0:00:07.603,0:00:11.000
Cela peut ressembler à un empilement [br]de nombres bien rangés,

0:00:11.000,0:00:14.506
mais c'est en fait[br]un trésor mathématique.

0:00:14.506,0:00:18.654
Les mathématiciens indiens l'appelaient[br]« l'escalier du mont Meru ».

0:00:18.654,0:00:21.131
En Iran, il est appelé [br]« Triangle de Khayyam ».

0:00:21.131,0:00:23.738
Et en Chine, il s'appelle[br]« Triangle de Yang Hui ».

0:00:23.738,0:00:25.953
Pour une grande partie[br]du monde occidental,

0:00:25.953,0:00:28.373
il est connu sous le nom[br]de « Triangle de Pascal »,

0:00:28.373,0:00:31.085
d'après le mathématicien français[br]Blaise Pascal,

0:00:31.085,0:00:35.234
ce qui semble un peu injuste car il est[br]clairement arrivé après la bataille,

0:00:35.234,0:00:37.476
même s'il avait encore[br]beaucoup à apporter.

0:00:37.476,0:00:40.100
Alors, qu'est-ce qui a tant intrigué

0:00:40.100,0:00:42.270
les mathématiciens du monde entier ?

0:00:42.270,0:00:46.124
En bref, il regorge[br]de motifs et de secrets.

0:00:46.124,0:00:49.428
Tout d'abord, il y a le modèle[br]qui le génère.

0:00:49.428,0:00:54.477
Commencez avec un un[br]et imaginez-le encadré de zéros.

0:00:54.477,0:00:58.592
Additionnez les chiffres par paires [br]et vous obtenez la ligne suivante.

0:00:58.592,0:01:02.066
Maintenant, recommencez[br]encore et encore.

0:01:02.066,0:01:05.784
Continuez ainsi et vous aboutirez[br]à quelque chose comme ça,

0:01:05.784,0:01:09.325
bien que le triangle de Pascal[br]se poursuive à l'infini.

0:01:09.325,0:01:14.914
Chaque ligne correspond à ce qu'on appelle[br]les coefficients du développement binomial

0:01:14.914,0:01:18.898
de la forme (x+y)^n

0:01:18.898,0:01:21.307
où n représente le rang de la ligne,

0:01:21.307,0:01:23.746
en commençant par 0[br]pour la première ligne.

0:01:23.746,0:01:26.552
Et donc, pour n= 2,[br]en développant on obtient :

0:01:26.552,0:01:31.107
(x^2) + 2xy + (y^2)

0:01:31.107,0:01:34.023
Les coefficients, ou nombres [br]devant les variables,

0:01:34.023,0:01:38.397
sont les mêmes que les nombres de la ligne[br]correspondante du triangle de Pascal.

0:01:38.397,0:01:43.256
Vous pouvez voir la même chose pour n=3[br]qui se développe ainsi.

0:01:43.256,0:01:48.493
Ainsi ce triangle est un moyen simple et[br]rapide de retrouver tous ces coefficients.

0:01:48.493,0:01:50.037
Mais il y a beaucoup plus.

0:01:50.037,0:01:52.897
Par exemple, en additionnant [br]les nombres de chaque ligne

0:01:52.897,0:01:56.039
vous obtenez[br]les puissances successives de 2.

0:01:56.039,0:02:01.221
Ou, pour une ligne donnée, traitez chaque[br]nombre comme une décomposition décimale,

0:02:01.221,0:02:07.835
en d'autres termes, la deuxième ligne[br]égale (1x1) + (2x10) + (1x100).

0:02:07.835,0:02:12.111
Vous obtenez 121, soit 11^2.

0:02:12.111,0:02:15.872
De la même manière, voyez ce qui se passe [br]avec la sixième ligne.

0:02:15.872,0:02:25.136
La décomposition donne 1 771 561,[br]soit 11^6 et ainsi de suite.

0:02:25.136,0:02:27.890
Il y a aussi [br]des applications géométriques.

