Return to Video

Teorema da divergência em 2D

  • 0:00 - 0:02
    RKA2JV - Olá, meu amigo ou minha amiga!
  • 0:02 - 0:03
    Tudo bem com você?
  • 0:03 - 0:08
    Seja muito bem-vindo ou bem-vinda
    a mais um vídeo da Khan Academy Brasil!
  • 0:08 - 0:13
    Neste vídeo, vamos conversar sobre o
    teorema da divergência em duas dimensões.
  • 0:13 - 0:15
    Para começar a conversar sobre isso,
  • 0:15 - 0:16
    vamos relembrar que, antes,
  • 0:16 - 0:20
    aprendemos um pouco sobre como
    construir um vetor normal unitário
  • 0:20 - 0:22
    em qualquer ponto de uma curva.
  • 0:22 - 0:25
    Inclusive, foi isso que fizemos
    no último vídeo.
  • 0:25 - 0:29
    Agora eu quero começar a explorar
    uma expressão interessante.
  • 0:29 - 0:33
    Eu vou escrever aqui a integral de linha
    em torno de um caminho fechado
  • 0:33 - 0:39
    e vamos definir que a orientação positiva
    está no sentido anti-horário.
  • 0:39 - 0:41
    Nós vamos nos movimentar nesse sentido.
  • 0:41 - 0:46
    Aí, esta integral do produto escalar
    entre uma função F
  • 0:46 - 0:50
    com vetor normal unitário
    em qualquer ponto dessa curva.
  • 0:50 - 0:52
    Ah, e colocamos o ds aqui, também.
  • 0:52 - 0:55
    A primeira coisa a fazer é conceituar
    isto que eu estou fazendo aqui
  • 0:55 - 0:58
    e tentar compreender o que
    isso está me dizendo.
  • 0:58 - 1:02
    Sendo assim, vamos manipular
    esta expressão um pouco
  • 1:02 - 1:05
    para ver se podemos chegar
    a uma conclusão interessante.
  • 1:05 - 1:07
    Para isso, eu vou usar o teorema de Green
  • 1:07 - 1:11
    e aí vamos chegar a uma versão
    bidimensional do teorema da divergência,
  • 1:11 - 1:13
    o que parece muito complicado,
  • 1:13 - 1:15
    mas eu espero que a gente
    consiga fazer isso
  • 1:15 - 1:17
    e que você consiga compreender.
  • 1:17 - 1:19
    Vamos pensar sobre isso aqui.
  • 1:19 - 1:21
    Eu vou desenhar um plano de coordenadas.
  • 1:21 - 1:25
    Aqui está o eixo Y e aqui está o eixo X.
  • 1:25 - 1:27
    Eu vou desenhar a curva também.
  • 1:27 - 1:30
    A curva pode ser mais ou menos assim.
  • 1:30 - 1:34
    Meu contorno está se movimentando
    de forma positiva
  • 1:34 - 1:36
    no sentido anti-horário, deste jeito.
  • 1:36 - 1:39
    Agora, temos o nosso campo vetorial.
  • 1:39 - 1:43
    E, apenas como um lembrete,
    que inclusive já vimos isso várias vezes,
  • 1:43 - 1:48
    o campo vetorial vai associar a um vetor
    com qualquer ponto no plano XY.
  • 1:48 - 1:52
    E ele pode ser definido
    como alguma função de (x, y).
  • 1:52 - 1:54
    Na verdade, eu vou chamar isto de P.
  • 1:54 - 1:59
    Alguma função de (x, y)
    vezes o vetor unitário i^.
  • 1:59 - 2:02
    Isso indica a forma da componente "i"
    do campo vetorial
  • 2:02 - 2:05
    para qualquer ponto (x, y).
  • 2:05 - 2:08
    Também precisamos da nossa componente "j".
  • 2:08 - 2:14
    Então, colocamos algum fator de (x, y)
    que vai multiplicar a componente "j".
