Teorema da divergência em 2D

RKA2 - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você?

você seja muito bem-vindo ou bem-vinda a

mais um vídeo daqui na casa de me Brasil

e nesse vídeo vamos conversar sobre o

teorema da divergência em duas dimensões

para começar a conversar sobre isso

vamos relembrar que antes aprendemos um

pouco sobre como construir um vetor

normal unitário em qualquer ponto de uma

curva e inclusive foi isso que fizemos

no último vídeo agora eu quero começar a

explorar uma expressão interessante eu

vou escrever aqui a integral de linha em

torno de um caminho fechado e Vamos

definir aqui que a orientação positiva

está no sentido anti-horário nós vamos

nos movimentar nesse sentido aí essa

integral do produto escalar entre uma

função f com vetor normal unitário em

qualquer ponto dessa curva aí colocamos

o DS aqui também a primeira coisa faz

ele é conceituar isso que eu estou

fazendo aqui e tentar compreender o que

isso está me dizendo sendo assim vamos o

lar essa expressão aqui um pouco para

ver se podemos chegar a uma conclusão

interessante para isso eu vou usar o

teorema de Green E aí vamos chegar a uma

versão bidimensional do teorema da

divergência o que parece muito

complicado mas eu espero que a gente

consiga fazer isso que você consiga

compreender Vamos pensar sobre isso aqui

eu vou desenhar um plano de coordenadas

aqui está o nosso eixo Y e aqui está o

nosso eixo X eu vou desenhar a minha

curva também então me a curva pode ser

mais ou menos assim meu Contorno está se

movimentando de forma positiva no

sentido anti-horário desse jeito agora

temos o nosso campo vetorial e apenas

como um lembrete que inclusive já vimos

isso várias vezes o meu campo vetorial

vai associar um vetor com qualquer ponto

no plano XY e ele pode ser definido como

alguma função de x e y Na verdade eu vou

chamar isso aqui DP alguma função de x e

y vezes o vetor unitário e chapéu isso

hein a forma da componente Rio do Campo

vetorial para qualquer Ponto X e Y aí

também precisamos da nossa componente J

então colocamos algum fator de x e y que

vai multiplicar a componente j ou seja

que vai multiplicar a componente

vertical para qualquer Ponto X e Y sendo

assim temos alguma função de x e y vezes

e chapéu mais alguma outra função de

calar vezes J chapéu com isso se você me

der algum ponto Qualquer ponto a um

vetor associado dependendo de como

definir mas essa função mas nessa

expressão Aqui estamos calculando uma

integral de linha sendo assim nos

preocupamos especificamente com os

pontos ao longo dessa curva ao longo

desse Contorno aqui sendo assim vamos

pensar sobre o que isso estamos dizendo

antes de pegar coisas infinitamente

pequenas vamos pegar aqui o f escalar n

e eu vou pensar sobre um ponto nessa

curva um ponto nessa curva que talvez

seja esse ponto bem e como vimos

associado a esse ponto é um vetor e é

isso que o campo vetorial faz f pode ser

parecer com algo assim nesse ponto Esse

é o campo vetorial nesse ponto aí não

podemos esquecer que temos um produto

escalar entre f e o vetor normal

unitário naquele ponto sendo assim

podemos representar aqui também o vetor

normal unitário que pode ter essa forma

é bom relembrar aqui que quando

calculamos o produto escalar a gente

obtém uma quantidade de escalar a gente

isso inicialmente obtêm o número

inclusive você deve se lembrar disso Eu

Já Fiz alguns vídeos sobre isso Onde

realizamos um detalhamento melhor mas de

uma forma resumida eu posso te dizer que

esse produto escalar nos diz quanto

esses dois vetores caminham juntos é

importante é pensar nisso porque se

eleição completamente ortogonais um em

relação ao outro e isso vai ser igual a

zero mas se eles estão na mesma direção

e sentido basta você multiplicar os

módulos deles dois nós temos um vetor

unitário aqui o que vamos fazer é obter

o quanto em módulo do campo vetorial efe

que vai na direção normal então você

pode pensar dessa forma sabendo isso

vamos pensar sobre a componente desse

vetor que está na direção normal

Inclusive eu acho legal escrever isso

aqui isso aqui corresponde ao módulo da

componente DF que está na direção normal

ou na mesma direção que o vetor normal

