WEBVTT

00:00:07.603 --> 00:00:11.000
این ممکن است تنها تعدادی
از اعداد مرتب پشت سرهم باشد،

00:00:11.000 --> 00:00:14.506
اما عملاً گنجینه ای
در ریاضی محسوب می شوند.

00:00:14.506 --> 00:00:18.654
ریاضی دانان هندی آن را
«پلکان کوه مِرو» می نامند.

00:00:18.654 --> 00:00:21.131
در ایران «مثلث خیام» نام دارد.

00:00:21.131 --> 00:00:23.738
در چین، به مثلث «یانگ هُوی» معروف است.

00:00:23.738 --> 00:00:28.033
در دنیای غرب البته،
بیشتر به مثلث پاسکال معروف است

00:00:28.033 --> 00:00:31.085
به نام ریاضی دان فرانسوی
«بلیز پاسکال»

00:00:31.085 --> 00:00:35.234
که به نظر غیر عادلانه است
چرا که در میان تمام نام ها او آخرین هست.

00:00:35.234 --> 00:00:37.476
با این وجود خدمات زیادی به بشریت کرده است.

00:00:37.476 --> 00:00:42.270
خب چه چیزی راجع به این موضوع جالب است
که ریاضیدانان را به وجد می آورد؟

00:00:42.270 --> 00:00:46.124
به طور خلاصه، این پر از الگوها و رازهاست.

00:00:46.124 --> 00:00:49.428
اولین و مهمترین آن،
الگویی است که آن را می سازد.

00:00:49.428 --> 00:00:54.477
با یک شروع کنید و صفرهای نامرئی را
در هر طرف از آن تصور کنید.

00:00:54.477 --> 00:00:58.592
جفت جفت آن ها را باهم جمع کنید،
خط دوم ساخته خواهد شد.

00:00:58.592 --> 00:01:02.066
حال دوباره و دوباره این کار را بکنید.

00:01:02.066 --> 00:01:05.784
ادامه دهید تا به چیزی مثل این برسید،

00:01:05.784 --> 00:01:09.325
البته مثلث پاسکال
تا بینهایت ادامه می یابد.

00:01:09.325 --> 00:01:14.914
حال، هر سطر معادل ضرایب
بسط دو جمله ای می باشد

00:01:14.914 --> 00:01:18.898
که باز شده عبارت زیر است:
(x+y) به توان n

00:01:18.898 --> 00:01:21.307
که عدد n شماره سطر است،

00:01:21.307 --> 00:01:23.746
و ما از صفر شروع می کنیم.

00:01:23.746 --> 00:01:26.552
خوب اگر n برابر با ۲ باشد،
و آن را بسط دهیم،

00:01:26.552 --> 00:01:31.107
به x^2+2xy+y^2 می رسیم.

00:01:31.107 --> 00:01:34.023
این ضرایب، یا اعداد کنار متغیرها،

00:01:34.023 --> 00:01:38.397
همان اعداد سطرهای مثلث پاسکال هستند.

00:01:38.397 --> 00:01:43.256
شما مورد مشابهی را برای n=۳ خواهید دید.

00:01:43.256 --> 00:01:48.493
پس این مثلث روشی سریع و ساده برای
یافتن این ضرایب است.

00:01:48.493 --> 00:01:50.037
اما چیزهای بیشتری نیز هست.

00:01:50.037 --> 00:01:52.897
برای مثال، اعداد در هر سطر را جمع کنید،

00:01:52.897 --> 00:01:56.039
و شما به توان های متوالی ۲ می رسید.

00:01:56.039 --> 00:02:01.221
یا در هر سطر مشخص،
هر عدد را به عنوان بسط ده دهی ببینید.

00:02:01.221 --> 00:02:07.835
به عبارت دیگر، سطر دوم عبارتست از:
(۱x۱)+(۲x۱۰)+(۱x۱۰۰)

00:02:07.835 --> 00:02:12.111
شما به ۱۲۱ می رسید،
که همان مربع ۱۱ است.

00:02:12.111 --> 00:02:15.872
و ببینید چه اتفاقی می افتد
وقتی به سطر ششم می رسید.

00:02:15.872 --> 00:02:25.136
مقدار آن به ۱٫۷۷۱٫۵۶۱ می رسد
که همان ۱۱ به توان ۶ است، و ادامه دارد.

00:02:25.136 --> 00:02:27.890
کاربردهای هندسی نیز وجود دارد.

00:02:27.890 --> 00:02:29.691
به این قطرها نگاه کنید.

