WEBVTT

00:00:07.603 --> 00:00:11.000
Esto puede parecer una pila
de números bien ordenados,

00:00:11.000 --> 00:00:14.506
pero en realidad es un tesoro matemático.

00:00:14.506 --> 00:00:18.654
Los matemáticos indios la llamaron 
escalera del Monte Meru.

00:00:18.654 --> 00:00:21.131
En Irán, es el triángulo de Khayyam.

00:00:21.131 --> 00:00:23.738
Y en China, es el triángulo de Yang Hui.

00:00:23.738 --> 00:00:28.033
Para gran parte del mundo occidental, 
se le conoce como el triángulo de Pascal

00:00:28.033 --> 00:00:31.085
por el matemático francés Blaise Pascal,

00:00:31.085 --> 00:00:35.234
lo que parece algo injusto ya que él 
llegó claramente tarde a la fiesta,

00:00:35.234 --> 00:00:37.476
pero todavía tenía mucho que aportar.

00:00:37.476 --> 00:00:42.270
¿Qué es lo que tiene que ha intrigado 
a los matemáticos de todo el mundo?

00:00:42.270 --> 00:00:46.124
En resumen, 
está lleno de patrones y secretos.

00:00:46.124 --> 00:00:49.428
En primer lugar, 
está el patrón que lo genera.

00:00:49.428 --> 00:00:54.477
Comienza con 1 e imagina 0 invisibles 
a cada lado del mismo.

00:00:54.477 --> 00:00:58.592
Suma los pares, 
para generar la siguiente fila.

00:00:58.592 --> 00:01:02.066
Ahora, haz esto una y otra vez.

00:01:02.066 --> 00:01:05.784
Sigue adelante y terminarás 
con algo como esto,

00:01:05.784 --> 00:01:09.325
aunque en realidad el triángulo de Pascal 
continúa infinitamente.

00:01:09.325 --> 00:01:14.914
Cada fila corresponde a lo que se llama 
los coeficientes de un desarrollo binomial

00:01:14.914 --> 00:01:18.898
de la forma (x + y) ^ n,

00:01:18.898 --> 00:01:21.307
donde n es el número de la fila,

00:01:21.307 --> 00:01:23.746
empezando a contar desde cero.

00:01:23.746 --> 00:01:26.552
Así que si haces a n = 2 y lo expandes,

00:01:26.552 --> 00:01:31.107
te da (x ^ 2) + 2xy + (y ^ 2).

00:01:31.107 --> 00:01:34.023
Los coeficientes o números 
delante de las variables,

00:01:34.023 --> 00:01:38.397
son los mismos que los números 
en la fila del Triángulo de Pascal.

00:01:38.397 --> 00:01:43.256
Verás lo mismo con n = 3, 
que se expande a esto.

00:01:43.256 --> 00:01:48.493
El triángulo es una manera rápida y fácil 
de consultar todos estos coeficientes.

00:01:48.493 --> 00:01:50.037
Pero hay mucho más.

00:01:50.037 --> 00:01:52.897
Por ejemplo, 
suma los números en cada fila,

00:01:52.897 --> 00:01:56.039
y obtendrás sucesivas potencias de 2.

00:01:56.039 --> 00:02:01.221
O en una fila trata cada número 
como parte de una expansión decimal.

00:02:01.221 --> 00:02:07.835
En otras palabras, 
la fila dos es (1x1) + (2x10) + (1x100).

00:02:07.835 --> 00:02:12.111
Obtendrás 121, que es 11 ^ 2.

00:02:12.111 --> 00:02:15.872
Y echa un vistazo a lo que sucede 
cuando haces lo mismo a la fila 6.

00:02:15.872 --> 00:02:25.136
Suma 1.771.561, 
que es 11 ^ 6, y así sucesivamente.

00:02:25.136 --> 00:02:27.890
También hay aplicaciones geométricas.

00:02:27.890 --> 00:02:29.691
Mira las diagonales.

