0:00:07.603,0:00:11.000
این ممکن است تنها تعدادی[br]از اعداد مرتب پشت سرهم باشد،

0:00:11.000,0:00:14.506
اما عملاً گنجینه ای[br]در ریاضی محسوب می شوند.

0:00:14.506,0:00:18.654
ریاضی دانان هندی آن را[br]«پلکان کوه مِرو» می نامند.

0:00:18.654,0:00:21.131
در ایران «مثلث خیام» نام دارد.

0:00:21.131,0:00:23.738
در چین، به مثلث «یانگ هُوی» معروف است.

0:00:23.738,0:00:28.033
در دنیای غرب البته،[br]بیشتر به مثلث پاسکال معروف است

0:00:28.033,0:00:31.085
به نام ریاضی دان فرانسوی[br]«بلیز پاسکال»

0:00:31.085,0:00:35.234
که به نظر غیر عادلانه است[br]چرا که در میان تمام نام ها او آخرین هست.

0:00:35.234,0:00:37.476
با این وجود خدمات زیادی به بشریت کرده است.

0:00:37.476,0:00:42.270
خب چه چیزی راجع به این موضوع جالب است[br]که ریاضیدانان را به وجد می آورد؟

0:00:42.270,0:00:46.124
به طور خلاصه، این پر از الگوها و رازهاست.

0:00:46.124,0:00:49.428
اولین و مهمترین آن،[br]الگویی است که آن را می سازد.

0:00:49.428,0:00:54.477
با یک شروع کنید و صفرهای نامرئی را[br]در هر طرف از آن تصور کنید.

0:00:54.477,0:00:58.592
جفت جفت آن ها را باهم جمع کنید،[br]خط دوم ساخته خواهد شد.

0:00:58.592,0:01:02.066
حال دوباره و دوباره این کار را بکنید.

0:01:02.066,0:01:05.784
ادامه دهید تا به چیزی مثل این برسید،

0:01:05.784,0:01:09.325
البته مثلث پاسکال[br]تا بینهایت ادامه می یابد.

0:01:09.325,0:01:14.914
حال، هر سطر معادل ضرایب[br]بسط دو جمله ای می باشد

0:01:14.914,0:01:18.898
که باز شده عبارت زیر است:[br](x+y) به توان n

0:01:18.898,0:01:21.307
که عدد n شماره سطر است،

0:01:21.307,0:01:23.746
و ما از صفر شروع می کنیم.

0:01:23.746,0:01:26.552
خوب اگر n برابر با ۲ باشد،[br]و آن را بسط دهیم،

0:01:26.552,0:01:31.107
به x^2+2xy+y^2 می رسیم.

0:01:31.107,0:01:34.023
این ضرایب، یا اعداد کنار متغیرها،

0:01:34.023,0:01:38.397
همان اعداد سطرهای مثلث پاسکال هستند.

0:01:38.397,0:01:43.256
شما مورد مشابهی را برای n=۳ خواهید دید.

0:01:43.256,0:01:48.493
پس این مثلث روشی سریع و ساده برای[br]یافتن این ضرایب است.

0:01:48.493,0:01:50.037
اما چیزهای بیشتری نیز هست.

0:01:50.037,0:01:52.897
برای مثال، اعداد در هر سطر را جمع کنید،

0:01:52.897,0:01:56.039
و شما به توان های متوالی ۲ می رسید.

0:01:56.039,0:02:01.221
یا در هر سطر مشخص،[br]هر عدد را به عنوان بسط ده دهی ببینید.

0:02:01.221,0:02:07.835
به عبارت دیگر، سطر دوم عبارتست از:[br](۱x۱)+(۲x۱۰)+(۱x۱۰۰)

0:02:07.835,0:02:12.111
شما به ۱۲۱ می رسید،[br]که همان مربع ۱۱ است.

0:02:12.111,0:02:15.872
و ببینید چه اتفاقی می افتد[br]وقتی به سطر ششم می رسید.

0:02:15.872,0:02:25.136
مقدار آن به ۱٫۷۷۱٫۵۶۱ می رسد[br]که همان ۱۱ به توان ۶ است، و ادامه دارد.

0:02:25.136,0:02:27.890
کاربردهای هندسی نیز وجود دارد.

0:02:27.890,0:02:29.691
به این قطرها نگاه کنید.