00:02:29.691 --> 00:02:34.117
دوتای اول خیلی جالب نیستند:
هردو یک هستند، و سپس اعداد مثبت می آیند.

00:02:34.117 --> 00:02:36.656
که به اعداد طبیعی معروف هستند.

00:02:36.656 --> 00:02:40.707
ولی اعداد در قطر بعدی را
اعداد مثلثی می نامند

00:02:40.707 --> 00:02:42.783
چرا که اگر آن ها نقطه لحاظ کنی،

00:02:42.783 --> 00:02:46.389
می توانید آن را به عنوان
مثلث متساوی الاضلاع ببینید.

00:02:46.389 --> 00:02:49.307
قطر بعدی اعدادی چهاروجهی هستند.

00:02:49.307 --> 00:02:54.622
چرا که به طور مشابه، شما می توانید
کره های زیادی را درون چهار وجهی جای دهید.

00:02:54.622 --> 00:02:57.996
یا درباره این مطلب:
تمامی اعداد فرد را بپوشانید.

00:02:57.996 --> 00:03:00.881
وقتی مثلث کوچک است،
خیلی زیاد به نظر نمی رسد

00:03:00.881 --> 00:03:03.298
اما اگر هزاران سطر را باهم جمع کنید،

00:03:03.298 --> 00:03:07.439
شما به الگوهای همسانی به نام
«مثلث سیرپینسکی» می رسید.

00:03:07.439 --> 00:03:10.756
این مثلث فقط نتیجه هنر ریاضیاتی نیست.

00:03:10.756 --> 00:03:12.742
بسیار پرکاربرد است،

00:03:12.742 --> 00:03:15.481
به خصوص وقتی بحث محاسبات و احتمالات

00:03:15.481 --> 00:03:18.566
در حوزه ترکیبیات پیش می آید.

00:03:18.566 --> 00:03:20.454
فرض کنید می خواهید
پنج بچه داشته باشید،

00:03:20.454 --> 00:03:22.270
می خواهم احتمال این را بدانم

00:03:22.270 --> 00:03:26.590
که خانواده رویایی شما
با سه دختر و دو پسر چگونه است.

00:03:26.590 --> 00:03:28.388
این همان بسط دو جمله ای است،

00:03:28.388 --> 00:03:32.116
که مرتبط با مجموع پسر و دختر
به توان پنج است.

00:03:32.116 --> 00:03:33.660
خب، نگاهی به سطر پنج می اندازیم،

00:03:33.660 --> 00:03:37.131
که عدد اول مرتبط با پنج دختر است،

00:03:37.131 --> 00:03:39.929
و عدد آخر مرتبط با پنج پسر است.

00:03:39.929 --> 00:03:42.692
عدد سوم چیزی است که دنبال آن هستیم.

00:03:42.692 --> 00:03:46.642
۱۰ تا از تمام حالات ممکن در این سطر.

00:03:46.642 --> 00:03:51.490
که حاصل آن ۱۰/۳۲ یا ۳۱/۲۵٪ می شود.

00:03:51.490 --> 00:03:55.316
یا اگر شما به طور تصادفی
تیم پنج نفره از بسکتبال را

00:03:55.316 --> 00:03:57.084
از میان ۱۲ نفر انتخاب کنید،

00:03:57.084 --> 00:04:00.102
چند گروه پنج نفره در آنجا خواهد بود؟

00:04:00.102 --> 00:04:05.062
در زبان ترکیبیاتی، این مسأله
همان انتخاب ۵ از ۱۲ است،

00:04:05.062 --> 00:04:07.237
و با این فرمول محاسبه می شود،

00:04:07.237 --> 00:04:11.708
یا شما کافی است که به عدد ششم
از سطر ۱۲ مثلث نگاه کنید

00:04:11.708 --> 00:04:13.383
و جواب را بیابید.

00:04:13.383 --> 00:04:15.079
الگوها در مثلث پاسکال

00:04:15.079 --> 00:04:19.387
همان اصول موجود در تار و پود ریاضی هستند.

00:04:19.387 --> 00:04:23.271
و هنوز اسرار تازه ای از این
کشف می شوند.

00:04:23.271 --> 00:04:27.422
برای مثال، ریاضی دانان
به تازگی روشی برای بسطِ

00:04:27.422 --> 00:04:30.019
این چند جمله ها کشف کردند.

00:04:30.019 --> 00:04:31.758
ممکن است چه چیزی را بعداً بیابید؟

00:04:31.758 --> 00:04:34.097
خب، این به عهده شماست.