00:02:29.691 --> 00:02:34.117
Las dos primeras poco interesantes: 
todos uno, y luego los enteros positivos,

00:02:34.117 --> 00:02:36.656
también conocidos como números naturales.

00:02:36.656 --> 00:02:40.707
Pero los números en la siguiente diagonal 
son llamados los números triangulares

00:02:40.707 --> 00:02:42.783
porque al tomar muchos puntos,

00:02:42.783 --> 00:02:46.389
puedes apilarlos 
en triángulos equiláteros.

00:02:46.389 --> 00:02:49.307
La siguiente diagonal 
tiene los números tetraédricos

00:02:49.307 --> 00:02:54.622
porque del mismo modo, puedes apilar 
muchas esferas en tetraedros.

00:02:54.622 --> 00:02:57.996
O qué tal esto: sombreado 
en todos los números impares.

00:02:57.996 --> 00:03:00.881
No parece mucho 
con el triángulo pequeño,

00:03:00.881 --> 00:03:03.298
pero si se agregas miles de filas,

00:03:03.298 --> 00:03:07.439
obtienes un fractal 
conocido como triángulo de Sierpinski.

00:03:07.439 --> 00:03:10.756
Este triángulo no es solo 
un trabajo de arte matemático.

00:03:10.756 --> 00:03:12.742
También es muy útil,

00:03:12.742 --> 00:03:15.481
especialmente cuando se trata 
de probabilidad y cálculos

00:03:15.481 --> 00:03:18.566
en el dominio de la combinatoria.

00:03:18.566 --> 00:03:20.454
Digamos que quieres tener 5 hijos,

00:03:20.454 --> 00:03:22.270
y te gustaría saber la probabilidad

00:03:22.270 --> 00:03:26.590
de tener tu familia de ensueño 
de 3 niñas y 2 niños.

00:03:26.590 --> 00:03:28.388
En la expansión binomial,

00:03:28.388 --> 00:03:32.116
corresponde a chica más chico 
a la quinta potencia.

00:03:32.116 --> 00:03:33.660
Fijémonos en la fila cinco,

00:03:33.660 --> 00:03:37.131
donde el primer número 
corresponde a 5 chicas,

00:03:37.131 --> 00:03:39.929
y el último corresponde a 5 chicos.

00:03:39.929 --> 00:03:42.692
El tercer número 
es lo que estamos buscando.

00:03:42.692 --> 00:03:46.642
10 de la suma de todas 
las posibilidades en la fila.

00:03:46.642 --> 00:03:51.490
de modo 10/32, o 31,25 %.

00:03:51.490 --> 00:03:55.316
O, si estás escogiendo al azar un equipo 
de baloncesto de 5 jugadores

00:03:55.316 --> 00:03:57.084
de un grupo de 12 amigos,

00:03:57.084 --> 00:04:00.102
¿cuántos posibles grupos de 5 hay?

00:04:00.102 --> 00:04:05.062
En términos combinatorias, este problema 
se expresa como de 12 elegir 5,

00:04:05.062 --> 00:04:07.237
y podría calcularse con esta fórmula,

00:04:07.237 --> 00:04:11.708
o podrías mirar el sexto elemento 
de la fila doce en el triángulo

00:04:11.708 --> 00:04:13.383
y obtener tu respuesta.

00:04:13.383 --> 00:04:15.209
Los patrones en el triángulo de Pascal

00:04:15.209 --> 00:04:19.387
son un testimonio del elegante 
entretejido de las matemáticas.

00:04:19.387 --> 00:04:23.271
Y todavía está revelando 
secretos frescos a hoy.

00:04:23.271 --> 00:04:27.422
Por ejemplo, se descubrió 
recientemente una manera de ampliarlo

00:04:27.422 --> 00:04:30.019
a este tipo de polinomios.

00:04:30.019 --> 00:04:31.838
¿Qué podemos encontrar a continuación?

00:04:31.838 --> 00:04:34.157
Bueno, eso depende de ti.