unitário aí multiplicamos isso com

comprimento infinitamente pequeno do

nosso Contorno da nossa curva em torno

desse ponto Então vamos multiplicar com

isso aqui eu sei que você pode ter

compreendido que eu estou dizendo mas

como isso pode ser fisicamente relativo

ou de que forma podemos pensar no que

essa expressão está realmente medindo

para pensar News eu sempre visualizo

tudo isso aqui em duas dimensões no

futuro também vamos ver isso em três

dimensões mas por enquanto vamos

visualizar o universo bidimensional e

que estamos estudando por e os gases

vamos supor que a gente tem a várias

partículas em Universo bidimensional de

forma que a gente tem apenas as

coordenadas x e y esse campo vetorial

está essencialmente dizendo a você a

velocidade em qualquer ponto nessa

região então isso aqui nesse exemplo

indica a velocidade das partículas de um

gás em um determinado. Ou como estamos

falando do nosso vetor normal isso

indica o quão rápido as partículas desse

gás estão saindo nesse ponto com isso ao

resolver essa integral saberemos o quão

rápido as partículas estarão saindo

desse Contorno isso claro tem um valor

positivo Mas a gente pode encontrar um

valor negativo também como estamos

considerando que o vetor normal unitário

está orientado para fora e o resultado

da integral estamos dizendo o quão

rápido as partículas estão saindo desse

Contorno se a gente tiver um valor

negativo isso significaria dizer que

existe alguma entrada de partículas e o

resultado da integral nos diria vê-lo é

uma qual as partículas estão entrando

nessa região bem toda essa expressão não

precisa necessariamente ter uma

representação física mas usando essa

analogia do gás isso nos diz o quão

rápido eles são as partículas o quão

rápido as as partículas de um gás

bidimensional estão saindo do Contorno

no futuro vamos fazer isso em três

dimensões Onde teremos uma superfície e

aí vamos terminar o cão rápidas as

coisas estão saindo dessa superfície

enfim agora que já temos uma compreensão

conceitual do que isso poderia

representar vamos brincar com isso um

pouco principalmente porque já sabemos

como definir um vetor normal Então vamos

reescrever essa integral usando que

sabemos sobre como construir um vetor

normal reescrevendo as em integral temos

aqui a integral sobre essa curva do

campo vetorial FC escalar o vetor normal

a gente pode escrever o vetor normal

dessa forma aqui Vimos que o vetor

normal É de Y echa em menos de XJ chapéu

e tudo isso dividido pelo módulo que

nesse caso é o DS para tornar um vetor

unitário encontramos aqui o módulo DDS

calculando a raiz quadrada de de x ao

quadrado mais de y ao quadrado que a

mesma coisa que você pequeno comprimento

aqui do nosso Contorno sendo assim vamos

dividir isso aqui por DS E aí

multiplicamos isso por DS u DS é um

instalar como temos um DS aqui um desse

aqui eu podemos cancelar um com o outro

sendo Assim ficamos apenas com o produto

escalar entre F E essa diferença entre

de y e chapéu e deixe J chapéu para

melhor visualizar isso eu vou reescrever

essa integral então eu coloco aqui a

integral de linha Lembrando que estamos

integrando no sentido anti-horário e aí

essa integral vai ser do vamos calcular

esse produto escalar que está aqui em

cima bem esse produto escalar é bem

simples A gente faz o produto das

componentes X a mente o produto dos

módulos das componentes de então teremos

aqui p de x e y vezes de y mas o produto

dos módulos das componentes Y ou das

componentes derrota ou seja teremos aqui

mais que ele dxy vezes menos de X bem só

que vai nos dar menos o que de x e y

vezes deixes portanto essa é uma

declaração interessante porque já vimos

algo parecido antes só que sem essa

diferença eu estou falando do Teorema de

Green que inclusive eu vou reescrever

isso aqui agora o teorema de Green disse

para gente que se estamos calculando a

integral de linha sobre um Contorno

inclusive Existem várias maneiras de

escrever isso mas eu vou colocar aqui da

forma que já usamos em vários vídeos OK

então podemos colocar aqui e me vezes

deixe maizena e vezes da y e essa

integral é igual a integral dupla sobre

a região que essa linha está contornando