0:02:29.691,0:02:34.117
دوتای اول خیلی جالب نیستند:[br]هردو یک هستند، و سپس اعداد مثبت می آیند.

0:02:34.117,0:02:36.656
که به اعداد طبیعی معروف هستند.

0:02:36.656,0:02:40.707
ولی اعداد در قطر بعدی را[br]اعداد مثلثی می نامند

0:02:40.707,0:02:42.783
چرا که اگر آن ها نقطه لحاظ کنی،

0:02:42.783,0:02:46.389
می توانید آن را به عنوان[br]مثلث متساوی الاضلاع ببینید.

0:02:46.389,0:02:49.307
قطر بعدی اعدادی چهاروجهی هستند.

0:02:49.307,0:02:54.622
چرا که به طور مشابه، شما می توانید[br]کره های زیادی را درون چهار وجهی جای دهید.

0:02:54.622,0:02:57.996
یا درباره این مطلب:[br]تمامی اعداد فرد را بپوشانید.

0:02:57.996,0:03:00.881
وقتی مثلث کوچک است،[br]خیلی زیاد به نظر نمی رسد

0:03:00.881,0:03:03.298
اما اگر هزاران سطر را باهم جمع کنید،

0:03:03.298,0:03:07.439
شما به الگوهای همسانی به نام[br]«مثلث سیرپینسکی» می رسید.

0:03:07.439,0:03:10.756
این مثلث فقط نتیجه هنر ریاضیاتی نیست.

0:03:10.756,0:03:12.742
بسیار پرکاربرد است،

0:03:12.742,0:03:15.481
به خصوص وقتی بحث محاسبات و احتمالات

0:03:15.481,0:03:18.566
در حوزه ترکیبیات پیش می آید.

0:03:18.566,0:03:20.454
فرض کنید می خواهید[br]پنج بچه داشته باشید،

0:03:20.454,0:03:22.270
می خواهم احتمال این را بدانم

0:03:22.270,0:03:26.590
که خانواده رویایی شما[br]با سه دختر و دو پسر چگونه است.

0:03:26.590,0:03:28.388
این همان بسط دو جمله ای است،

0:03:28.388,0:03:32.116
که مرتبط با مجموع پسر و دختر[br]به توان پنج است.

0:03:32.116,0:03:33.660
خب، نگاهی به سطر پنج می اندازیم،

0:03:33.660,0:03:37.131
که عدد اول مرتبط با پنج دختر است،

0:03:37.131,0:03:39.929
و عدد آخر مرتبط با پنج پسر است.

0:03:39.929,0:03:42.692
عدد سوم چیزی است که دنبال آن هستیم.

0:03:42.692,0:03:46.642
۱۰ تا از تمام حالات ممکن در این سطر.

0:03:46.642,0:03:51.490
که حاصل آن ۱۰/۳۲ یا ۳۱/۲۵٪ می شود.

0:03:51.490,0:03:55.316
یا اگر شما به طور تصادفی[br]تیم پنج نفره از بسکتبال را

0:03:55.316,0:03:57.084
از میان ۱۲ نفر انتخاب کنید،

0:03:57.084,0:04:00.102
چند گروه پنج نفره در آنجا خواهد بود؟

0:04:00.102,0:04:05.062
در زبان ترکیبیاتی، این مسأله[br]همان انتخاب ۵ از ۱۲ است،

0:04:05.062,0:04:07.237
و با این فرمول محاسبه می شود،

0:04:07.237,0:04:11.708
یا شما کافی است که به عدد ششم[br]از سطر ۱۲ مثلث نگاه کنید

0:04:11.708,0:04:13.383
و جواب را بیابید.

0:04:13.383,0:04:15.079
الگوها در مثلث پاسکال

0:04:15.079,0:04:19.387
همان اصول موجود در تار و پود ریاضی هستند.

0:04:19.387,0:04:23.271
و هنوز اسرار تازه ای از این[br]کشف می شوند.

0:04:23.271,0:04:27.422
برای مثال، ریاضی دانان[br]به تازگی روشی برای بسطِ

0:04:27.422,0:04:30.019
این چند جمله ها کشف کردند.

0:04:30.019,0:04:31.758
ممکن است چه چیزی را بعداً بیابید؟

0:04:31.758,0:04:34.097
خب، این به عهده شماست.