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RKA2 - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você?
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Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil!
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Neste vídeo, vamos conversar sobre o teorema da divergência em duas dimensões.
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Para começar a conversar sobre isso,
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vamos relembrar que, antes, aprendemos um pouco sobre como construir um vetor normal unitário
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em qualquer ponto de uma curva.
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Inclusive, foi isso que fizemos no último vídeo.
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Agora eu quero começar a explorar uma expressão interessante.
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Eu vou escrever aqui a integral de linha em torno de um caminho fechado
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e vamos definir que a orientação positiva está no sentido anti-horário.
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Nós vamos nos movimentar nesse sentido.
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Aí, esta integral do produto escalar entre uma função F
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com vetor normal unitário em qualquer ponto dessa curva.
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Ah, e colocamos o ds aqui, também.
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A primeira coisa a fazer é conceituar isto que eu estou fazendo aqui
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e tentar compreender o que isso está me dizendo.
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Sendo assim, vamos manipular esta expressão um pouco
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para ver se podemos chegar a uma conclusão interessante.
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Para isso, eu vou usar o teorema de Green
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e aí vamos chegar a uma versão bidimensional do teorema da divergência,
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o que parece muito complicado, mas eu espero que a gente consiga fazer isso
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e que você consiga compreender.
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Vamos pensar sobre isso aqui. Eu vou desenhar um plano de coordenadas.
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Aqui está o eixo Y e aqui está o eixo X.
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Eu vou desenhar a curva também.
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A curva pode ser mais ou menos assim.
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Meu contorno está se movimentando de forma positiva no sentido anti-horário, deste jeito.
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Agora temos o nosso campo vetorial.
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E, apenas como um lembrete, que inclusive já vimos isso várias vezes,
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o campo vetorial vai associar a um vetor com qualquer ponto no plano XY.
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E ele pode ser definido
como alguma função de (x, y).
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Na verdade, eu vou chamar isto de P.
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Alguma função de (x, y) vezes o vetor unitário i^.
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Isso indica a forma da componente "i" do campo vetorial para qualquer ponto (x, y).
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Também precisamos da nossa componente "j".
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Então, colocamos algum fator de (x, y) que vai multiplicar a componente "j".
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Ou seja, que vai multiplicar a componente vertical para qualquer ponto (x, y).
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Sendo assim, temos alguma função de (x, y) vezes i^,
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mais alguma outra função escalar vezes j^.
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Com isso, se você me der algum ponto, qualquer ponto, há um vetor associado,
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dependendo de como definimos essa função.
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Mas, nesta expressão aqui, estamos calculando uma integral de linha.
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Sendo assim, nos preocupamos especificamente com os pontos ao longo desta curva,
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ao longo deste contorno aqui.
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Sendo assim, vamos pensar sobre o que isso está nos dizendo
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antes de pegar coisas infinitesimalmente pequenas.
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Vamos pegar aqui o F escalar n.
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E eu vou pensar sobre um ponto nesta curva.
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Um ponto nesta curva que talvez seja este ponto, bem aqui.
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Como vimos, associado a este ponto há um vetor. E é isso que o campo vetorial faz.
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F pode se parecer com algo assim neste ponto. Este é o campo vetorial neste ponto.
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Não podemos esquecer que temos um produto escalar entre F
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e o vetor normal unitário naquele ponto.
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Sendo assim, podemos representar aqui também o vetor normal unitário, que pode ter esta forma.
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É bom relembrar aqui que, quando calculamos o produto escalar,
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a gente obtém uma quantidade de escalar.
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A gente, essencialmente, obtêm um número...
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Inclusive, você deve se lembrar disso. Eu já jiz alguns vídeos sobre isso,
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onde realizamos um detalhamento melhor.
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Mas, de uma forma resumida, eu posso te dizer que esse produto escalar
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nos diz quanto estes dois vetores caminham juntos.
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É importante pensar nisso porque, se eles são completamente ortogonais um em relação ao outro,
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isto vai ser igual a zero.
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Mas, se eles estão na mesma direção e sentido,
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basta você multiplicar os módulos deles dois.
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Como temos um vetor unitário aqui, o que vamos fazer
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é obter o quanto (em módulo) do campo vetorial F que vai na direção normal.
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Então, você pode pensar dessa forma.
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Sabendo isso, vamos pensar sobre a componente deste vetor que está na direção normal.
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Inclusive, eu acho legal escrever isso aqui.
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Isto corresponde ao módulo da componente de F que está na direção normal,
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ou na mesma direção que o vetor normal unitário.
