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o Olá meu amigo minha amiga tudo bem com
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você seja muito bem-vindo ou bem-vinda a
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mais um vídeo daqui na casa de me Brasil
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e nesse vídeo vamos conversar sobre o
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teorema da divergência em duas dimensões
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para começar a conversar sobre isso
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vamos relembrar que antes aprendemos um
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pouco sobre como construir um vetor
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normal unitário em qualquer ponto de uma
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curva e inclusive foi isso que fizemos
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no último vídeo agora eu quero começar a
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explorar uma expressão interessante eu
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vou escrever aqui a integral de linha em
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torno de um caminho fechado e Vamos
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definir aqui que a orientação positiva
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está no sentido anti-horário nós vamos
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nos movimentar nesse sentido aí essa
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integral do produto escalar entre uma
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função f com vetor normal unitário em
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qualquer ponto dessa curva aí colocamos
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o DS aqui também a primeira coisa faz
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ele é conceituar isso que eu estou
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fazendo aqui e tentar compreender o que
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isso está me dizendo sendo assim vamos o
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lar essa expressão aqui um pouco para
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ver se podemos chegar a uma conclusão
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interessante para isso eu vou usar o
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teorema de Green E aí vamos chegar a uma
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versão bidimensional do teorema da
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divergência o que parece muito
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complicado mas eu espero que a gente
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consiga fazer isso que você consiga
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compreender Vamos pensar sobre isso aqui
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eu vou desenhar um plano de coordenadas
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aqui está o nosso eixo Y e aqui está o
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nosso eixo X eu vou desenhar a minha
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curva também então me a curva pode ser
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mais ou menos assim meu Contorno está se
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movimentando de forma positiva no
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sentido anti-horário desse jeito agora
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temos o nosso campo vetorial e apenas
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como um lembrete que inclusive já vimos
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isso várias vezes o meu campo vetorial
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vai associar um vetor com qualquer ponto
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no plano XY e ele pode ser definido como
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alguma função de x e y Na verdade eu vou
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chamar isso aqui DP alguma função de x e
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y vezes o vetor unitário e chapéu isso
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hein a forma da componente Rio do Campo
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vetorial para qualquer Ponto X e Y aí
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também precisamos da nossa componente J
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então colocamos algum fator de x e y que
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vai multiplicar a componente j ou seja
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que vai multiplicar a componente
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vertical para qualquer Ponto X e Y sendo
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assim temos alguma função de x e y vezes
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e chapéu mais alguma outra função de
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calar vezes J chapéu com isso se você me
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der algum ponto Qualquer ponto a um
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vetor associado dependendo de como
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definir mas essa função mas nessa
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expressão Aqui estamos calculando uma
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integral de linha sendo assim nos
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preocupamos especificamente com os
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pontos ao longo dessa curva ao longo
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desse Contorno aqui sendo assim vamos
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pensar sobre o que isso estamos dizendo
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antes de pegar coisas infinitamente
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pequenas vamos pegar aqui o f escalar n
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e eu vou pensar sobre um ponto nessa
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curva um ponto nessa curva que talvez
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seja esse ponto bem e como vimos
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associado a esse ponto é um vetor e é
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isso que o campo vetorial faz f pode ser
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parecer com algo assim nesse ponto Esse
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é o campo vetorial nesse ponto aí não
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podemos esquecer que temos um produto
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escalar entre f e o vetor normal
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unitário naquele ponto sendo assim
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podemos representar aqui também o vetor
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normal unitário que pode ter essa forma
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é bom relembrar aqui que quando
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calculamos o produto escalar a gente
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obtém uma quantidade de escalar a gente
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isso inicialmente obtêm o número
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inclusive você deve se lembrar disso Eu
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Já Fiz alguns vídeos sobre isso Onde
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realizamos um detalhamento melhor mas de
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uma forma resumida eu posso te dizer que
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esse produto escalar nos diz quanto
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esses dois vetores caminham juntos é
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importante é pensar nisso porque se
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eleição completamente ortogonais um em
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relação ao outro e isso vai ser igual a
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zero mas se eles estão na mesma direção
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e sentido basta você multiplicar os
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módulos deles dois nós temos um vetor
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unitário aqui o que vamos fazer é obter
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o quanto em módulo do campo vetorial efe
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que vai na direção normal então você
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pode pensar dessa forma sabendo isso
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vamos pensar sobre a componente desse
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vetor que está na direção normal
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Inclusive eu acho legal escrever isso
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aqui isso aqui corresponde ao módulo da
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componente DF que está na direção normal
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ou na mesma direção que o vetor normal
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unitário aí multiplicamos isso com
