Teorema da divergência em 2D

RKA2 - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você?

Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil!

Neste vídeo, vamos conversar sobre o teorema da divergência em duas dimensões.

Para começar a conversar sobre isso,

vamos relembrar que, antes, aprendemos um pouco sobre como construir um vetor normal unitário

em qualquer ponto de uma curva.

Inclusive, foi isso que fizemos no último vídeo.

Agora eu quero começar a explorar uma expressão interessante.

Eu vou escrever aqui a integral de linha em torno de um caminho fechado

e vamos definir que a orientação positiva está no sentido anti-horário.

Nós vamos nos movimentar nesse sentido.

Aí, esta integral do produto escalar entre uma função F

com vetor normal unitário em qualquer ponto dessa curva.

Ah, e colocamos o ds aqui, também.

A primeira coisa a fazer é conceituar isto que eu estou fazendo aqui

e tentar compreender o que isso está me dizendo.

Sendo assim, vamos manipular esta expressão um pouco

para ver se podemos chegar a uma conclusão interessante.

Para isso, eu vou usar o teorema de Green

e aí vamos chegar a uma versão bidimensional do teorema da divergência,

o que parece muito complicado, mas eu espero que a gente consiga fazer isso

e que você consiga compreender.

Vamos pensar sobre isso aqui. Eu vou desenhar um plano de coordenadas.

Aqui está o eixo Y e aqui está o eixo X.

Eu vou desenhar a curva também.

A curva pode ser mais ou menos assim.

Meu contorno está se movimentando de forma positiva no sentido anti-horário, deste jeito.

Agora temos o nosso campo vetorial.

E, apenas como um lembrete, que inclusive já vimos isso várias vezes,

o campo vetorial vai associar a um vetor com qualquer ponto no plano XY.

E ele pode ser definido
como alguma função de (x, y).

Na verdade, eu vou chamar isto de P.

Alguma função de (x, y) vezes o vetor unitário i^.

Isso indica a forma da componente "i" do campo vetorial para qualquer ponto (x, y).

Também precisamos da nossa componente "j".

Então, colocamos algum fator de (x, y) que vai multiplicar a componente "j".

Ou seja, que vai multiplicar a componente vertical para qualquer ponto (x, y).

Sendo assim, temos alguma função de (x, y) vezes i^,

mais alguma outra função escalar vezes j^.

Com isso, se você me der algum ponto, qualquer ponto, há um vetor associado,

dependendo de como definimos essa função.

Mas, nesta expressão aqui, estamos calculando uma integral de linha.

Sendo assim, nos preocupamos especificamente com os pontos ao longo desta curva,

ao longo deste contorno aqui.

Sendo assim, vamos pensar sobre o que isso está nos dizendo

antes de pegar coisas infinitesimalmente pequenas.

Vamos pegar aqui o F escalar n.

E eu vou pensar sobre um ponto nesta curva.

Um ponto nesta curva que talvez seja este ponto, bem aqui.

Como vimos, associado a este ponto há um vetor. E é isso que o campo vetorial faz.

F pode se parecer com algo assim neste ponto. Este é o campo vetorial neste ponto.

Não podemos esquecer que temos um produto escalar entre F

e o vetor normal unitário naquele ponto.

Sendo assim, podemos representar aqui também o vetor normal unitário, que pode ter esta forma.

É bom relembrar aqui que, quando calculamos o produto escalar,

a gente obtém uma quantidade de escalar.

A gente, essencialmente, obtêm um número...

Inclusive, você deve se lembrar disso. Eu já jiz alguns vídeos sobre isso,

onde realizamos um detalhamento melhor.

Mas, de uma forma resumida, eu posso te dizer que esse produto escalar

nos diz quanto estes dois vetores caminham juntos.

É importante pensar nisso porque, se eles são completamente ortogonais um em relação ao outro,

isto vai ser igual a zero.

Mas, se eles estão na mesma direção e sentido,

basta você multiplicar os módulos deles dois.

Como temos um vetor unitário aqui, o que vamos fazer

é obter o quanto (em módulo) do campo vetorial F que vai na direção normal.

Então, você pode pensar dessa forma.

Sabendo isso, vamos pensar sobre a componente deste vetor que está na direção normal.

Inclusive, eu acho legal escrever isso aqui.