  • 2:14 - 2:19
    Ou seja, que vai multiplicar a componente
    vertical para qualquer ponto (x, y).
  • 2:19 - 2:23
    Sendo assim, temos alguma
    função de (x, y) vezes i^,
  • 2:23 - 2:27
    mais alguma outra função escalar vezes j^.
  • 2:27 - 2:32
    Com isso, se você me der algum ponto,
    qualquer ponto, há um vetor associado,
  • 2:32 - 2:34
    dependendo de como definimos essa função.
  • 2:34 - 2:38
    Mas, nesta expressão aqui,
    estamos calculando uma integral de linha.
  • 2:38 - 2:41
    Sendo assim, nos preocupamos
    especificamente
  • 2:41 - 2:43
    com os pontos ao longo desta curva,
  • 2:43 - 2:45
    ao longo deste contorno aqui.
  • 2:45 - 2:48
    Sendo assim, vamos pensar sobre
    o que isso está nos dizendo
  • 2:48 - 2:51
    antes de pegar coisas
    infinitesimalmente pequenas.
  • 2:51 - 2:53
    Vamos pegar aqui o F escalar n.
  • 2:53 - 2:56
    E eu vou pensar sobre
    um ponto nesta curva.
  • 2:56 - 3:00
    Um ponto nesta curva que talvez
    seja este ponto, bem aqui.
  • 3:00 - 3:03
    Como vimos, associado
    a este ponto há um vetor.
  • 3:03 - 3:05
    E é isso que o campo vetorial faz.
  • 3:05 - 3:08
    F pode se parecer com
    algo assim neste ponto.
  • 3:08 - 3:11
    Este é o campo vetorial neste ponto.
  • 3:11 - 3:14
    Não podemos esquecer que temos
    um produto escalar entre F
  • 3:14 - 3:18
    e o vetor normal unitário naquele ponto.
  • 3:18 - 3:20
    Sendo assim, podemos
    representar aqui também
  • 3:20 - 3:23
    o vetor normal unitário,
    que pode ter esta forma.
  • 3:23 - 3:27
    É bom relembrar aqui que, quando
    calculamos o produto escalar,
  • 3:27 - 3:29
    a gente obtém uma quantidade de escalar.
  • 3:29 - 3:32
    A gente, essencialmente,
    obtêm um número.
  • 3:32 - 3:34
    Inclusive, você deve se lembrar disso.
  • 3:34 - 3:36
    Eu já fiz alguns vídeos sobre isso,
  • 3:36 - 3:39
    onde realizamos um detalhamento melhor.
  • 3:39 - 3:43
    Mas, de uma forma resumida, eu posso
    te dizer que esse produto escalar
  • 3:43 - 3:47
    nos diz quanto estes dois
    vetores caminham juntos.
  • 3:47 - 3:48
    É importante pensar nisso
  • 3:48 - 3:52
    porque, se eles são completamente
    ortogonais um em relação ao outro,
  • 3:52 - 3:54
    isto vai ser igual a zero.
  • 3:54 - 3:57
    Mas, se eles estão na mesma
    direção e sentido,
  • 3:57 - 4:00
    basta você multiplicar
    os módulos deles dois.
  • 4:00 - 4:03
    Como temos um vetor unitário
    aqui, o que vamos fazer
  • 4:03 - 4:09
    é obter o quanto, em módulo, do campo
    vetorial F que vai na direção normal.
  • 4:09 - 4:11
    Então, você pode pensar dessa forma.
  • 4:11 - 4:14
    Sabendo isso, vamos pensar
    sobre a componente
  • 4:14 - 4:17
    deste vetor que está na direção normal.
  • 4:17 - 4:19
    Inclusive, eu acho legal
    escrever isso aqui.
  • 4:19 - 4:24
    Isto corresponde ao módulo da componente
    de F que está na direção normal,
  • 4:24 - 4:27
    ou na mesma direção que
    o vetor normal unitário.