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comprimento infinitamente pequeno do
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nosso Contorno da nossa curva em torno
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desse ponto Então vamos multiplicar com
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isso aqui eu sei que você pode ter
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compreendido que eu estou dizendo mas
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como isso pode ser fisicamente relativo
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ou de que forma podemos pensar no que
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essa expressão está realmente medindo
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para pensar News eu sempre visualizo
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tudo isso aqui em duas dimensões no
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futuro também vamos ver isso em três
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dimensões mas por enquanto vamos
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visualizar o universo bidimensional e
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que estamos estudando por e os gases
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vamos supor que a gente tem a várias
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partículas em Universo bidimensional de
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forma que a gente tem apenas as
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coordenadas x e y esse campo vetorial
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está essencialmente dizendo a você a
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velocidade em qualquer ponto nessa
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região então isso aqui nesse exemplo
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indica a velocidade das partículas de um
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gás em um determinado. Ou como estamos
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falando do nosso vetor normal isso
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indica o quão rápido as partículas desse
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gás estão saindo nesse ponto com isso ao
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resolver essa integral saberemos o quão
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rápido as partículas estarão saindo
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desse Contorno isso claro tem um valor
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positivo Mas a gente pode encontrar um
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valor negativo também como estamos
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considerando que o vetor normal unitário
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está orientado para fora e o resultado
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da integral estamos dizendo o quão
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rápido as partículas estão saindo desse
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Contorno se a gente tiver um valor
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negativo isso significaria dizer que
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existe alguma entrada de partículas e o
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resultado da integral nos diria vê-lo é
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uma qual as partículas estão entrando
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nessa região bem toda essa expressão não
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precisa necessariamente ter uma
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representação física mas usando essa
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analogia do gás isso nos diz o quão
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rápido eles são as partículas o quão
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rápido as as partículas de um gás
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bidimensional estão saindo do Contorno
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no futuro vamos fazer isso em três
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dimensões Onde teremos uma superfície e
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aí vamos terminar o cão rápidas as
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coisas estão saindo dessa superfície
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enfim agora que já temos uma compreensão
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conceitual do que isso poderia
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representar vamos brincar com isso um
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pouco principalmente porque já sabemos
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como definir um vetor normal Então vamos
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reescrever essa integral usando que
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sabemos sobre como construir um vetor
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normal reescrevendo as em integral temos
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aqui a integral sobre essa curva do
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campo vetorial FC escalar o vetor normal
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a gente pode escrever o vetor normal
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dessa forma aqui Vimos que o vetor
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normal É de Y echa em menos de XJ chapéu
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e tudo isso dividido pelo módulo que
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nesse caso é o DS para tornar um vetor
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unitário encontramos aqui o módulo DDS
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calculando a raiz quadrada de de x ao
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quadrado mais de y ao quadrado que a
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mesma coisa que você pequeno comprimento
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aqui do nosso Contorno sendo assim vamos
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dividir isso aqui por DS E aí
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multiplicamos isso por DS u DS é um
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instalar como temos um DS aqui um desse
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aqui eu podemos cancelar um com o outro
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sendo Assim ficamos apenas com o produto
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escalar entre F E essa diferença entre
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de y e chapéu e deixe J chapéu para
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melhor visualizar isso eu vou reescrever
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essa integral então eu coloco aqui a
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integral de linha Lembrando que estamos
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integrando no sentido anti-horário e aí
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essa integral vai ser do vamos calcular
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esse produto escalar que está aqui em
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cima bem esse produto escalar é bem
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simples A gente faz o produto das
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componentes X a mente o produto dos
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módulos das componentes de então teremos
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aqui p de x e y vezes de y mas o produto
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dos módulos das componentes Y ou das
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componentes derrota ou seja teremos aqui
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mais que ele dxy vezes menos de X bem só
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que vai nos dar menos o que de x e y
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vezes deixes portanto essa é uma
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declaração interessante porque já vimos
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algo parecido antes só que sem essa
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diferença eu estou falando do Teorema de
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Green que inclusive eu vou reescrever
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isso aqui agora o teorema de Green disse
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para gente que se estamos calculando a
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integral de linha sobre um Contorno
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inclusive Existem várias maneiras de
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escrever isso mas eu vou colocar aqui da
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forma que já usamos em vários vídeos OK
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então podemos colocar aqui e me vezes
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deixe maizena e vezes da y e essa
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integral é igual a integral dupla sobre
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a região que essa linha está contornando
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da parcial do que está ao lado de de