Isto corresponde ao módulo da componente de F que está na direção normal,

ou na mesma direção que o vetor normal unitário.

Aí, multiplicamos isso com um comprimento infinitamente pequeno do nosso contorno,

da nossa curva em torno deste ponto.

Então, vamos multiplicar com isto aqui.

Eu sei que você pode ter compreendido que eu estou dizendo,

mas como isso pode ser fisicamente relativo?

Ou de que forma podemos pensar no que esta expressão está realmente medindo?

Para pensar nisso, eu sempre visualizo tudo isto em duas dimensões.

No futuro também vamos ver isso em três dimensões,

mas, por enquanto, vamos visualizar um universo bidimensional

em que estamos estudando, por exemplo, gases.

Vamos supor que a gente tenha várias partículas em um universo bidimensional,

de forma que a gente tem apenas as coordenadas "x" e "y".

Este campo vetorial está essencialmente dizendo a você

a velocidade em qualquer ponto nesta região.

Então, isto aqui, nesse exemplo, indica a velocidade

das partículas de um gás em um determinado ponto.

Ou, como estamos falando do nosso vetor normal,

isso indica o quão rápido as partículas desse gás estão saindo neste ponto.

Com isso, ao resolver esta integral,

saberemos o quão rápido as partículas estarão saindo deste contorno.

Isso, claro tendod um valor positivo, mas a gente pode encontrar um valor negativo também.

Como estamos considerando que o vetor normal unitário está orientado para fora

e o resultado da integral está nos dizendo o quão rápido as partículas estão saindo deste contorno,

se a gente tiver um valor negativo, isso significaria dizer que existe alguma entrada de partículas.

E o resultado da integral nos diria a velocidade com a qual as partículas estão entrando nesta região.

Bem, toda esta expressão não precisa, necessariamente, ter uma representação física.

Mas, usando essa analogia do gás, isso nos diz o quão rápidas são as partículas,

o quão rápido as partículas de um gás bidimensional estão saindo do contorno.

No futuro, vamos fazer isso em três dimensões, onde teremos uma superfície.

