Esto puede parecer una pila de números bien ordenados,
pero en realidad es un tesoro matemático.
Los matemáticos indios la llamaron escalera del Monte Meru.
En Irán, es el triángulo de Khayyam.
Y en China, es el triángulo de Yang Hui.
Para gran parte del mundo occidental, se le conoce como el triángulo de Pascal
por el matemático francés Blaise Pascal,
lo que parece algo injusto ya que él llegó claramente tarde a la fiesta,
pero todavía tenía mucho que aportar.
¿Qué es lo que tiene que ha intrigado a los matemáticos de todo el mundo?
En resumen, está lleno de patrones y secretos.
En primer lugar, está el patrón que lo genera.
Comienza con 1 e imagina 0 invisibles a cada lado del mismo.
Suma los pares, para generar la siguiente fila.
Ahora, haz esto una y otra vez.
Sigue adelante y terminarás con algo como esto,
aunque en realidad el triángulo de Pascal continúa infinitamente.
Cada fila corresponde a lo que se llama los coeficientes de un desarrollo binomial
de la forma (x + y) ^ n,
donde n es el número de la fila,
empezando a contar desde cero.
Así que si haces a n = 2 y lo expandes,
te da (x ^ 2) + 2xy + (y ^ 2).
Los coeficientes o números delante de las variables,
son los mismos que los números en la fila del Triángulo de Pascal.
Verás lo mismo con n = 3, que se expande a esto.
El triángulo es una manera rápida y fácil de consultar todos estos coeficientes.
Pero hay mucho más.
Por ejemplo, suma los números en cada fila,
y obtendrás sucesivas potencias de 2.
O en una fila trata cada número como parte de una expansión decimal.
En otras palabras, la fila dos es (1x1) + (2x10) + (1x100).
Obtendrás 121, que es 11 ^ 2.
Y echa un vistazo a lo que sucede cuando haces lo mismo a la fila 6.
Suma 1.771.561, que es 11 ^ 6, y así sucesivamente.
También hay aplicaciones geométricas.
Mira las diagonales.
Las dos primeras poco interesantes: todos uno, y luego los enteros positivos,
también conocidos como números naturales.
Pero los números en la siguiente diagonal son llamados los números triangulares
porque al tomar muchos puntos,
puedes apilarlos en triángulos equiláteros.
La siguiente diagonal tiene los números tetraédricos
porque del mismo modo, puedes apilar muchas esferas en tetraedros.
O qué tal esto: sombreado en todos los números impares.
No parece mucho con el triángulo pequeño,
pero si se agregas miles de filas,
obtienes un fractal conocido como triángulo de Sierpinski.
Este triángulo no es solo un trabajo de arte matemático.
También es muy útil,
especialmente cuando se trata de probabilidad y cálculos
en el dominio de la combinatoria.
Digamos que quieres tener 5 hijos,
y te gustaría saber la probabilidad
de tener tu familia de ensueño de 3 niñas y 2 niños.
En la expansión binomial,
corresponde a chica más chico a la quinta potencia.
Fijémonos en la fila cinco,
donde el primer número corresponde a 5 chicas,
y el último corresponde a 5 chicos.
El tercer número es lo que estamos buscando.
10 de la suma de todas las posibilidades en la fila.
de modo 10/32, o 31,25 %.
O, si estás escogiendo al azar un equipo de baloncesto de 5 jugadores
de un grupo de 12 amigos,
¿cuántos posibles grupos de 5 hay?
En términos combinatorias, este problema se expresa como de 12 elegir 5,
y podría calcularse con esta fórmula,
o podrías mirar el sexto elemento de la fila doce en el triángulo
y obtener tu respuesta.
Los patrones en el triángulo de Pascal
son un testimonio del elegante entretejido de las matemáticas.
Y todavía está revelando secretos frescos a hoy.
Por ejemplo, se descubrió recientemente una manera de ampliarlo
a este tipo de polinomios.
¿Qué podemos encontrar a continuación?
Bueno, eso depende de ti.