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Italo que nesse caso é o n então
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colocamos aqui e em relação a x e disso
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nós subtraímos a parcial do que quer que
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esteja ao lado de DX ou seja parcial de
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m em relação à Y aí poderíamos colocar
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isso aqui vezes dxdy ou simplesmente de
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aqui é o infinitesimalmente pequeno
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pedaço da área então vou escrever de
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aqui enfim isso aqui apenas uma
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reafirmação do Teorema de Green nós já
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sabemos Gilson agora que revemos isso
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como podemos aplicar o teorema de Green
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a isso que vimos aqui em cima bem a
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mesma coisa mesmo tendo uma diferença
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aqui nós podemos aplicar o teorema de
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Green da mesma forma sendo assim isso é
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igual a integral dupla sobre a região
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que se Contorno envolve de bem o que
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queremos fazer é olhar para qualquer
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coisa que está sendo multiplicado aqui
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pelo de y nesse caso Essa é a função que
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está sendo multiplicada pelo de y aí
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calculamos a derivada parcial disso em
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relação a x Então vamos ter aqui a
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derivada parcial de P em relação a x E
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aí isso menos a cada parcial de outubro
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aquilo que está sendo multiplicado pelo
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DX nesse caso vamos fazer a derivada
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parcial disso aqui em relação à Y mas
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temos um negativo certo então colocamos
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aqui o menos a derivada parcial de que
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em relação a y e aí é multiplicamos isso
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aqui com da Observe que temos esses dois
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negativos ou seja estamos subtraindo
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algo que é negativo isso faz com que a
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gente tem uma adição aqui sendo assim
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Isso vai ser igual a integral dupla
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sobre a região da a talvez você já
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consiga saber onde isso tudo que vai dar
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e até que contou com animada Animada não
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era mas continuando aqui vai ser a
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integral dupla da parcial de P em
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relação a x mais a parcial de que em
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relação a Y B A agora olha para isso
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aqui é a função que estava nos dizendo o
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módulo na direção x e que estava nos
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dizendo o módulo na direção Y Estamos
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fazendo a passear o dias em relação AX
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Edilson em relação a y e aí estamos e
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usando uma adição entre os resultados
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isso é exatamente o divergente DF isso
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não faz sentido eu aconselho que você
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assista um vídeo sobre divergência Já
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tem alguns aqui isso aqui é o divergente
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DF é então por definição Esse é o
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divergente do nosso campo vetorial F
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isso é algo muito interessante Afinal
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Saímos da expressão original e começamos
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a estudar lá buscando determinar a
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velocidade com a qual as partículas
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estão saindo da superfície e agora que
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entendemos isso em termos dessa
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expressão vamos interpretar isso de
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forma intuitiva isso aqui é igual a
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integral dupla sobre essa região do
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divergente DF vezes um
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infinitesimalmente pequeno pedaço de
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área nesse caso de ar agora porque isso
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faz sentido de forma intuitiva para você
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perceber porque isso faz sentido basta
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você se lembrar sobre o que é a
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divergência a divergência uma medida que
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no juízo quanto as coisas estão se
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expandindo divergindo ou quanto estão se
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concentrando
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é lindo se você tem aqui um ponto e ao
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redor desse ponto as partículas estão
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meio que se afastando mais nas outras
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teremos um divergente positivo aqui por
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outro lado se as partículas estiverem se
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aproximando umas das outras teremos um
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divergente negativo observando isso tudo
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que a gente fez aqui faz sentido o que
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se você pega uma área infinitesimalmente
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pequena e multiplica isso com divergente
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teremos um número que será somado ao
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longo de toda essa região aí quanto
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maior for o dever gente mas coisas estão
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saindo do limite dessa região Se você
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visse isso com o quão rápido as coisas
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estão saindo da superfície teremos um
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fluxo bidimensional ou seja se a gente
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observar a rapidez das coisas saindo da
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pequena área da superfície e isso vai
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ser a mesma coisa que a soma de todos os
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divergentes sobre essa área que o
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contorno está circundando Eu espero que
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você faça um pouco de sentido para você
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Isso é apenas uma outra maneira de
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pensar sobre o teorema de mim é isso que
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acabamos de ver aqui de forma resumida
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que essa expressão das divergências
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sobre essa região aqui é a mesma coisa
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que é fiz calar n sobre o contorno ou
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seja temos aqui o teorema da divergência
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de forma bidimensional eu espero que
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você tenha compreendido tudo direitinho
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e mais uma vez eu quero deixar para você
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um grande abraço e até a próxima