13
00:00:42,270 --> 00:00:46,124
En bref, il regorge
de motifs et de secrets.

14
00:00:46,124 --> 00:00:49,428
Tout d'abord, il y a le modèle
qui le génère.

15
00:00:49,428 --> 00:00:54,477
Commencez avec un un
et imaginez-le encadré de zéros.

16
00:00:54,477 --> 00:00:58,592
Additionnez les chiffres par paires 
et vous obtenez la ligne suivante.

17
00:00:58,592 --> 00:01:02,066
Maintenant, recommencez
encore et encore.

18
00:01:02,066 --> 00:01:05,784
Continuez ainsi et vous aboutirez
à quelque chose comme ça,

19
00:01:05,784 --> 00:01:09,325
bien que le triangle de Pascal
se poursuive à l'infini.

20
00:01:09,325 --> 00:01:14,914
Chaque ligne correspond à ce qu'on appelle
les coefficients du développement binomial

21
00:01:14,914 --> 00:01:18,898
de la forme (x+y)^n

22
00:01:18,898 --> 00:01:21,307
où n représente le rang de la ligne,

23
00:01:21,307 --> 00:01:23,746
en commençant par 0
pour la première ligne.

24
00:01:23,746 --> 00:01:26,552
Et donc, pour n= 2,
en développant on obtient :

25
00:01:26,552 --> 00:01:31,107
(x^2) + 2xy + (y^2)

26
00:01:31,107 --> 00:01:34,023
Les coefficients, ou nombres 
devant les variables,

27
00:01:34,023 --> 00:01:38,397
sont les mêmes que les nombres de la ligne
correspondante du triangle de Pascal.

28
00:01:38,397 --> 00:01:43,256
Vous pouvez voir la même chose pour n=3
qui se développe ainsi.

29
00:01:43,256 --> 00:01:48,493
Ainsi ce triangle est un moyen simple et
rapide de retrouver tous ces coefficients.

30
00:01:48,493 --> 00:01:50,037
Mais il y a beaucoup plus.

31
00:01:50,037 --> 00:01:52,897
Par exemple, en additionnant 
les nombres de chaque ligne

32
00:01:52,897 --> 00:01:56,039
vous obtenez
les puissances successives de 2.

33
00:01:56,039 --> 00:02:01,221
Ou, pour une ligne donnée, traitez chaque
nombre comme une décomposition décimale,

34
00:02:01,221 --> 00:02:07,835
en d'autres termes, la deuxième ligne
égale (1x1) + (2x10) + (1x100).

35
00:02:07,835 --> 00:02:12,111
Vous obtenez 121, soit 11^2.

36
00:02:12,111 --> 00:02:15,872
De la même manière, voyez ce qui se passe 
avec la sixième ligne.

37
00:02:15,872 --> 00:02:25,136
La décomposition donne 1 771 561,
soit 11^6 et ainsi de suite.

38
00:02:25,136 --> 00:02:27,890
Il y a aussi 
des applications géométriques.

39
00:02:27,890 --> 00:02:29,691
Prenez les diagonales.

40
00:02:29,691 --> 00:02:33,217
Les deux premières ne sont pas
très intéressantes : une suite de uns,

41
00:02:33,217 --> 00:02:36,656
puis les nombres entiers positifs
appelés entiers naturels.

42
00:02:36,656 --> 00:02:40,707
Mais dans la diagonale suivante, les
nombres sont appelés nombres triangulaires

43
00:02:40,707 --> 00:02:42,783
parce qu’en prenant ce nombre de points,

44
00:02:42,783 --> 00:02:46,389
vous pouvez les empiler 
en formant des triangles équilatéraux.

45
00:02:46,389 --> 00:02:49,307
La diagonale suivante contient
les nombres tétraédriques

46
00:02:49,307 --> 00:02:54,622
parce que vous pouvez également empiler ce
même nombre de billes dans un tétraèdre.

47
00:02:54,622 --> 00:02:57,996
Ou encore ceci :
grisez tous les nombres impairs.

48
00:02:57,996 --> 00:03:00,881
Ça ne ressemble à rien
quand le triangle est petit,

49
00:03:00,881 --> 00:03:03,298
mais en considérant des milliers de lignes

50
00:03:03,298 --> 00:03:07,439
vous obtenez une fractale connue sous
le nom de « Triangle de Sierpinski ».

51
00:03:07,439 --> 00:03:10,756
Ce triangle n'est pas seulement
une œuvre d'art mathématique.

52
00:03:10,756 --> 00:03:12,742
Il est aussi très utile

53
00:03:12,742 --> 00:03:15,481
dans les calculs et les probabilités

54
00:03:15,481 --> 00:03:18,566
dans le domaine de la combinatoire.

55
00:03:18,566 --> 00:03:20,454
Disons que vous voulez avoir 5 enfants,

56
00:03:20,454 --> 00:03:22,570
et que vous voulez connaître
la probabilité

57
00:03:22,570 --> 00:03:26,590
d'avoir votre famille rêvée
de 3 filles et 2 garçons.

58
00:03:26,590 --> 00:03:28,388
Dans le développement du binôme,

59
00:03:28,388 --> 00:03:32,116
cela correspond à fille plus garçon 
le tout à la puissance 5.

60
00:03:32,116 --> 00:03:33,660
Regardons la cinquième ligne,

61
00:03:33,660 --> 00:03:37,131
ou le premier nombre 
correspond à 5 filles,

62
00:03:37,131 --> 00:03:39,929
et le dernier à 5 garçons.

63
00:03:39,929 --> 00:03:42,692
Le troisième correspond
à ce que nous cherchons.

64
00:03:42,692 --> 00:03:46,642
10 sur la totalité
des possibilités de la ligne.

65
00:03:46,642 --> 00:03:51,490
Donc 10 sur 32, soit 31,5 %.

66
00:03:51,490 --> 00:03:55,316
Ou, si vous tirez au sort 5 joueurs
de basket pour former une équipe

67
00:03:55,316 --> 00:03:57,084
parmi un groupe de 12 amis,

68
00:03:57,084 --> 00:04:00,102
combien d'équipes différentes 
pouvez-vous former ?

69
00:04:00,102 --> 00:04:05,062
En combinatoire, ce problème s’énonce
comme un tirage de 5 parmi 12,

70
00:04:05,062 --> 00:04:07,237
et pourrait être calculé
avec cette formule,

71
00:04:07,237 --> 00:04:11,708
ou vous pouvez simplement regarder le
6eme élément de la 12eme ligne du triangle

72
00:04:11,708 --> 00:04:13,383
pour avoir votre réponse.

73
00:04:13,383 --> 00:04:15,589
Les motifs contenus
dans le triangle de Pascal

74
00:04:15,589 --> 00:04:19,387
témoignent de l'élégance
du tissu des mathématiques.

75
00:04:19,387 --> 00:04:23,271
Des secrets sont encore révélés
de nos jours.

76
00:04:23,271 --> 00:04:27,102
Par exemple, des mathématiciens
ont découvert récemment

77
00:04:27,102 --> 00:04:30,019
comment l'étendre à ce genre de polynômes.

78
00:04:30,019 --> 00:04:31,758
Qu'est-ce qui viendra ensuite ?

79
00:04:31,758 --> 00:04:34,097
Eh bien, ça dépend de vous !