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Aí, multiplicamos isso com um comprimento infinitamente pequeno do nosso contorno,
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da nossa curva em torno deste ponto.
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Então, vamos multiplicar com isto aqui.
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Eu sei que você pode ter compreendido que eu estou dizendo,
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mas como isso pode ser fisicamente relativo?
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Ou de que forma podemos pensar no que esta expressão está realmente medindo?
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Para pensar nisso, eu sempre visualizo tudo isto em duas dimensões.
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No futuro também vamos ver isso em três dimensões,
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mas, por enquanto, vamos visualizar um universo bidimensional
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em que estamos estudando, por exemplo, gases.
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Vamos supor que a gente tenha várias partículas em um universo bidimensional,
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de forma que a gente tem apenas as coordenadas "x" e "y".
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Este campo vetorial está essencialmente dizendo a você
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a velocidade em qualquer ponto nesta região.
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Então, isto aqui, nesse exemplo, indica a velocidade
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das partículas de um gás em um determinado ponto.
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Ou, como estamos falando do nosso vetor normal,
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isso indica o quão rápido as partículas desse gás estão saindo neste ponto.
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Com isso, ao resolver esta integral,
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saberemos o quão rápido as partículas estarão saindo deste contorno.
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Isso, claro tendod um valor positivo, mas a gente pode encontrar um valor negativo também.
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Como estamos considerando que o vetor normal unitário está orientado para fora
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e o resultado da integral está nos dizendo o quão rápido as partículas estão saindo deste contorno,
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se a gente tiver um valor negativo, isso significaria dizer que existe alguma entrada de partículas.
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E o resultado da integral nos diria a velocidade com a qual as partículas estão entrando nesta região.
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Bem, toda esta expressão não precisa, necessariamente, ter uma representação física.
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Mas, usando essa analogia do gás, isso nos diz o quão rápidas são as partículas,
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o quão rápido as partículas de um gás bidimensional estão saindo do contorno.
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No futuro, vamos fazer isso em três dimensões, onde teremos uma superfície.
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E aí vamos terminar o quão rápido as coisas estão saindo dessa superfície.
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Enfim, agora que já temos uma compreensão conceitual do que isso poderia representar,
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vamos brincar com isso um pouco, principalmente porque já sabemos como definir um vetor normal.
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Então vamos
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reescrever essa integral usando que
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sabemos sobre como construir um vetor
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normal reescrevendo as em integral temos
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aqui a integral sobre essa curva do
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campo vetorial FC escalar o vetor normal
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a gente pode escrever o vetor normal
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dessa forma aqui Vimos que o vetor
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normal É de Y echa em menos de XJ chapéu
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e tudo isso dividido pelo módulo que
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nesse caso é o DS para tornar um vetor
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unitário encontramos aqui o módulo DDS
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calculando a raiz quadrada de de x ao
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quadrado mais de y ao quadrado que a
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mesma coisa que você pequeno comprimento
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aqui do nosso Contorno sendo assim vamos
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dividir isso aqui por DS E aí
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multiplicamos isso por DS u DS é um
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instalar como temos um DS aqui um desse
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aqui eu podemos cancelar um com o outro
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sendo Assim ficamos apenas com o produto
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escalar entre F E essa diferença entre
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de y e chapéu e deixe J chapéu para
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melhor visualizar isso eu vou reescrever
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essa integral então eu coloco aqui a
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integral de linha Lembrando que estamos
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integrando no sentido anti-horário e aí
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essa integral vai ser do vamos calcular
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esse produto escalar que está aqui em
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cima bem esse produto escalar é bem
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simples A gente faz o produto das
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componentes X a mente o produto dos
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módulos das componentes de então teremos
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aqui p de x e y vezes de y mas o produto
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dos módulos das componentes Y ou das
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componentes derrota ou seja teremos aqui
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mais que ele dxy vezes menos de X bem só
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que vai nos dar menos o que de x e y
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vezes deixes portanto essa é uma
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declaração interessante porque já vimos
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algo parecido antes só que sem essa
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diferença eu estou falando do Teorema de
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Green que inclusive eu vou reescrever
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isso aqui agora o teorema de Green disse
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para gente que se estamos calculando a
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integral de linha sobre um Contorno
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inclusive Existem várias maneiras de
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escrever isso mas eu vou colocar aqui da
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forma que já usamos em vários vídeos OK
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então podemos colocar aqui e me vezes
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deixe maizena e vezes da y e essa
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integral é igual a integral dupla sobre
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a região que essa linha está contornando
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da parcial do que está ao lado de de
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Italo que nesse caso é o n então
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colocamos aqui e em relação a x e disso
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nós subtraímos a parcial do que quer que
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esteja ao lado de DX ou seja parcial de
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m em relação à Y aí poderíamos colocar
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isso aqui vezes dxdy ou simplesmente de
