1
00:00:07,603 --> 00:00:11,000
این ممکن است تنها تعدادی
از اعداد مرتب پشت سرهم باشد،

2
00:00:11,000 --> 00:00:14,506
اما عملاً گنجینه ای
در ریاضی محسوب می شوند.

3
00:00:14,506 --> 00:00:18,654
ریاضی دانان هندی آن را
«پلکان کوه مِرو» می نامند.

4
00:00:18,654 --> 00:00:21,131
در ایران «مثلث خیام» نام دارد.

5
00:00:21,131 --> 00:00:23,738
در چین، به مثلث «یانگ هُوی» معروف است.

6
00:00:23,738 --> 00:00:28,033
در دنیای غرب البته،
بیشتر به مثلث پاسکال معروف است

7
00:00:28,033 --> 00:00:31,085
به نام ریاضی دان فرانسوی
«بلیز پاسکال»

8
00:00:31,085 --> 00:00:35,234
که به نظر غیر عادلانه است
چرا که در میان تمام نام ها او آخرین هست.

9
00:00:35,234 --> 00:00:37,476
با این وجود خدمات زیادی به بشریت کرده است.

10
00:00:37,476 --> 00:00:42,270
خب چه چیزی راجع به این موضوع جالب است
که ریاضیدانان را به وجد می آورد؟

11
00:00:42,270 --> 00:00:46,124
به طور خلاصه، این پر از الگوها و رازهاست.

12
00:00:46,124 --> 00:00:49,428
اولین و مهمترین آن،
الگویی است که آن را می سازد.

13
00:00:49,428 --> 00:00:54,477
با یک شروع کنید و صفرهای نامرئی را
در هر طرف از آن تصور کنید.

14
00:00:54,477 --> 00:00:58,592
جفت جفت آن ها را باهم جمع کنید،
خط دوم ساخته خواهد شد.

15
00:00:58,592 --> 00:01:02,066
حال دوباره و دوباره این کار را بکنید.

16
00:01:02,066 --> 00:01:05,784
ادامه دهید تا به چیزی مثل این برسید،

17
00:01:05,784 --> 00:01:09,325
البته مثلث پاسکال
تا بینهایت ادامه می یابد.

18
00:01:09,325 --> 00:01:14,914
حال، هر سطر معادل ضرایب
بسط دو جمله ای می باشد

19
00:01:14,914 --> 00:01:18,898
که باز شده عبارت زیر است:
(x+y) به توان n

20
00:01:18,898 --> 00:01:21,307
که عدد n شماره سطر است،

21
00:01:21,307 --> 00:01:23,746
و ما از صفر شروع می کنیم.

22
00:01:23,746 --> 00:01:26,552
خوب اگر n برابر با ۲ باشد،
و آن را بسط دهیم،

23
00:01:26,552 --> 00:01:31,107
به x^2+2xy+y^2 می رسیم.

24
00:01:31,107 --> 00:01:34,023
این ضرایب، یا اعداد کنار متغیرها،

25
00:01:34,023 --> 00:01:38,397
همان اعداد سطرهای مثلث پاسکال هستند.

26
00:01:38,397 --> 00:01:43,256
شما مورد مشابهی را برای n=۳ خواهید دید.

27
00:01:43,256 --> 00:01:48,493
پس این مثلث روشی سریع و ساده برای
یافتن این ضرایب است.

28
00:01:48,493 --> 00:01:50,037
اما چیزهای بیشتری نیز هست.

29
00:01:50,037 --> 00:01:52,897
برای مثال، اعداد در هر سطر را جمع کنید،

30
00:01:52,897 --> 00:01:56,039
و شما به توان های متوالی ۲ می رسید.

31
00:01:56,039 --> 00:02:01,221
یا در هر سطر مشخص،
هر عدد را به عنوان بسط ده دهی ببینید.

32
00:02:01,221 --> 00:02:07,835
به عبارت دیگر، سطر دوم عبارتست از:
(۱x۱)+(۲x۱۰)+(۱x۱۰۰)

33
00:02:07,835 --> 00:02:12,111
شما به ۱۲۱ می رسید،
که همان مربع ۱۱ است.

34
00:02:12,111 --> 00:02:15,872
و ببینید چه اتفاقی می افتد
وقتی به سطر ششم می رسید.

35
00:02:15,872 --> 00:02:25,136
مقدار آن به ۱٫۷۷۱٫۵۶۱ می رسد
که همان ۱۱ به توان ۶ است، و ادامه دارد.

36
00:02:25,136 --> 00:02:27,890
کاربردهای هندسی نیز وجود دارد.

37
00:02:27,890 --> 00:02:29,691
به این قطرها نگاه کنید.