  • 4:27 - 4:32
    Aí, multiplicamos isso com um comprimento
    infinitamente pequeno do nosso contorno,
  • 4:32 - 4:35
    da nossa curva em torno deste ponto.
  • 4:35 - 4:37
    Então, vamos multiplicar com isto aqui.
  • 4:37 - 4:40
    Eu sei que você pode ter compreendido
    o que eu estou dizendo,
  • 4:40 - 4:43
    mas como isso pode ser
    fisicamente relativo?
  • 4:43 - 4:48
    Ou de que forma podemos pensar no que
    esta expressão está realmente medindo?
  • 4:48 - 4:52
    Para pensar nisso, eu sempre visualizo
    tudo isto em duas dimensões.
  • 4:52 - 4:55
    No futuro também vamos ver
    isso em três dimensões,
  • 4:55 - 4:58
    mas, por enquanto, vamos visualizar
    um universo bidimensional
  • 4:58 - 5:01
    em que estamos estudando,
    por exemplo, gases.
  • 5:01 - 5:05
    Vamos supor que a gente tenha várias
    partículas em um universo bidimensional,
  • 5:05 - 5:08
    de forma que a gente tem apenas
    as coordenadas "x" e "y".
  • 5:08 - 5:12
    Este campo vetorial está
    essencialmente dizendo a você
  • 5:12 - 5:15
    a velocidade em qualquer
    ponto nesta região.
  • 5:15 - 5:18
    Então, isto aqui, nesse exemplo,
    indica a velocidade
  • 5:18 - 5:21
    das partículas de um gás
    em um determinado ponto.
  • 5:21 - 5:24
    Ou, como estamos falando
    do nosso vetor normal,
  • 5:24 - 5:29
    isso indica o quão rápido as partículas
    desse gás estão saindo neste ponto.
  • 5:29 - 5:31
    Com isso, ao resolver esta integral,
  • 5:31 - 5:35
    saberemos o quão rápido as partículas
    estarão saindo deste contorno.
  • 5:35 - 5:38
    Isso, claro tendo um valor positivo,
  • 5:38 - 5:40
    mas a gente pode encontrar
    um valor negativo também.
  • 5:40 - 5:45
    Como estamos considerando que o vetor
    normal unitário está orientado para fora
  • 5:45 - 5:47
    e o resultado da integral está nos dizendo
  • 5:47 - 5:51
    o quão rápido as partículas estão
    saindo deste contorno,
  • 5:51 - 5:53
    se a gente tiver um valor negativo,
  • 5:53 - 5:57
    isso significaria dizer que existe
    alguma entrada de partículas.
  • 5:57 - 6:00
    E o resultado da integral
    nos diria a velocidade
  • 6:00 - 6:03
    com a qual as partículas estão
    entrando nesta região.
  • 6:03 - 6:06
    Bem, toda esta expressão
    não precisa, necessariamente,
  • 6:06 - 6:08
    ter uma representação física.
  • 6:08 - 6:10
    Mas, usando essa analogia do gás,
  • 6:10 - 6:14
    isso nos diz o quão rápidas
    são as partículas,
  • 6:14 - 6:17
    o quão rápido as partículas de um
    gás bidimensional
  • 6:17 - 6:19
    estão saindo do contorno.
  • 6:19 - 6:24
    No futuro, vamos fazer isso em três
    dimensões, onde teremos uma superfície.
  • 6:24 - 6:29
    E aí vamos terminar o quão rápido
    as coisas estão saindo dessa superfície.
  • 6:29 - 6:32
    Enfim, agora que já temos uma
    compreensão conceitual
  • 6:32 - 6:34
    do que isso poderia representar,
  • 6:34 - 6:36
    vamos brincar com isso um pouco,
  • 6:36 - 6:40
    principalmente porque já sabemos
    como definir um vetor normal.
  • 6:40 - 6:42
    Vamos reescrever esta integral
  • 6:42 - 6:45
    usando o que sabemos sobre
    como construir um vetor normal.