aí vamos terminar o cão rápidas as

coisas estão saindo dessa superfície

enfim agora que já temos uma compreensão

conceitual do que isso poderia

representar vamos brincar com isso um

pouco principalmente porque já sabemos

como definir um vetor normal Então vamos

reescrever essa integral usando que

sabemos sobre como construir um vetor

normal reescrevendo as em integral temos

aqui a integral sobre essa curva do

campo vetorial FC escalar o vetor normal

a gente pode escrever o vetor normal

dessa forma aqui Vimos que o vetor

normal É de Y echa em menos de XJ chapéu

e tudo isso dividido pelo módulo que

nesse caso é o DS para tornar um vetor

unitário encontramos aqui o módulo DDS

calculando a raiz quadrada de de x ao

quadrado mais de y ao quadrado que a

mesma coisa que você pequeno comprimento

aqui do nosso Contorno sendo assim vamos

dividir isso aqui por DS E aí

multiplicamos isso por DS u DS é um

instalar como temos um DS aqui um desse

aqui eu podemos cancelar um com o outro

sendo Assim ficamos apenas com o produto

escalar entre F E essa diferença entre

de y e chapéu e deixe J chapéu para

melhor visualizar isso eu vou reescrever

essa integral então eu coloco aqui a

integral de linha Lembrando que estamos

integrando no sentido anti-horário e aí

essa integral vai ser do vamos calcular

esse produto escalar que está aqui em

cima bem esse produto escalar é bem

simples A gente faz o produto das

componentes X a mente o produto dos

módulos das componentes de então teremos

aqui p de x e y vezes de y mas o produto

dos módulos das componentes Y ou das

componentes derrota ou seja teremos aqui

mais que ele dxy vezes menos de X bem só

que vai nos dar menos o que de x e y

vezes deixes portanto essa é uma

declaração interessante porque já vimos

algo parecido antes só que sem essa

diferença eu estou falando do Teorema de

Green que inclusive eu vou reescrever

isso aqui agora o teorema de Green disse

para gente que se estamos calculando a

integral de linha sobre um Contorno

inclusive Existem várias maneiras de

escrever isso mas eu vou colocar aqui da

forma que já usamos em vários vídeos OK

então podemos colocar aqui e me vezes

deixe maizena e vezes da y e essa

integral é igual a integral dupla sobre

a região que essa linha está contornando

da parcial do que está ao lado de de

Italo que nesse caso é o n então

colocamos aqui e em relação a x e disso

nós subtraímos a parcial do que quer que

esteja ao lado de DX ou seja parcial de

m em relação à Y aí poderíamos colocar

isso aqui vezes dxdy ou simplesmente de

aqui é o infinitesimalmente pequeno

pedaço da área então vou escrever de

aqui enfim isso aqui apenas uma

reafirmação do Teorema de Green nós já

sabemos Gilson agora que revemos isso

como podemos aplicar o teorema de Green

a isso que vimos aqui em cima bem a

mesma coisa mesmo tendo uma diferença

aqui nós podemos aplicar o teorema de

Green da mesma forma sendo assim isso é

igual a integral dupla sobre a região

que se Contorno envolve de bem o que

queremos fazer é olhar para qualquer

coisa que está sendo multiplicado aqui

pelo de y nesse caso Essa é a função que

está sendo multiplicada pelo de y aí

calculamos a derivada parcial disso em

relação a x Então vamos ter aqui a

derivada parcial de P em relação a x E

aí isso menos a cada parcial de outubro

aquilo que está sendo multiplicado pelo

DX nesse caso vamos fazer a derivada

parcial disso aqui em relação à Y mas

temos um negativo certo então colocamos

aqui o menos a derivada parcial de que

em relação a y e aí é multiplicamos isso

aqui com da Observe que temos esses dois

negativos ou seja estamos subtraindo

algo que é negativo isso faz com que a

gente tem uma adição aqui sendo assim

Isso vai ser igual a integral dupla

sobre a região da a talvez você já

consiga saber onde isso tudo que vai dar

e até que contou com animada Animada não

era mas continuando aqui vai ser a

integral dupla da parcial de P em

relação a x mais a parcial de que em

relação a Y B A agora olha para isso

aqui é a função que estava nos dizendo o

módulo na direção x e que estava nos

dizendo o módulo na direção Y Estamos

fazendo a passear o dias em relação AX

Edilson em relação a y e aí estamos e

usando uma adição entre os resultados

isso é exatamente o divergente DF isso

não faz sentido eu aconselho que você

assista um vídeo sobre divergência Já

tem alguns aqui isso aqui é o divergente

DF é então por definição Esse é o

divergente do nosso campo vetorial F

isso é algo muito interessante Afinal

Saímos da expressão original e começamos

a estudar lá buscando determinar a

velocidade com a qual as partículas

estão saindo da superfície e agora que

entendemos isso em termos dessa

expressão vamos interpretar isso de

forma intuitiva isso aqui é igual a

integral dupla sobre essa região do

divergente DF vezes um

infinitesimalmente pequeno pedaço de

área nesse caso de ar agora porque isso

faz sentido de forma intuitiva para você

perceber porque isso faz sentido basta

você se lembrar sobre o que é a

divergência a divergência uma medida que

no juízo quanto as coisas estão se

expandindo divergindo ou quanto estão se

concentrando

é lindo se você tem aqui um ponto e ao

redor desse ponto as partículas estão

meio que se afastando mais nas outras

teremos um divergente positivo aqui por

outro lado se as partículas estiverem se

aproximando umas das outras teremos um

divergente negativo observando isso tudo

que a gente fez aqui faz sentido o que

se você pega uma área infinitesimalmente

pequena e multiplica isso com divergente

teremos um número que será somado ao

longo de toda essa região aí quanto

maior for o dever gente mas coisas estão

saindo do limite dessa região Se você

visse isso com o quão rápido as coisas

estão saindo da superfície teremos um

fluxo bidimensional ou seja se a gente

observar a rapidez das coisas saindo da

pequena área da superfície e isso vai

ser a mesma coisa que a soma de todos os

divergentes sobre essa área que o

contorno está circundando Eu espero que

você faça um pouco de sentido para você

Isso é apenas uma outra maneira de

pensar sobre o teorema de mim é isso que

acabamos de ver aqui de forma resumida

que essa expressão das divergências

sobre essa região aqui é a mesma coisa

que é fiz calar n sobre o contorno ou

seja temos aqui o teorema da divergência

de forma bidimensional eu espero que

você tenha compreendido tudo direitinho

e mais uma vez eu quero deixar para você

um grande abraço e até a próxima