Có hai anh bạn bánh gừng siêu lí trí kia,
Crispy và Chewy,

đang đi dạo ngoài trời
thì bị một con cáo bắt gặp.

Thấy hai anh đang hí hửng vui vẻ,
anh ta quyết định,

thay vì ăn hai người,

cáo quyết định đặt tình bạn của họ
vào một song đề tàn nhẫn.

Cáo hỏi mỗi anh là muốn cáo tha
hay ăn bạn mình.

Họ được phép thảo luận,

nhưng không ai biết người kia chọn gì
tới khi cả hai chốt đáp án.

Nếu hai người chọn tha cho nhau,
cáo sẽ chỉ ăn một chi của mỗi người.

Nếu một người chọn tha
còn người kia chọn ăn thịt,

thì người chọn tha sẽ bị ăn thịt,

còn người phản bội kia sẽ được thả đi
với tứ chi nguyên vẹn.

Nếu cả hai chọn ăn thịt,
cáo sẽ ăn ba chi của mỗi người.

Trong lý thuyết trò chơi, tình huống này
được gọi là Song Đề Tù Nhân.

Để biết hai anh bánh gừng này xử lý sao
với lý trí hoàn hảo của họ,

ta hãy xem xét các kết quả 
của từng quyết định của họ.

Hàng ngang là quyết định của Crispy,
cột dọc là quyết định của Chewy.

Các số trong các ô

biểu trưng cho kết quả
các lựa chọn của họ,

và được tính bằng số chi
mà mỗi người còn giữ được.

Vậy thì tình nghĩa anh em có chắc bền lâu
đối với hai anh này?

Đầu tiên, hãy xét lựa chọn của Chewy.

Nếu Crispy chọn tha cho Chewy, Chewy sẽ
không sao nếu Chewy chọn hy sinh Crispy.

Nếu Crispy chọn hy sinh Chewy,

Chewy bảo toàn được một chi của mình
nếu Chewy cũng chọn hy sinh Crispy.

Dù Crispy chọn như nào,

thì Chewy cũng có lợi hơn
nếu Chewy chọn hy sinh bạn mình.

Nếu ngược lại thì cũng thế.

Đây là cái kết phổ biến
của Song đề tù nhân.

hai người lúc nào cũng sẽ phản nhau.

Họ sẽ hy sinh bạn họ bất kể giá nào.

Các nhà lý thuyết trò chơi gọi cái này
là "Cân bằng Nash",

nghĩa là không ai được lợi nếu không
phản bội người kia.

Crispy và Chewy hành động như dự đoán

và con cáo tự cao kia sẽ được 
một bụng bánh gừng no bụng.

Và hai anh cựu bạn thân,
mỗi người còn lại một chân.

Thường thì câu chuyện này kết thúc như thế

nhưng có một ông phù thùy đã tình cờ
thấy cái sai của hai anh.

Ông ta bảo Crispy và Chewy rằng,
để phạt hai người vì tội phản bội nhau,

hai người sẽ phải gặp lại song đề này
tới cuối của đời họ.

Mỗi sáng mỗi anh sẽ có đủ chân tay.

Bây giờ thì sao?

Đây gọi là Song Đề Tù Nhân Vô Tận,
nó thay đổi cả một cuộc chơi.

Đó là vì hai anh bánh gừng có thể
sử dụng những quyết định tương lai

như con bài thương lượng
cho những thứ hiện tại.

Hãy xem chiến thuật này: hai người đồng ý
tha cho nhau mỗi ngày.

Nếu ai mà chọn hy sinh người kia,

người kia sẽ trả thù bằng việc
chọn hy sinh bạn mình vĩnh viễn.

Như vậy có đủ để hai cái bánh gừng
chúng sinh tội nghiệp này

đồng ý hợp tác?

Để biết rõ,
mình phải xem xét một yếu tố nữa:

hai anh bánh gừng
chắc hẳn quan tâm về tương lai

ít hơn là quan tâm tới hiện tại.

Nói cách khác, họ có lẽ coi nhẹ

việc họ quan tâm về số lượng chi 
của họ ở tương lai.

Ta gọi số lượng chi này là delta.

Điều này giống như lạm phát tiền tệ.

Nếu delta là một phần hai,

ngày một họ quan tâm về số chi ngày hai 
bằng nửa sự quan tâm về số chi ngày một,

ngày ba bằng một phần tư ngày một,
và cứ tương tự vậy.

Delta bằng 0 là họ không thèm quan tâm 
về số lượng chi trên người họ ra sao nữa,

nghĩa là họ cứ tiếp tục lựa chọn
hy sinh lẫn nhau mãi mãi.

Nhưng mà khi delta tiến về một,
họ sẽ làm mọi cách

để tránh nỗi đau vô vàn 
khi bị ăn ba chi,

nghĩa là họ sẽ tha cho nhau.

Tại một điểm nào đó ở giữa,
họ có thể chọn một trong hai.

Ta có thể tìm ra thời điểm đó là khi nào

bằng cách viết ra hết chuỗi quyết định
ở mỗi phương pháp lựa chọn,

cho chúng bằng nhau và tìm delta.

Kết quả bằng một phần ba, nghĩa là
nếu Crispy và Chewy quan tâm về ngày mai

ít nhất bằng một phần ba hiện tại,

chiến thuật tốt nhất cho họ là
chọn tha cho nhau và hợp tác với nhau mãi.

Các phân tích này không chỉ có ở 
câu chuyện bánh qui và phù thùy;

ta cũng thấy nó xuất hiện 
cả ở đời sống thường nhật

giống như thương lượng về thương mại
và chính trị quốc tế.

Các lãnh đạo lí trí phải luôn cho rằng
quyết định của họ hôm nay

sẽ ảnh hưởng đối thủ của họ ngày mai.

Ích kỷ chỉ được lợi một thời gian ngắn,
nhưng để được cái lợi dài lâu

hợp tác hòa bình là một lựa chọn tốt nhất 
và hiệu quả nhất theo chứng minh toán học.

Cũng như các anh bánh gừng,
cuộc đời các anh hơi vương vãi

nhưng miễn là chịu đi chơi cùng nhau 
dù với chỉ một chân,

tình bạn tốt hai anh sẽ mãi mãi bền lâu.