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← Nonlinear 1.3 Transients and attractors

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Showing Revision 7 created 04/30/2019 by Gustavocm.

  1. En el último segmento,
  2. vimos que la Progresión
  3. de iteraciones del mapa logístico
  4. converge en una asíntota,
  5. En este segmento,
  6. voy a tener un poco más
  7. con las definiciones y
  8. Terminología en torno a todo esto.
  9. Te voy a mostrar lo que pasa
  10. parar Diferentes Valores de las condiciones iniciales x_0
  11. y el parámetro R.
  12. En primer lugar,
  13. a esa noción de progresión
  14. de iteraciones, x_0, x_1
  15. y así sucesivamente
  16. Es lo que se llama una órbita o una
    Trayectoria del sistema dinámico.
  17. Una órbita o una trayectoria es una
    Secuencia de Valores
  18. de las variables de Estado del sistema
  19. El mapa logístico tiene una variable
  20. de Estado X
  21. Otros sistemas pueden tener
  22. más de una variable de estado
  23. Mi péndulo, por ejemplo,
  24. que vieron en el Primer segmento.
  25. Se Necesita saber
  26. La posición y velocidad
  27. de ambos pesos del Péndulo
  28. para decir en qué estado está
  29. Retomará este tema en la tercera unidad
    del curso
  30. El valor inicial de la variable de estado
  31. En el mapa logístico, x_0,
  32. se denomina
  33. Condición inicial
  34. La trayectoria del mapa logístico
  35. desde el condición inicial,
  36. x = 0.2
  37. con R = 2,
  38. alcanza lo que se llama un punto fijo
  39. Esa es la asintota,
  40. después de pasar por lo que se llama una transiente,
  41. Dibujé esa foto la última vez.
  42. Aquí la muestro nuevamente.
  43. Tecnicamente, un punto fijo es
  44. un estado del Sistema
  45. que no se mueve bajo la
    Influencia
  46. de la dinámica.
  47. Es decir, el punto fijo
  48. en que la órbita del mapa
  49. logístico converge,
  50. es lo que se llama un
  51. punto de atracción Fijo.
  52. Hay otros tipos de puntos fijos
  53. como Mostraré con mi péndulo
  54. Así que este es,
  55. sin duda, un punto fijo de la dinámica.
  56. El sistema está ahí
  57. y la dinámica no hace que se mueva,
  58. Y es Un punto fijo de atracción,
  59. porque si yo perturbo un poco,
  60. esa perturbación se reducirá,
  61. Regresando el dispositivo al punto fijo.
  62. Ahora, eso es un atractor de punto fijo.
  63. Como dije, hay otros tipos de puntos Fijos.
  64. Este es uno de ellos.
  65. O, hay uno aquí.
  66. Nunca he conseguido que el péndulo se siente.
  67. Hay un punto aquí donde el péndulo se equilibra
  68. Por eso es un punto fijo
  69. en el sentido que
  70. el sistema no se moverá de allá,
  71. Pero es
  72. un punto fijo inestable.
  73. Hay otros dos puntos fijos inestables
  74. en este sistema,
  75. Este
  76. y este otro
  77. de nuevo, todos estos puntos
  78. son estados del sistema
  79. donde la dinámica
  80. es estacionaria
  81. Esta definición que acabo de dar recoge
    ambos tipos de puntos fijos,
  82. estados que no se mueven
  83. bajo la influencia de la dinámica,
  84. pero no le indican cuando
  85. son estables, si se atraen,
  86. o inestables si se repelen
  87. Como el punto invertido del péndulo.
  88. Los sistemas dinámicos tienen
  89. tipos diferentes de comportamientos asintóticos
  90. Subconjuntos del conjunto de estados
    posibles
  91. a los que las cosas convergen
  92. con el tiempo hasta el infinito
  93. Estos se llaman atractores.
  94. Los atractores, por cierto,
  95. tienen cierta definición circular
  96. como lo que queda después
  97. que la transiente se extingue,
  98. Hay una manera de formalizar eso,
  99. que verán en un video extra, si les interesa.

  100. la atracción de puntos fijos

  101. es un tipo de atractor.
  102. Existen otros tres de los que hablará
  103. en el segmento próximo, y de todos
  104. ellos en el transcurso de las próximas dos
    semanas.
  105. Ahora, volvamos a los puntos fijos.
  106. ¿Recuerdas esta demostración?
  107. Usando la aplicación del mapa logístico,
  108. que mostrá que varias de las diferentes
  109. condiciones iniciales van al mismo punto fijo.
  110. Así que si usamos la condición inicial
  111. 0.1, y el valor del parámetro 2.2,
  112. vamos a este punto fijo.
  113. Probemos algo diferente
  114. Diferente transiente, igual punto fijo.
  115. Diferente transiente,
  116. aun conduce al mismo punto fijo.
  117. La forma en que pensamos
  118. sobre ese comportamiento,
  119. es que un grupo de condiciones iniciales
  120. van al mismo atractor,
  121. se define algo llamado Una cuenca de atracción.
  122. Si eres de los Estados Unidos,
  123. hay una analogía Fácil para que entiendas esto
  124. En el medio de los Estados Unidos,
  125. hay algo llamado la división continental
  126. Corre unas diez millas
  127. al oeste de donde me ubico en este momento,
  128. y una gota de lluvia que cae
  129. al oeste de la división continental
  130. corre hacia el océano pacífico
  131. Una gota de lluvia que cae al este de la
    La división
  132. correrá hacia el Atlántico.
  133. o tal vez al Mississippi
  134. y fuera de esa manera
  135. La analogía aquí es que el océano Atlántico
  136. es un atractor
  137. y en el terreno al este
  138. de la división continental
  139. se encuentra la cuenca de atracción.
  140. El Océano Pacífico es otro atractor,
  141. y El terreno al oeste de la división continental
  142. es la cuenca de atracción de ese atractor,
  143. y el límite de la cuenca divide
  144. esas dos cuencas.
  145. ¿Qué crees que pasará con una gota de lluvia
  146. que cae exactamente, en el límite de la cuenca?
  147. Ahora volvamos y exploremos lo que pasa
  148. Si cambiamos el parámetro R
  149. manteniendo x_0 fijo,
  150. es decir, usando la misma
  151. condición inicial.
  152. R=2.3,
  153. R=2.4,
  154. R=2.5,
  155. Como mencioné en el último segmento,
  156. el punto fijo de mueve.
  157. Eso es como la población
  158. de conejos,
  159. estabilizándose en un número mayor
  160. Si los zorros tienen menos hambre o
  161. la tasa de natalidad de
  162. los conejos es mayor.
  163. Ahora si miras detenidamente,
  164. verás que Las longitudes de las transientes
  165. difieren en ese experimento
  166. Lo acabo de hacer: R=2.2,
  167. la población se estabilizó muy rápido
  168. Tomé un poco más de tiempo en R=2.3
  169. La analogía es que la población
  170. Toma un poco más de tiempo para convergeren esa relación
  171. de punto fijo de conejos y zorros,
  172. noté además este pequeño rebasamiento
  173. aquí, que se pronuncia más si elevamos R,
  174. Hay R = 2.6,
  175. R = 2.7,
  176. lo que está pasando aquí es que la órbita
  177. sigue convergiendo a un punto fijo,
  178. pero en vez de converger en un lado,
  179. converge en una oscilación
  180. Es algo así como, si presionas hacia abajo
  181. en el capot de tu coche, y el coche rebota
  182. Arriba y abajo por un instante,
  183. antes de establecerse.