  • 6:45 - 6:50
    Reescrevendo esta integral, temos
    aqui a integral sobre esta curva
  • 6:50 - 6:54
    do campo vetorial F
    escalar o vetor normal.
  • 6:54 - 6:57
    A gente pode escrever o
    vetor normal desta forma.
  • 6:57 - 7:02
    Vimos que o vetor normal é
    dy vezes i^, menos dx vezes j^,
  • 7:02 - 7:06
    e tudo isso dividido pelo módulo,
    que neste caso é o ds.
  • 7:06 - 7:10
    Para tornar um vetor unitário,
    encontramos aqui o módulo de ds
  • 7:10 - 7:15
    calculando a raiz quadrada de (dx² + dy²),
  • 7:15 - 7:19
    que é a mesma coisa que este pequeno
    comprimento aqui do contorno.
  • 7:19 - 7:22
    Sendo assim, vamos dividir isto por ds
  • 7:22 - 7:24
    e aí multiplicamos isto por ds.
  • 7:24 - 7:26
    O ds é um escalar.
  • 7:26 - 7:31
    Como temos um ds aqui e um ds aqui,
    podemos cancelar um com o outro.
  • 7:31 - 7:35
    Sendo assim, ficamos apenas com
    o produto escalar entre F
  • 7:35 - 7:40
    e esta diferença entre dy i^ e dx j^.
  • 7:40 - 7:43
    Para melhor visualizar isso,
    eu vou reescrever esta integral.
  • 7:43 - 7:45
    Eu coloco aqui a integral de linha,
  • 7:45 - 7:49
    lembrando que estamos integrando
    no sentido anti-horário,
  • 7:49 - 7:51
    e esta integral vai ser do,
  • 7:51 - 7:54
    vamos calcular este produto
    escalar que está aqui em cima.
  • 7:54 - 7:57
    Este produto escalar é bem simples.
  • 7:57 - 7:59
    A gente faz o produto das componentes "x"
  • 7:59 - 8:03
    ou, essencialmente, o produto
    dos módulos das componentes "x".
  • 8:03 - 8:07
    Então, teremos aqui:
    P(x, y) vezes dy,
  • 8:07 - 8:10
    mais o produto dos módulos
    das componentes "y",
  • 8:10 - 8:12
    ou das componentes "j".
  • 8:12 - 8:17
    Ou seja, teremos aqui:
    mais Q(x, y) vezes -dx.
  • 8:17 - 8:21
    Isto vai nos dar menos Q(x, y) vezes dx.
  • 8:21 - 8:23
    Portanto, esta é uma
    declaração interessante,
  • 8:23 - 8:25
    porque já vimos algo parecido antes,
  • 8:25 - 8:27
    só que sem esta diferença.
  • 8:27 - 8:29
    Eu estou falando do teorema de Green,
  • 8:29 - 8:32
    que inclusive vou reescrever aqui agora.
  • 8:32 - 8:33
    O teorema de Green diz que,
  • 8:33 - 8:37
    se estamos calculando a integral
    de linha sobre um contorno,
  • 8:37 - 8:39
    Inclusive, existem várias maneiras
    de escrever isso,
  • 8:39 - 8:43
    mas eu vou colocar aqui da forma
    que já usamos em vários vídeos.
  • 8:43 - 8:48
    Podemos colocar aqui:
    M vezes dx + N vezes dy.
  • 8:48 - 8:51
    Esta integral é igual à integral dupla
  • 8:51 - 8:54
    sobre a região que esta
    linha está contornando.
  • 8:54 - 8:57
    Da parcial do que está ao lado de dy,
  • 8:57 - 8:58
    que neste caso é N.
  • 8:58 - 9:02
    Então, colocamos aqui a parcial
    de N em relação a "x".
  • 9:02 - 9:06
    E disso nós subtraímos a parcial do
    que quer que esteja ao lado de dx,
  • 9:06 - 9:10
    ou seja, a parcial de M em relação a "y".