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aqui é o infinitesimalmente pequeno
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pedaço da área então vou escrever de
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aqui enfim isso aqui apenas uma
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reafirmação do Teorema de Green nós já
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sabemos Gilson agora que revemos isso
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como podemos aplicar o teorema de Green
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a isso que vimos aqui em cima bem a
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mesma coisa mesmo tendo uma diferença
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aqui nós podemos aplicar o teorema de
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Green da mesma forma sendo assim isso é
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igual a integral dupla sobre a região
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que se Contorno envolve de bem o que
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queremos fazer é olhar para qualquer
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coisa que está sendo multiplicado aqui
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pelo de y nesse caso Essa é a função que
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está sendo multiplicada pelo de y aí
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calculamos a derivada parcial disso em
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relação a x Então vamos ter aqui a
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derivada parcial de P em relação a x E
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aí isso menos a cada parcial de outubro
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aquilo que está sendo multiplicado pelo
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DX nesse caso vamos fazer a derivada
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parcial disso aqui em relação à Y mas
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temos um negativo certo então colocamos
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aqui o menos a derivada parcial de que
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em relação a y e aí é multiplicamos isso
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aqui com da Observe que temos esses dois
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negativos ou seja estamos subtraindo
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algo que é negativo isso faz com que a
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gente tem uma adição aqui sendo assim
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Isso vai ser igual a integral dupla
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sobre a região da a talvez você já
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consiga saber onde isso tudo que vai dar
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e até que contou com animada Animada não
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era mas continuando aqui vai ser a
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integral dupla da parcial de P em
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relação a x mais a parcial de que em
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relação a Y B A agora olha para isso
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aqui é a função que estava nos dizendo o
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módulo na direção x e que estava nos
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dizendo o módulo na direção Y Estamos
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fazendo a passear o dias em relação AX
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Edilson em relação a y e aí estamos e
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usando uma adição entre os resultados
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isso é exatamente o divergente DF isso
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não faz sentido eu aconselho que você
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assista um vídeo sobre divergência Já
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tem alguns aqui isso aqui é o divergente
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DF é então por definição Esse é o
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divergente do nosso campo vetorial F
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isso é algo muito interessante Afinal
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Saímos da expressão original e começamos
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a estudar lá buscando determinar a
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velocidade com a qual as partículas
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estão saindo da superfície e agora que
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entendemos isso em termos dessa
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expressão vamos interpretar isso de
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forma intuitiva isso aqui é igual a
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integral dupla sobre essa região do
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divergente DF vezes um
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infinitesimalmente pequeno pedaço de
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área nesse caso de ar agora porque isso
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faz sentido de forma intuitiva para você
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perceber porque isso faz sentido basta
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você se lembrar sobre o que é a
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divergência a divergência uma medida que
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no juízo quanto as coisas estão se
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expandindo divergindo ou quanto estão se
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concentrando
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é lindo se você tem aqui um ponto e ao
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redor desse ponto as partículas estão
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meio que se afastando mais nas outras
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teremos um divergente positivo aqui por
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outro lado se as partículas estiverem se
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aproximando umas das outras teremos um
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divergente negativo observando isso tudo
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que a gente fez aqui faz sentido o que
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se você pega uma área infinitesimalmente
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pequena e multiplica isso com divergente
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teremos um número que será somado ao
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longo de toda essa região aí quanto
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maior for o dever gente mas coisas estão
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saindo do limite dessa região Se você
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visse isso com o quão rápido as coisas
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estão saindo da superfície teremos um
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fluxo bidimensional ou seja se a gente
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observar a rapidez das coisas saindo da
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pequena área da superfície e isso vai
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ser a mesma coisa que a soma de todos os
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divergentes sobre essa área que o
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contorno está circundando Eu espero que
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você faça um pouco de sentido para você
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Isso é apenas uma outra maneira de
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pensar sobre o teorema de mim é isso que
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acabamos de ver aqui de forma resumida
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que essa expressão das divergências
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sobre essa região aqui é a mesma coisa
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que é fiz calar n sobre o contorno ou
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seja temos aqui o teorema da divergência
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de forma bidimensional eu espero que
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você tenha compreendido tudo direitinho
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e mais uma vez eu quero deixar para você
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um grande abraço e até a próxima