قد يبدو لك هذا الشكل أشبه بكومة من الأرقام المرتبة ،
لكنه في الواقع، كنز رياضي قيّم جداً.
علماء الرياضيات الهنود يسمونه سُلّم "جبل ميرو".
وفي إيران يسمى مثلث "الخيّام".
وفي الصين يسمى مثلث "يانغ واي".
أما بالنسبة للغرب فهو معروف باسم مثلث "باسكال"،
نسبةً لعالم الرياضيات الفرنسي بلايز باسكال.
هذا يبدو غير عادل بعض الشيء بما أن باسكال كان متأخراً بكثيرعن باقي العلماء.
ومع ذلك فقد كان لديه الكثير ليقدّمه.
لكن ما هو السرّ في هذا المثلث لكي يأسر علماء الرياضيات في كافة أنحاء العالم ؟
باختصار، إنّه مليء بالأنماط والأسرار.
أول هذه الأنماط وأهمها يكمن في النمط الذي يولده هذا المثلث :
تخيل الرقم 1 وبجانبه أصفار غير مرئية من الطرفين.
اجمعها معا كأزواج ، سيتولد لديك السطر التالي.
والآن، افعل ذلك المرة تلو الأخرى.
استمر في العملية نفسها، و سيتشكل لديك في نهاية المطاف هذا الشكل.
إنّ مثلث باسكال في الواقع يتجه نحو اللانهاية.
الآن تجد أن كل سطر يتطابق مع ما نسميه "مُعامِل (أمثال) التوسع ثنائي الحدّ"،
من الشكل (س+ع) مرفوعًا للأس ن ،
حيث ن هو عدد الأسطر،
ونبدأ العدّ من الصفر.
فعلى سبيل المثال، إذا جعلنا ن= 2 و وسعناه ،
فسنحصل على (س ^2) +2(س ع)+(ع^2)،
الأمثال، أو الأرقام التي تكون أمام المتغيرات،
هي ذاتها الأرقام في ذاك السطر الموجود في مثلث باسكال.
ستجد نفس النتيجة إذا جعلتَ ن = 3 الذي ستيوسع كما في الشكل.
لذلك يعطي هذا المثلث طريقة سريعة وسهلة للبحث عن كل هذه الأمثال.
ولكن هناك المزيد أيضاً ،
على سبيل المثال اجمع الأرقام في كل سطر،
سوف تحصل على الرقم 2 مرفوعاً إلى قوى متتالية.
أو في أي سطر مُعطى، قم بتجربة كل رقم في توسعه العشري.
بمعنى آخر, السطر الثاني هو (1x1) + (2x10) + (1x100).
والجواب هو 121, أو 11 مرفوعا للأس 2.
والآن ألق نظرة على ما سيحدث لو قمت بنفس العملية على السطر السادس.
سنحصل على 1,771,561 أو 11 مرفوعاً للقوة 6 , وهلّم جرّاً.
لهذا المثلث أيضا تطبيقات هندسية.
انظر إلى الأقطار،أول قطرين
ليسا مهمين،باعتبارهما مؤلفين من الرقم 1 فقط، بعدها تجد
الصحيحة الموجبة،والتي تعرف أيضا بالأعداد الطبيعية.
لكن الأرقام في القطر التالي تسمى الأرقام المثلثية،
لأنّك لو أخذت تلك النقاط الكثيرة،
فسوف تستطيع أن تشكل من خلالها مثلثًا متساوي الأضلاع.
القطر التالي يأخذ شكلًا رباعي الوجوه،
لأنك، بشكل مماثل، تستطيع أن تكدّس تلك الكريات على شكل رباعي الوجوه.
وماذا عن هذا أيضا: ظلّل كافة الأرقام الفردية،
لا يبدو الشكل واضحاً عندما يكون المثلث صغيرا،
لكن إذا أضفتَ آلاف الأسطر،
فسوف تحصل على نمط هندسي متكرر معروف باسم مثلث "سييربنسكي".
هذا المثلث ليس عملاً رياضيّا فنيا فحسب،
بل هو أيضاً على قدر كبير من الأهمية،
خصوصاً فيما يتعلق بالاحتمالات والعمليات الحسابية،
في مجال "التوافقيات".
افترضْ أنك تريد أن يكون لديك خمسة أطفال،
ورغبتَ أن تعرف احتمال
أن يكون لديك العائلة التي تحلم بها، والمؤلفة من ثلاثة فتيات وصبيين.
حسب التوسع ثنائي الحد،
فإن ذلك يكافئ (فتاة + صبي) مرفوعا إلى الأس 5 .
لذلك ننظر إلى السطر الخامس،
حيث العدد الأول يكافئ 5 فتيات،
والعدد الأخير يكافئ 5 فتيان.
الرقم الثالث هو الرقم الذي نبحث عنه.
وهو الرقم 10 مقسوماً على مجموع كافة الاحتمالات في السطر.
لذلك نكتب 32\10 أو 31.25%.
أو إذا اخترتَ عشوائيا فريق كرة سلة مؤلف من خمسة لاعبين ،
ضمن مجموعة مؤلفة من 12 صديقا،
ما عدد المجموعات المحتملة المؤلفة من 5 أشخاص ؟
بحسب "التوافقية" فإنّ هذه المسألة يتم صياغتها كاثني عشر شخصا يختارون خمسة أشخاص.
ويمكن حسابها عن طريق هذه المعادلة،
أو تستطيع النظر إلى العنصر السادس من السطر الثاني عشر في المثلث
وسوف تحصل على الإجابة.
هذه الأنماط في مثلث باسكال،
هي شهادة على بنية الرياضيات المتشابكة مع بعضها بشكل أنيق.
والتي ما تزال تكشف عن أسرار جديدة حتى هذا اليوم.
على سبيل المثال, اكتشف الرياضيّون مؤخراً طريقا لتوسيع هذا المثلث
إلى هذه الأشكال من كثيرات الحدود.
ما الذي قد نجده مستقبلاً ؟
حسنٌ, هذا الأمر متروكٌ لك.