0:02:27.890,0:02:29.691
Prenez les diagonales.

0:02:29.691,0:02:33.217
Les deux premières ne sont pas[br]très intéressantes : une suite de uns,

0:02:33.217,0:02:36.656
puis les nombres entiers positifs[br]appelés entiers naturels.

0:02:36.656,0:02:40.707
Mais dans la diagonale suivante, les[br]nombres sont appelés nombres triangulaires

0:02:40.707,0:02:42.783
parce qu’en prenant ce nombre de points,

0:02:42.783,0:02:46.389
vous pouvez les empiler [br]en formant des triangles équilatéraux.

0:02:46.389,0:02:49.307
La diagonale suivante contient[br]les nombres tétraédriques

0:02:49.307,0:02:54.622
parce que vous pouvez également empiler ce[br]même nombre de billes dans un tétraèdre.

0:02:54.622,0:02:57.996
Ou encore ceci :[br]grisez tous les nombres impairs.

0:02:57.996,0:03:00.881
Ça ne ressemble à rien[br]quand le triangle est petit,

0:03:00.881,0:03:03.298
mais en considérant des milliers de lignes

0:03:03.298,0:03:07.439
vous obtenez une fractale connue sous[br]le nom de « Triangle de Sierpinski ».

0:03:07.439,0:03:10.756
Ce triangle n'est pas seulement[br]une œuvre d'art mathématique.

0:03:10.756,0:03:12.742
Il est aussi très utile

0:03:12.742,0:03:15.481
dans les calculs et les probabilités

0:03:15.481,0:03:18.566
dans le domaine de la combinatoire.

0:03:18.566,0:03:20.454
Disons que vous voulez avoir 5 enfants,

0:03:20.454,0:03:22.570
et que vous voulez connaître[br]la probabilité

0:03:22.570,0:03:26.590
d'avoir votre famille rêvée[br]de 3 filles et 2 garçons.

0:03:26.590,0:03:28.388
Dans le développement du binôme,

0:03:28.388,0:03:32.116
cela correspond à fille plus garçon [br]le tout à la puissance 5.

0:03:32.116,0:03:33.660
Regardons la cinquième ligne,

0:03:33.660,0:03:37.131
ou le premier nombre [br]correspond à 5 filles,

0:03:37.131,0:03:39.929
et le dernier à 5 garçons.

0:03:39.929,0:03:42.692
Le troisième correspond[br]à ce que nous cherchons.

0:03:42.692,0:03:46.642
10 sur la totalité[br]des possibilités de la ligne.

0:03:46.642,0:03:51.490
Donc 10 sur 32, soit 31,5 %.

0:03:51.490,0:03:55.316
Ou, si vous tirez au sort 5 joueurs[br]de basket pour former une équipe

0:03:55.316,0:03:57.084
parmi un groupe de 12 amis,

0:03:57.084,0:04:00.102
combien d'équipes différentes [br]pouvez-vous former ?

0:04:00.102,0:04:05.062
En combinatoire, ce problème s’énonce[br]comme un tirage de 5 parmi 12,

0:04:05.062,0:04:07.237
et pourrait être calculé[br]avec cette formule,

0:04:07.237,0:04:11.708
ou vous pouvez simplement regarder le[br]6eme élément de la 12eme ligne du triangle

0:04:11.708,0:04:13.383
pour avoir votre réponse.

0:04:13.383,0:04:15.589
Les motifs contenus[br]dans le triangle de Pascal

0:04:15.589,0:04:19.387
témoignent de l'élégance[br]du tissu des mathématiques.

0:04:19.387,0:04:23.271
Des secrets sont encore révélés[br]de nos jours.

0:04:23.271,0:04:27.102
Par exemple, des mathématiciens[br]ont découvert récemment

0:04:27.102,0:04:30.019
comment l'étendre à ce genre de polynômes.

0:04:30.019,0:04:31.758
Qu'est-ce qui viendra ensuite ?

0:04:31.758,0:04:34.097
Eh bien, ça dépend de vous !