  • 9:10 - 9:14
    Aí poderíamos colocar isto vezes dxdy,
    ou simplesmente dA,
  • 9:14 - 9:17
    que é o infinitesimalmente
    pequeno pedaço da área.
  • 9:17 - 9:19
    Então, vou escrever dA aqui.
  • 9:19 - 9:22
    Enfim, isto é apenas uma reafirmação
    do teorema de Green.
  • 9:22 - 9:24
    Nós já sabemos disso.
  • 9:24 - 9:26
    Agora que revemos isso,
    como podemos aplicar
  • 9:26 - 9:29
    o teorema de Green a isto
    que vimos aqui em cima?
  • 9:29 - 9:30
    É a mesma coisa.
  • 9:30 - 9:32
    Mesmo tendo uma diferença aqui,
  • 9:32 - 9:35
    nós podemos aplicar o teorema
    de Green da mesma forma.
  • 9:35 - 9:37
    Sendo assim, isto é igual à integral dupla
  • 9:37 - 9:40
    sobre a região que este contorno envolve.
  • 9:41 - 9:43
    O que queremos fazer é olhar
    para qualquer coisa
  • 9:43 - 9:46
    que está sendo multiplicada aqui pelo dy.
  • 9:46 - 9:50
    Neste caso, esta é a função que está
    sendo multiplicada pelo dy.
  • 9:50 - 9:54
    Aí, calculamos a derivada parcial
    disto em relação a "x".
  • 9:54 - 9:58
    Então, vamos ter aqui a derivada
    parcial de P em relação a "x".
  • 9:58 - 10:01
    E aí, isto menos a derivada
    parcial de tudo aquilo
  • 10:01 - 10:04
    que está sendo multiplicado pelo dx.
  • 10:04 - 10:09
    Neste caso, vamos fazer a derivada
    parcial disto aqui em relação a "y".
  • 10:09 - 10:11
    Mas temos um negativo, certo?
  • 10:11 - 10:12
    Então, colocamos aqui o menos,
  • 10:12 - 10:16
    a derivada parcial de Q
    em relação a "y",
  • 10:16 - 10:18
    e aí é multiplicamos isto com o dA.
  • 10:18 - 10:20
    Observe que temos estes dois negativos,
  • 10:20 - 10:23
    ou seja, estamos subtraindo
    algo que é negativo.
  • 10:23 - 10:26
    Isso faz com que a gente
    tenha uma adição aqui.
  • 10:26 - 10:29
    Sendo assim, isto vai ser
    igual à integral dupla
  • 10:29 - 10:31
    sobre a região da,
  • 10:31 - 10:34
    talvez você já consiga saber onde
    isso tudo aqui vai dar
  • 10:34 - 10:37
    e até ficou um pouco animado
    ou animada, não é?
  • 10:37 - 10:38
    Mas continuando:
  • 10:38 - 10:42
    aqui vai ser a integral dupla
    da parcial de P em relação a "x",
  • 10:42 - 10:46
    mais a parcial de Q em
    relação a "y", vezes dA.
  • 10:46 - 10:47
    Agora, olha para isto aqui:
  • 10:47 - 10:51
    P é a função que estava nos dizendo
    o módulo na direção "x",
  • 10:51 - 10:54
    e Q estava nos dizendo
    o módulo na direção "y".
  • 10:54 - 10:57
    Estamos fazendo a parcial disto
    em relação a "x"
  • 10:57 - 10:59
    e disto em relação a "y".
  • 10:59 - 11:03
    e aí estamos realizando uma
    adição entre os resultados.
  • 11:03 - 11:06
    Isto é exatamente o divergente de F.
  • 11:06 - 11:10
    Se isso não faz sentido, eu aconselho que
    você assista a um vídeo sobre divergência.
  • 11:10 - 11:12
    Já tem alguns aqui.
  • 11:12 - 11:14
    Isto aqui é o divergente de F.