da parcial do que está ao lado de de

Italo que nesse caso é o n então

colocamos aqui e em relação a x e disso

nós subtraímos a parcial do que quer que

esteja ao lado de DX ou seja parcial de

m em relação à Y aí poderíamos colocar

isso aqui vezes dxdy ou simplesmente de

aqui é o infinitesimalmente pequeno

pedaço da área então vou escrever de

aqui enfim isso aqui apenas uma

reafirmação do Teorema de Green nós já

sabemos Gilson agora que revemos isso

como podemos aplicar o teorema de Green

a isso que vimos aqui em cima bem a

mesma coisa mesmo tendo uma diferença

aqui nós podemos aplicar o teorema de

Green da mesma forma sendo assim isso é

igual a integral dupla sobre a região

que se Contorno envolve de bem o que

queremos fazer é olhar para qualquer

coisa que está sendo multiplicado aqui

pelo de y nesse caso Essa é a função que

está sendo multiplicada pelo de y aí

calculamos a derivada parcial disso em

relação a x Então vamos ter aqui a

derivada parcial de P em relação a x E

aí isso menos a cada parcial de outubro

aquilo que está sendo multiplicado pelo

DX nesse caso vamos fazer a derivada

parcial disso aqui em relação à Y mas

temos um negativo certo então colocamos

aqui o menos a derivada parcial de que

em relação a y e aí é multiplicamos isso

aqui com da Observe que temos esses dois

negativos ou seja estamos subtraindo

algo que é negativo isso faz com que a

gente tem uma adição aqui sendo assim

Isso vai ser igual a integral dupla

sobre a região da a talvez você já

consiga saber onde isso tudo que vai dar

e até que contou com animada Animada não

era mas continuando aqui vai ser a

integral dupla da parcial de P em

relação a x mais a parcial de que em

relação a Y B A agora olha para isso

aqui é a função que estava nos dizendo o

módulo na direção x e que estava nos

dizendo o módulo na direção Y Estamos

fazendo a passear o dias em relação AX

Edilson em relação a y e aí estamos e

usando uma adição entre os resultados

isso é exatamente o divergente DF isso

não faz sentido eu aconselho que você

assista um vídeo sobre divergência Já

tem alguns aqui isso aqui é o divergente

DF é então por definição Esse é o

divergente do nosso campo vetorial F

isso é algo muito interessante Afinal

Saímos da expressão original e começamos

a estudar lá buscando determinar a

velocidade com a qual as partículas

estão saindo da superfície e agora que

entendemos isso em termos dessa

expressão vamos interpretar isso de

forma intuitiva isso aqui é igual a

integral dupla sobre essa região do

divergente DF vezes um

infinitesimalmente pequeno pedaço de

área nesse caso de ar agora porque isso

faz sentido de forma intuitiva para você

perceber porque isso faz sentido basta

você se lembrar sobre o que é a

divergência a divergência uma medida que

no juízo quanto as coisas estão se

expandindo divergindo ou quanto estão se

concentrando

é lindo se você tem aqui um ponto e ao

redor desse ponto as partículas estão

meio que se afastando mais nas outras

teremos um divergente positivo aqui por

outro lado se as partículas estiverem se

aproximando umas das outras teremos um

divergente negativo observando isso tudo

que a gente fez aqui faz sentido o que

se você pega uma área infinitesimalmente

pequena e multiplica isso com divergente

teremos um número que será somado ao

longo de toda essa região aí quanto

maior for o dever gente mas coisas estão

saindo do limite dessa região Se você

visse isso com o quão rápido as coisas

estão saindo da superfície teremos um

fluxo bidimensional ou seja se a gente

observar a rapidez das coisas saindo da

pequena área da superfície e isso vai

ser a mesma coisa que a soma de todos os

divergentes sobre essa área que o

contorno está circundando Eu espero que

você faça um pouco de sentido para você

Isso é apenas uma outra maneira de

pensar sobre o teorema de mim é isso que

acabamos de ver aqui de forma resumida

que essa expressão das divergências

sobre essa região aqui é a mesma coisa

que é fiz calar n sobre o contorno ou

seja temos aqui o teorema da divergência

de forma bidimensional eu espero que

você tenha compreendido tudo direitinho

e mais uma vez eu quero deixar para você

um grande abraço e até a próxima