38
00:02:29,691 --> 00:02:34,117
دوتای اول خیلی جالب نیستند:
هردو یک هستند، و سپس اعداد مثبت می آیند.

39
00:02:34,117 --> 00:02:36,656
که به اعداد طبیعی معروف هستند.

40
00:02:36,656 --> 00:02:40,707
ولی اعداد در قطر بعدی را
اعداد مثلثی می نامند

41
00:02:40,707 --> 00:02:42,783
چرا که اگر آن ها نقطه لحاظ کنی،

42
00:02:42,783 --> 00:02:46,389
می توانید آن را به عنوان
مثلث متساوی الاضلاع ببینید.

43
00:02:46,389 --> 00:02:49,307
قطر بعدی اعدادی چهاروجهی هستند.

44
00:02:49,307 --> 00:02:54,622
چرا که به طور مشابه، شما می توانید
کره های زیادی را درون چهار وجهی جای دهید.

45
00:02:54,622 --> 00:02:57,996
یا درباره این مطلب:
تمامی اعداد فرد را بپوشانید.

46
00:02:57,996 --> 00:03:00,881
وقتی مثلث کوچک است،
خیلی زیاد به نظر نمی رسد

47
00:03:00,881 --> 00:03:03,298
اما اگر هزاران سطر را باهم جمع کنید،

48
00:03:03,298 --> 00:03:07,439
شما به الگوهای همسانی به نام
«مثلث سیرپینسکی» می رسید.

49
00:03:07,439 --> 00:03:10,756
این مثلث فقط نتیجه هنر ریاضیاتی نیست.

50
00:03:10,756 --> 00:03:12,742
بسیار پرکاربرد است،

51
00:03:12,742 --> 00:03:15,481
به خصوص وقتی بحث محاسبات و احتمالات

52
00:03:15,481 --> 00:03:18,566
در حوزه ترکیبیات پیش می آید.

53
00:03:18,566 --> 00:03:20,454
فرض کنید می خواهید
پنج بچه داشته باشید،

54
00:03:20,454 --> 00:03:22,270
می خواهم احتمال این را بدانم

55
00:03:22,270 --> 00:03:26,590
که خانواده رویایی شما
با سه دختر و دو پسر چگونه است.

56
00:03:26,590 --> 00:03:28,388
این همان بسط دو جمله ای است،

57
00:03:28,388 --> 00:03:32,116
که مرتبط با مجموع پسر و دختر
به توان پنج است.

58
00:03:32,116 --> 00:03:33,660
خب، نگاهی به سطر پنج می اندازیم،

59
00:03:33,660 --> 00:03:37,131
که عدد اول مرتبط با پنج دختر است،

60
00:03:37,131 --> 00:03:39,929
و عدد آخر مرتبط با پنج پسر است.

61
00:03:39,929 --> 00:03:42,692
عدد سوم چیزی است که دنبال آن هستیم.

62
00:03:42,692 --> 00:03:46,642
۱۰ تا از تمام حالات ممکن در این سطر.

63
00:03:46,642 --> 00:03:51,490
که حاصل آن ۱۰/۳۲ یا ۳۱/۲۵٪ می شود.

64
00:03:51,490 --> 00:03:55,316
یا اگر شما به طور تصادفی
تیم پنج نفره از بسکتبال را

65
00:03:55,316 --> 00:03:57,084
از میان ۱۲ نفر انتخاب کنید،

66
00:03:57,084 --> 00:04:00,102
چند گروه پنج نفره در آنجا خواهد بود؟

67
00:04:00,102 --> 00:04:05,062
در زبان ترکیبیاتی، این مسأله
همان انتخاب ۵ از ۱۲ است،

68
00:04:05,062 --> 00:04:07,237
و با این فرمول محاسبه می شود،

69
00:04:07,237 --> 00:04:11,708
یا شما کافی است که به عدد ششم
از سطر ۱۲ مثلث نگاه کنید

70
00:04:11,708 --> 00:04:13,383
و جواب را بیابید.

71
00:04:13,383 --> 00:04:15,079
الگوها در مثلث پاسکال

72
00:04:15,079 --> 00:04:19,387
همان اصول موجود در تار و پود ریاضی هستند.

73
00:04:19,387 --> 00:04:23,271
و هنوز اسرار تازه ای از این
کشف می شوند.

74
00:04:23,271 --> 00:04:27,422
برای مثال، ریاضی دانان
به تازگی روشی برای بسطِ

75
00:04:27,422 --> 00:04:30,019
این چند جمله ها کشف کردند.

76
00:04:30,019 --> 00:04:31,758
ممکن است چه چیزی را بعداً بیابید؟

77
00:04:31,758 --> 00:04:34,097
خب، این به عهده شماست.