  • 11:14 - 11:17
    Então, por definição, este é o divergente
  • 11:17 - 11:18
    do nosso campo vetorial F.
  • 11:18 - 11:20
    Isso é algo muito interessante,
  • 11:20 - 11:23
    afinal, saímos da expressão original
  • 11:23 - 11:26
    e começamos a estudá-la buscando
    determinar a velocidade
  • 11:26 - 11:29
    com a qual as partículas estão
    saindo da superfície.
  • 11:29 - 11:32
    E agora que entendemos isso
    em termos desta expressão,
  • 11:32 - 11:35
    vamos interpretar isso de forma intuitiva.
  • 11:35 - 11:39
    Isto aqui é igual à integral dupla
    sobre esta região do divergente de F,
  • 11:39 - 11:43
    vezes um infinitesimalmente pequeno
    pedaço de área, neste caso, dA.
  • 11:43 - 11:46
    Agora, por que isso faz sentido,
    de forma intuitiva?
  • 11:46 - 11:49
    Para você perceber por que
    isso faz sentido,
  • 11:49 - 11:52
    basta se lembrar sobre
    o que é a divergência.
  • 11:52 - 11:54
    A divergência é uma medida que nos diz
  • 11:54 - 11:57
    o quanto as coisas estão
    se expandindo, divergindo,
  • 11:57 - 12:01
    ou o quanto estão se
    concentrando, convergindo.
  • 12:01 - 12:04
    Se você tem aqui um ponto e,
    ao redor desse ponto,
  • 12:04 - 12:07
    as partículas estão meio que
    se afastando umas das outras,
  • 12:07 - 12:10
    teremos um divergente positivo aqui.
  • 12:10 - 12:12
    Por outro lado, se as partículas estiverem
  • 12:12 - 12:14
    se aproximando umas das outras,
  • 12:14 - 12:16
    teremos um divergente negativo.
  • 12:16 - 12:20
    Observando isso, tudo o que
    a gente fez aqui faz sentido.
  • 12:20 - 12:23
    Porque, se você pega uma área
    infinitesimalmente pequena
  • 12:23 - 12:25
    e multiplica isso com o divergente,
  • 12:25 - 12:29
    teremos um número que será
    somado ao longo de toda essa região.
  • 12:29 - 12:31
    Quanto maior for o divergente,
  • 12:31 - 12:35
    mais coisas estão saindo
    do limite dessa região.
  • 12:35 - 12:40
    Se você visse isso como o quão rápido
    as coisas estão saindo da superfície,
  • 12:40 - 12:42
    teremos um fluxo bidimensional, ou seja,
  • 12:42 - 12:47
    se a gente observar a rapidez das coisas
    saindo da pequena área da superfície,
  • 12:47 - 12:51
    isso vai ser a mesma coisa que
    a soma de todos os divergentes
  • 12:51 - 12:54
    sobre esta área que o contorno
    está circundando.
  • 12:54 - 12:56
    Eu espero que isso faça um
    pouco de sentido para você.
  • 12:56 - 13:00
    Isso é apenas uma outra maneira
    de pensar sobre o teorema de Green.
  • 13:00 - 13:03
    E isso que acabamos de ver
    aqui de forma resumida,
  • 13:03 - 13:06
    que é esta expressão da divergência
    sobre esta região aqui,
  • 13:06 - 13:09
    é a mesma coisa que "F escalar n"
    sobre o contorno.
  • 13:09 - 13:14
    Ou seja, temos aqui o teorema
    da divergência de forma bidimensional.
  • 13:14 - 13:17
    Eu espero que você tenha
    compreendido tudo direitinho
  • 13:17 - 13:21
    e, mais uma vez, eu quero deixar para
    você um grande abraço, e até a próxima!
Title:
Teorema da divergência em 2D
Description:

more » « less
Video Language:
Portuguese
Team:
Khan Academy
Projekt:
Accessibility Brazil
Duration:
13:28

Portuguese subtitles

Revízie Compare revisions