این ممکن است تنها تعدادی از اعداد مرتب پشت سرهم باشد،
اما عملاً گنجینه ای در ریاضی محسوب می شوند.
ریاضی دانان هندی آن را «پلکان کوه مِرو» می نامند.
در ایران «مثلث خیام» نام دارد.
در چین، به مثلث «یانگ هُوی» معروف است.
در دنیای غرب البته، بیشتر به مثلث پاسکال معروف است
به نام ریاضی دان فرانسوی «بلیز پاسکال»
که به نظر غیر عادلانه است چرا که در میان تمام نام ها او آخرین هست.
با این وجود خدمات زیادی به بشریت کرده است.
خب چه چیزی راجع به این موضوع جالب است که ریاضیدانان را به وجد می آورد؟
به طور خلاصه، این پر از الگوها و رازهاست.
اولین و مهمترین آن، الگویی است که آن را می سازد.
با یک شروع کنید و صفرهای نامرئی را در هر طرف از آن تصور کنید.
جفت جفت آن ها را باهم جمع کنید، خط دوم ساخته خواهد شد.
حال دوباره و دوباره این کار را بکنید.
ادامه دهید تا به چیزی مثل این برسید،
البته مثلث پاسکال تا بینهایت ادامه می یابد.
حال، هر سطر معادل ضرایب بسط دو جمله ای می باشد
که باز شده عبارت زیر است: (x+y) به توان n
که عدد n شماره سطر است،
و ما از صفر شروع می کنیم.
خوب اگر n برابر با ۲ باشد، و آن را بسط دهیم،
به x^2+2xy+y^2 می رسیم.
این ضرایب، یا اعداد کنار متغیرها،
همان اعداد سطرهای مثلث پاسکال هستند.
شما مورد مشابهی را برای n=۳ خواهید دید.
پس این مثلث روشی سریع و ساده برای یافتن این ضرایب است.
اما چیزهای بیشتری نیز هست.
برای مثال، اعداد در هر سطر را جمع کنید،
و شما به توان های متوالی ۲ می رسید.
یا در هر سطر مشخص، هر عدد را به عنوان بسط ده دهی ببینید.
به عبارت دیگر، سطر دوم عبارتست از: (۱x۱)+(۲x۱۰)+(۱x۱۰۰)
شما به ۱۲۱ می رسید، که همان مربع ۱۱ است.
و ببینید چه اتفاقی می افتد وقتی به سطر ششم می رسید.
مقدار آن به ۱٫۷۷۱٫۵۶۱ می رسد که همان ۱۱ به توان ۶ است، و ادامه دارد.
کاربردهای هندسی نیز وجود دارد.
به این قطرها نگاه کنید.
دوتای اول خیلی جالب نیستند: هردو یک هستند، و سپس اعداد مثبت می آیند.
که به اعداد طبیعی معروف هستند.
ولی اعداد در قطر بعدی را اعداد مثلثی می نامند
چرا که اگر آن ها نقطه لحاظ کنی،
می توانید آن را به عنوان مثلث متساوی الاضلاع ببینید.
قطر بعدی اعدادی چهاروجهی هستند.
چرا که به طور مشابه، شما می توانید کره های زیادی را درون چهار وجهی جای دهید.
یا درباره این مطلب: تمامی اعداد فرد را بپوشانید.
وقتی مثلث کوچک است، خیلی زیاد به نظر نمی رسد
اما اگر هزاران سطر را باهم جمع کنید،
شما به الگوهای همسانی به نام «مثلث سیرپینسکی» می رسید.
این مثلث فقط نتیجه هنر ریاضیاتی نیست.
بسیار پرکاربرد است،
به خصوص وقتی بحث محاسبات و احتمالات
در حوزه ترکیبیات پیش می آید.
فرض کنید می خواهید پنج بچه داشته باشید،
می خواهم احتمال این را بدانم
که خانواده رویایی شما با سه دختر و دو پسر چگونه است.
این همان بسط دو جمله ای است،
که مرتبط با مجموع پسر و دختر به توان پنج است.
خب، نگاهی به سطر پنج می اندازیم،
که عدد اول مرتبط با پنج دختر است،
و عدد آخر مرتبط با پنج پسر است.
عدد سوم چیزی است که دنبال آن هستیم.
۱۰ تا از تمام حالات ممکن در این سطر.
که حاصل آن ۱۰/۳۲ یا ۳۱/۲۵٪ می شود.
یا اگر شما به طور تصادفی تیم پنج نفره از بسکتبال را
از میان ۱۲ نفر انتخاب کنید،
چند گروه پنج نفره در آنجا خواهد بود؟
در زبان ترکیبیاتی، این مسأله همان انتخاب ۵ از ۱۲ است،
و با این فرمول محاسبه می شود،
یا شما کافی است که به عدد ششم از سطر ۱۲ مثلث نگاه کنید
و جواب را بیابید.
الگوها در مثلث پاسکال
همان اصول موجود در تار و پود ریاضی هستند.
و هنوز اسرار تازه ای از این کشف می شوند.
برای مثال، ریاضی دانان به تازگی روشی برای بسطِ
این چند جمله ها کشف کردند.
ممکن است چه چیزی را بعداً بیابید؟
خب، این به عهده شماست.