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← 02-20 Eulers Formula

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Showing Revision 1 created 03/11/2014 by Fran Ontanaya.

  1. 再びオイラーの公式を見ましょう
  2. これが成り立つかを帰納法で証明してみます
  3. どんな平面グラフも
    ノードとエッジの追加を繰り返すことで描けます
  4. それではノードが1個という単純な例から始めましょう
  5. 最も単純なのはノードが1個だけあるというグラフです
  6. ノードが1個あってエッジはなく
    周りに巨大な領域があります
  7. 1-0+1で2になりますね
  8. これがベースケースです
  9. 帰納法で考えてみましょう
  10. ある平面グラフがあって
    それにオイラーの公式が当てはまると仮定します
  11. すでにn-m+r=2という式が与えられています
  12. ここにノードやエッジを追加した時に
    公式がどうなるかを確かめましょう
  13. 方法は2種類あります
  14. ノードとエッジを同時に加えるか
    既存のノードの間にエッジを加えます
  15. 1のケースを試しましょう
    新しいノードとエッジを加えます
  16. これも平面グラフです n、m、rの値は?
  17. ノードが1、エッジが1増えると
    領域の数は変わりません
  18. この領域の中に突き出していますが
  19. 領域の総数は変わらないので
    (n+1)-(m+1)+rです
  20. この1は消えてn-m+rとなります
  21. 帰納法の仮定で2でしたね
  22. このケースでは公式は成り立ちます
  23. エッジだけを加えるケースは?
  24. まず領域の中にエッジを加えるケースを考えましょう
  25. ノードの数は変わらずエッジの数は1増えます
  26. 領域の数も1増えますね
  27. この領域は2つに分割されました
  28. またこの1は消えるので公式は成り立ちます
  29. 外側の大きな領域に変化を加えた時に
  30. どうなるかを再確認してみましょう
  31. 例えばこの2個をつなぐと
  32. ここに新しい領域ができました
  33. 領域の数は1増えました
  34. 同様にここをつなぐと領域の数は1増えます
  35. エッジだけを加えると領域の数は1増えます
  36. エッジとノードを同時に加えると
    領域の数は変わりません
  37. ノードとエッジの数はそれぞれ1増えます
  38. 何をしても公式が成り立ちます すごいですよね